Simulationsfreie Berechnung von Basen zur Reduktion

Simulationsfreie Berechnung von Basen zur Reduktion von
nichtlinearen mechanischen Systemen zweiter Ordnung
Christopher Lerch
Lehrstuhl für Regelungstechnik, Technische Universität München
Boltzmannstr. 15, D–85748 Garching bei München, Germany
Tel.: +49 (0)89/289–15677
E-mail: [email protected]
Die hier vorgestellten Ansätze und Ergebnisse entstanden innerhalb des Projektes Model Order Reduc”
tion of Parametric Nonlinear Mechanical Systems for Influencing Vibrations“, welches Teil des Schwerpunktprogramms 1897 der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG – SPP 1897) ist. Ziel ist es eine
möglichst effiziente Umgebung zur Simulation, Analyse, Designoptimierung und Regelung von calm,
”
smooth and smart“ Strukturen zu schaffen.
Kern dieser Umgebung ist die projektive Modellordnungsreduktion der nichtlinearen mechanischen Systeme zweiter Ordnung zur Begrenzung des numerischen Aufwandes. Zur Berechnung der benötigten
Reduktionsbasis werden simulationsfreie Methoden herangezogen. Der Ansatz soll später um Parameterabhängigkeiten erweitert werden, um zum Beispiel die Optimierung von Sensor- und Aktuatorplazierungen zu erlauben.
Bei linearen Systemen wird der Unterraum, auf welchen projiziert werden soll, häufig durch sogenannte
Krylow-Richtungen aufgespannt, womit eine Übereinstimmung der Momente der Übertragungsfunktionen bis zu einem gewünschten Grad erreicht werden kann [Wol14, Sal05]. Der hier gezeigte Ansatz
überträgt die grundlegende Idee hinter modalen Ableitungen [IC85, SJS95, TR11, WP14] auf KrylowRichtungen. Modale Ableitungen beschreiben die Änderung der verschiebungsabhängigen Eigenvektoren
(Moden) bei Bewegung der Lösung in eine bestimmte Richtung, wobei hierfür ebenfalls Eigenrichtungen
gewählt werden. Auf diesem Wege kann eine Anreicherung der linearen Krylow-Basis mit nichtlinearer
”
Information“ erzielt werden, was erst zur Erreichung einer gewünschten Approximationsgüte führt.
Entsprechend können sogenannte Krylow-Ableitungen erster und höherer Ordnung definiert und numerisch berechnet werden. Es lässt sich zeigen, dass dies einer Berücksichtigung von Termen zweiter und
höherer Ordnung der Taylorreihenentwicklung der eigentlich verschiebungsabhängigen linearen Basis
entspricht.
Der Ansatz wird beispielhaft auf ein mechanisches FE-Modell angewendet. Die Ergebnisse werden aufgezeigt und diskutiert. Ebenso wird auf weiterführende Probleme und Ideen eingegangen.
Literatur
[IC85]
Idelsohn, S.R. ; Cardona, A.: A Reduction Method for Nonlinear Structural Dynamic Analysis. In: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 49 (1985), Nr. 3, S. 253–279
[Sal05] Salimbahrami, S.B.: Structure Preserving Order Reduction of Large Scale Second Order Models. München, 2005 Dissertation
[SJS95] Slaats, P.M.A. ; Jongh, J. de ; Sauren, A.A.H.J.: Model Reduction Tools for Nonlinear
Structural Dynamics. In: Computers & Structures 54 (1995), Nr. 6, S. 1155–1171
[TR11] Tiso, P. ; Rixen, D.J.: Reduction methods for MEMS nonlinear dynamic analysis. In: Nonlinear Modeling and Applications, Volume 2. Proceedings of the 28th IMAC, A Conference on
Structural Dynamics, 2010. New York, NY, USA : Springer-Verlag New York, 2011, S. 53–65
[Wol14] Wolf, T.: H2 Pseudo-Optimal Model Order Reduction. München, 2014 Dissertation
[WP14] Witteveen, W. ; Pichler, F.: Efficient Model Order Reduction for the Dynamics of Nonlinear
Multilayer Sheet Structures with Trial Vector Derivatives. In: Shock and Vibration 2014 (2014),
S. 1–16

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