Aufgaben - Fachschaft Maschinenbau

Mathematikstützkurs für MB
Arbeitsblatt – Lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen
𝑝
𝑝2
2
4
0 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 ⇒ 𝑥1,2 = − ± √
pq-Formel:
−𝑞
Horner-Schema zur Nullstellenbestimmung
Beispiel: Nullstelle von f(x) gesucht:
3
2
( )
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 − 3
eine Lösung raten, hier:
x0  1
Anwendung des Horner-Schemas ergibt:
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(1𝑥 2 + 0𝑥 − 3) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 3)
Damit bestimmen sich die restlichen 2 Nullstellen zu
x1,2  3
Gaußschen Algorithmus zur Lösung von LGS
Beispiel: Das LGS
a + 3b + c = 4
−𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 2
4𝑏 + 2𝑐 = −4
Lässt sich auch wie folgt darstellen und formt es in ein Dreieckssystem um. Dabei ist
folgendes Erlaubt:
1.)
Vertauschen von Zeilen
2.)
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null
3.)
Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile
(2) und (3) vertauschen
(1)+(3)
2*(3)-(2)
Dies Lässt sich wieder als LGS lesen:
Daraus folgt leicht:
𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 4
4𝑏 + 2𝑐 = −4
4𝑐 = 16
c  4 , b  3 und a  9
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Aufgabe 1
Bestimme die Lösungen dieser Linearen Gleichungssysteme:
a)
2
−6 = −𝑦 − 3 𝑥
2
𝑥
3
c)
= −𝑦 + 4
2𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = 3
4𝑥 − 12𝑦 + 8𝑧 = 4
3𝑥
b)
2𝑥 + 3𝑦 = 9
𝑦 − 𝑥 = −2
d)
+ 𝑦 − 2𝑧 = 9
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4
3𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 5
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 7
Aufgabe 2
Für welche a, e und d hat das untenstehende Gleichungssystem keine, genau eine, mehrere Lösungen?
a)
2𝑥 + 𝑦 = 3
3𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑧 − 𝑎 = 0
b) 2𝑥 + 2𝑧 = 0
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑑
3𝑥 + 𝑦 + 𝑒𝑧 = 0
Aufgabe 3
Gegeben ist eine starrer Scheibe, die von 3 Stäben in den Punkten A, B und C gehalten wird:
Bestimme die Stabkräfte 𝑆1 , 𝑆2 und 𝑆3 in Abhängigkeit von dem Moment M und 𝜶!
Beachte: Stäbe sollten als Zugstäbe angenommen werden, sodass das Vorzeichen im Ergebnis angibt, ob
es sich um einen Zug- oder Druckstab handelt (Zug +, Druck -)! Die Scheibe wird als masselos
betrachtet.
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Aufgabe 4
Bestimme jeweils alle Lösungen der Gleichungen:
a)
0 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
b)
𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 2𝑥 + 28 und 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2, mit folgender Bedingung 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
c)
0 = 𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 3
1
3
d) 2 =
𝑥²
𝑥 2 −4
…in Abhängigkeit von b!
, mit 𝑥 ≠
{−2, 2}
Aufgabe 5
a) Bestimme die gemeinsamen Schnittpunkte von:
𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −9
𝑥−2
, mit 𝑥 ≠ 2 und 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 3 −
33
𝑥−2
b) Bestimme die Nullstellen von:
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 14𝑥 2 + 55𝑥 + 42
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