Tschebyscheffsche Ungleichung
a) Zeigen Sie die folgende Identität: Für a1 , a2 , ..., an ∈ R und b1 , b2 , ..., bn ∈ R gilt
!)
! n
( n
n
n
X
X
X
X
bk
ak
a k bk −
(ai − ak )(bi − bk ) = 2 n
i,k=1
k=1
k=1
k=1
b) Leiten Sie aus a) die Tschebyscheffsche Ungleichung her: Ist a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an und
b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , so gilt
a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn
·
≤
n
n
n