年 番号
1
3
a; b; c は正の整数である．以下の問に答えなさい．
(1) ab = 1800 となる a; b の組は全部で
ア
(2) a < b < c < 10 となる a; b; c の組は全部で
ウ
エ
通りある．
直線 ` 上の点を P，直線 m 上の点を Q とする．線分 PQ が直線 ` および直
(3) 12a = 4b + 3c，b < 100，c < 100 となる a; b; c の組は全部で
オ
カ
キ
に適当な数を入れなさい．
¡
!
点 (4; 2; 7) を通りベクトル a = (2; 1; 4) に平行な直線を `，点
¡
!
(2; 12; ¡5) を通りベクトル b = (1; 3; ¡3) に平行な直線を m とし ，
通りある．
イ
次の設問の
氏名
線 m と垂直であるとき，点 P の x 座標は
通りある．
(4) a + b = 3c < 100 となる a; b; c の組は全部で
ク
ケ
コ
は
サ
であり，線分 PQ の長さ
である．
通りある．
（ 明治大学 2016 ）
(5) a + log3 (b + c)
シ
ス
セ
ソ
=
タ
10 と な る a;
b;
c の 組は 全部で
通りある．ただし，310 = 59049 である．
4
次の設問の
に適当な数を入れなさい．
正四面体 ABCD があり，その頂点間を点 P が動く場合について考える．点
2
P がある頂点にいるとき，1 秒後に同じ 頂点にいる確率を
，ほかの 3 つ
3
1
の頂点にいる確率をそれぞれ
とする．
9
（ 明治大学 2016 ）
(1) 頂点 A にいる点 P が 2 秒後に頂点 A にいる確率は
2
次の設問の
にいる確率は
に適当な数を入れなさい．
半径 3 の球に内接する円柱の体積の最大値は
¼ である．ただし，¼
は円周率である．
であり，頂点 B
である．
(2) 頂点 A にいる点 P が 3 秒後に頂点 A にいる確率は
である．
(3) 頂点 A にいる点 P が 4 秒後に頂点 A にいる確率は
である．
（ 明治大学 2016 ）
（ 明治大学 2016 ）
5
次の設問の
に適当な数を入れなさい．
p
p
4ABC において，AB = 3 + 1，BC = 2，CA = 6 である．また，ÎB
の二等分線と辺 CA との交点を D とする．
である．
(1) cos A =
7
(2) 線分 AD の長さは
である．
(3) 線分 BD の長さは
である．
(4) 4ABC の外接円の半径は
である．
(5) 4ABC の内接円の半径は
である．
p
p
(1) 関数 f(u) = log( u ¡ 1) ¡ log( u + 1) の導関数 f0 (u) を求めよ．
B
B
(2) 関数 F(x) = log( e2x + 1 ¡ 1) ¡ log( e2x + 1 + 1) の導関数 F0 (x) を
（ 明治大学 2016 ）
6
次の
次の問いに答えよ．
に適する数または式を記入せよ．
p
¼
とする．関数 f(µ) = sin µ + 3 cos µ は最小値 ア
を
2
B
¼
; は最小値
イ
でとる．関数 g(µ) = 3f(µ) ¡ 2 cos #µ +
3
を µ = エ でとる．
求めよ．
C
2x
B e
(3) 等 式
e2x + 1 =
e2x + 1
Z C
e2x + 1 dx を求めよ．
(4) 曲線 y = ex #
+ B
1
を 用 い て ，不 定 積 分
e2x + 1
1
1
log 8 5 x 5
log 24; の長さを求めよ．
2
2
（ 同志社大学 2016 ）
(1) 0 5 µ 5
µ =
ウ
(2) 箱から玉を 1 個取り出し ，この玉に 1 個の玉を新たに加えた合計 2 個の
玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみと
する．最初に，2 個の白玉と 3 個の黒玉が入っている箱を考える．新たに
加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，3 回目の試行において白玉
を取り出す確率は
は
カ
オ
，n 回目の試行において白玉を取り出す確率 Pn
，極限 lim Pn は
n!1
キ
である．次に，3 個の白玉と 4 個の
黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異な
る色とすると，3 回目の試行において白玉を取り出す確率は
ク
であ
る．n 回目の試行において白玉を取り出す確率を Qn とすると，Qn は漸化式
1
Qn = ケ Qn¡1 +
(n = 2) を満たし，極限 lim Qn は コ で
6+n
n!1
ある．
（ 同志社大学 2016 ）
8
次の
を埋めよ．
(1) 2016 の正の約数は全部で ア 個あり，それらの平均は イ である．
¼
(2) 0 < µ <
とする．座標平面上に 3 点 P0 (1; 0)，P1 (cos µ; sin µ)，
2
P2 (cos 2µ; sin 2µ) がある．x 軸に関して，点 P2 ，P1 と対称な点をそれぞ
れ P3 ，P4 とし，さらに，四角形 P1 P2 P3 P4 の面積を S1 (µ)，三角形 P0 P1 P4
の面積を S2 (µ) とする．
¼
;= ウ
3
S1 (µ)
’ lim
=
µ!+0 S2 (µ)
‘ S1 #
“ S1 (µ) は cos µ =
である．
エ
オ
である．
のとき最大値
カ
をとる．
（ 慶應義塾大学 2016 ）
9
10 正の整数 m; n に対して f(m; n) が次の等式を満たすように定められて
次の条件によって定められる数列 fan g; fbn g がある．
a1 = 1;
いる．
b1 = 2;
an+1 = an + 4bn ;
bn+1 = an ¡ 2bn
f(1; 1) = 1;
[ f(m; n) = 2f(m ¡ 1; n)
(1) 数列 fan + bn g; fan ¡ 4bn g の一般項について，
an + bn =
ヘ
an ¡ 4bn = ¡
ホ
¢
マ
(¡
n¡1
ミ
n¡1
(m = 2)
(1) f(m; 1) および f(1; n) をそれぞれ m; n の式で表せ．
(2) f(6; 32) の値を求めよ．
メ
¢
モ
n¡1
¡
ヨ
ヤ
¢ (¡
ユ
n¡1
)
(3) 任意の正の整数 l に対して，f(m; n) = l を満たす正の整数 m; n が存在
することを示せ．
（ 早稲田大学 2016 ）
が成り立つ．
(3) 数列 fan g の漸化式について，
an+2 +
ラ
(n = 4)
次の問に答えよ．
)
(2) 数列 fan g の一般項について，
an =
f(3; 3) = 20
f(m; n) + 3f(m; n ¡ 2) = 3f(m; n ¡ 1) + f(m; n ¡ 3)
;
が成り立つ．
ム
f(2; 2) = 6;
an+1 ¡
リ
11 数列 fan g; fbn g を以下で定める．
an = 0
a1 = 2;
が成り立つ．
W
（ 山口東京理科大学 2016 ）
b1 = 1
an+1 = 2an + 3bn
bn+1 = an + 2bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) n = 1; 2; 3; Ý について，
p n
p
an + 3bn = (2 + 3)
p
p n
an ¡ 3bn = (2 ¡ 3)
が成り立つことを示せ．
(2)
bn
を n を用いて表せ．
an
(3) 数列 fen g を
en =
p
13 数列 fxn g は
3 bn
¡1
an
(n = 1; 2; 3; Ý)
(n ¡ 1)xn+2 ¡ (n 2 + n ¡ 1)xn+1 + n 2 xn = 0
で定めるとき，n = 3 ならば
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすものとする．
(1) x2 を x1 で表せ．また x4 を x1 と x3 で表せ．
en < 0:001
p
2 ¡ p3
であることを示せ．ただし，0:071 <
< 0:072 を用いてもよい．
2+ 3
（ 東京海洋大学 2016 ）
(2) yn = xn+2 ¡ xn+1 (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．yn を y1 と n で表せ．
n
P
(3) 数学的帰納法で
k(k!) = (n + 1)! ¡ 1 を示せ．
k=1
(4) xn+2 (n = 2; 3; 4; Ý) を x1 ; x3 と n で表せ．
（ 三重大学 2016 ）
12 数列 fxn g は
2
2
(n ¡ 1)xn+2 ¡ (n + n ¡ 1)xn+1 + n xn = 0
(n = 1; 2; 3; Ý)
14 数列 fxn g は
(n ¡ 1)xn+2 ¡ (n 2 + n ¡ 1)xn+1 + n 2 xn = 0
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすものとする．
を満たすものとする．
(1) x2 を x1 で表せ．また x4 を x1 と x3 で表せ．
(2) yn = xn+2 ¡ xn+1 (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．yn を y1 と n で表せ．
n
P
(3) 数学的帰納法で
k(k!) = (n + 1)! ¡ 1 を示せ．
k=1
(4) xn+2 (n = 2; 3; 4; Ý) を x1 ; x3 と n で表せ．
(1) x2 を x1 で表せ．また x4 を x1 と x3 で表せ．
(2) yn = xn+2 ¡ xn+1 (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．yn を y1 と n で表せ．
n
P
(3) 数学的帰納法で
k(k!) = (n + 1)! ¡ 1 を示せ．
k=1
（ 三重大学 2016 ）
(4) xn+2 (n = 2; 3; 4; Ý) を x1 ; x3 と n で表せ．
（ 三重大学 2016 ）
15 次の問いに答えよ．
(1) n を自然数とするとき，和
3n
P
k=2n
(3k2 + 5k ¡ 1)
を n の整式として表せ．ただし ，答えは n について降べきの順に整理する
こと．
(2) 1240 は何桁の数であるか答えよ．ただし ，整数は 10 進法で表すものとし，
log10 2 = 0:301，log10 3 = 0:477 とする．
（ 学習院大学 2016 ）

生徒会だより第31号