第6回 - 九州大学

Title
基幹物理学IB
-電磁気学-
九州大学工学部電気情報工学科
竪直也
01/31
本講義の概要
•対象：地球環境工学科1年生
•担当：21クラス…竪准教授＠2305
•時間：月曜4限
•講義資料：随時ダウンロード可
http://npip.ed.kyushu-u.ac.jp/lectures.html
•教科書：栗焼久夫，副島雄児，鴇田昌之，原田恒司，
本庄春雄，矢山英樹共著，「基幹物理学」（培風館）
! 基幹物理学IB演習…木曜1限西島准教授＠2201
! 竪准教授室...ウエスト2号館4階452号室
[email protected]
02/31
講義内容
第１回：電荷と電場
第２回：ガウスの法則と電位
第３回：導体と誘電体
第４回：定常電流
第５回：磁荷と磁束密度
第６回：磁性体と電磁誘導
第７回：マクスウェル方程式と電磁波
第８回：
03/31
講義日程
第８回
５限＠2305
教場試験
04/31
電磁気学における内積と外積
! 内積
A ! B = A ! B cos"
B
! 「A の大きさ」と「B が含む
A と同じ向きの成分」をまとめ
て考える（結果はスカラー）
! 外積*
A ! B = A " B sin #
!
|B |cos!
B
! A とB について「互いに垂直
な向きの成分」をまとめて考え
る（結果はベクトル）
A
|B |sin!
!
A
05/31
電磁気学における微分と積分
! 微分
! ある物理量の「変化」
を表す
電位 V
! 積分
! ある物理量の「累積」
を表す
E ( r ) = !gradV ( r )
（スカラー）
電場 E
（ベクトル）
V ( r ) = ! # E ( r ) dr
r
"
! 例：電場に関するガウスの法則
div D = !
!
S
D " ndS = ! #dV
V
06/31
スカラーポテンシャル
! 例：電気双極子がつくる電位分布と電場分布
E = !grad V = !"V
ベクトル場
ベクトル場E の
スカラーポテンシャル
! スカラー場はベクトル場よりも扱いやすいので，ベク
トル場をスカラーポテンシャルで表現できることは有意
電位（スカラー）
電場（ベクトル）
[ref] http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/
07/31
ベクトルポテンシャル
! 例：「電磁ポテンシャル」
B = rot A = ! " A
ベクトル場
ベクトル場B の
ベクトルポテンシャル
「電磁ポテンシャル」
! 一般にdiv B = 0と表現されるため，必ずしも「電磁ポ
テンシャル」として扱う必要はない
08/31
電磁気学におけるポテンシャル①
! 電荷とスカラーポテンシャル
! 電荷がもつ「電磁気学的位置エネルギー」
＝ q（電荷）! V（電位＠スカラーポテンシャル）
"「電磁気学的位置エネルギー」が低い方向へ動く
＝同符号の電荷同士は反発し合う
09/31
電磁気学におけるポテンシャル②
! 電流とベクトルポテンシャル
! 電流がもつ「電磁気学的位置エネルギー」
＝ - I（電流）・ A（＠ベクトルポテンシャル）
マイナス符号
"「電磁気学的位置エネルギー」が低い方向へ動く
＝同方向の電流同士は引っ張り合う
10/31
ビオ-サバールの法則
! 直線導線→任意の形の導線
! 任意の形に曲がった導線を流れる定常電流によって
生じる磁束密度に関する法則
電流素片
点Q方向へのベクトル
電流素片
µ0 Ids ( r " ) # ( r $ r " )
dB ( r ) =
3
4!
r $ r"
点Qまでの距離
11/31
磁束密度の重ね合わせ
! 線積分・空間積分による重ね合わせ
µ0 Ids ( r " ) # ( r $ r " )
dB ( r ) =
3
4!
r $ r"
! 限られた区間の導線に流れる電流による磁束密度
B
µ0 I B ds ( r ! ) $ ( r % r ! )
B(r ) = " d B(r!) =
3
"A
A
4#
r % r!
! 限られた空間領域を占める電流による磁束密度
µ0 i ( r " ) # ( r $ r " )
B(r ) =
dv "
3
%V
4!
r $ r"
12/31
【例題】ビオ-サバールの法則
! 例題5.2
! 無限に長い直線導線に電
流I が流れているときに，
その周囲に生じる磁束密度
を求めよ．
µ0 Ids ( r " ) # ( r $ r " )
dB ( r ) =
3
4!
r $ r"
! (x, y, z) " 円柱座標 (r, ", z)
13/31
磁束密度におけるガウスの法則
! 微小面積を法線方向に貫く微小磁束→全磁束
! 磁束線の分布を見出すために，閉曲面Sを微小面積
dSiに分割
法線方向について
磁束線のベクトル
和はゼロ
d! i = Bi " ndSi = Bi " dSi
! = " d! = " B ( r ) # dS ( r ) = 0
S
S
14/31
アンペールの法則
! 閉曲線を貫く電流の重ね合わせ
! ある閉曲線上における磁束密度の周回積分は，その
閉曲線を貫く電流の和に等しい
!"
C
B ! ds = µ0 # I i
i
µ0 I
B=
2! r
I1 ! I 2 + I 3 ! I 4
15/31
【例題】アンペールの法則
! 例題5.3
! 無限に長い円柱導体に電流I
が流れているとき，その導体
の内部と外部における磁束密
度を求めよ．
!"
C
B ! ds = µ0 # I i
ez
er e"
i
(1) r > a（導体外部）
(2) r < a（導体内部）
! (x, y, z) " 円柱座標 (r, ", z)
16/31
Title
磁性体と電磁誘導
-第６回物質が示す磁気的性質および磁場との間の相互作用の実態に
ついて理解する．また，時間変化する磁場が作り出す電場に
ついて学び，自己誘導と相互誘導について理解する．
17/31
磁化
! 鉄片が磁気を帯びる理由
! 磁石から出た磁束密度に晒されることにより鉄片が
磁気的な性質を帯びる（磁化）→磁石と引き合う
18/31
磁気双極子
! 2つの磁荷の対を一単位として捉える
! 微小距離 d だけ離れて存在する正負等量の磁極の対
＝磁気双極子（magnetic dipole）
-qm
+qm
磁気双極子モーメント
m = qm d
19/31
磁気的性質をもつということ
! 原子がもつ磁気双極子モーメント
軌道角運動量
!
磁気双極子モーメント
スピン角運動量
20/31
磁化ベクトル
! 磁化の程度を表す物理量
! 磁化ベクトルM [A/m]＝単位体積中に含まれる磁気
双極子モーメントのベクトル和
m
!
M=
i
i
"v
" 磁気モーメントmi の方向が
っている方が，より大きな
磁化ベクトルをもつ
21/31
磁化電流
! 磁化ベクトルが誘起する仮想電流（磁化電流）
! 磁気双極子モーメントm が誘起
する微小電流 I： m = ISn
! 微小な直方体中にある磁気双極
子モーメントを考えると
!m
i
= M"v = nM "S"d = n"I m "S
i
" 磁化電流： !I m = M !d
!I m
=M
" 磁化電流密度： im =
!d
22/31
磁束の中にある物質
B
？
" 磁束の中にある物質系においては，磁気双極子モーメ
ントに由来する磁化電流も考慮する必要がある
23/31
磁場
! 磁束密度→磁場
! 磁場 H：
B
H=
!M
µ0
! 磁場に対するアンペールの法則：
!"
C
B ! ds = µ0 # I i
i
= µ0 ( NlI + im l ) = µ0 ( NlI + Ml )
!" ( B ! µ M ) # ds = µ NlI
0
0
! H " ds = NlI
24/31
磁性体
! 磁気的性質に着目したときの区分
! 物質中の磁気双極子モーメントの振る舞い：
常磁性体
強磁性体
反強磁性体
反磁性体
! 磁性体における磁化ベクトルの大きさは磁場に比例
B = µ0 ( H + M ) = µ0 (1 + ! m ) H = µ H
磁化率透磁率
[ref] https://staff.aist.go.jp/
25/31
常磁性体
! 磁気双極子モーメントはランダム
! 比透磁率 #r ＞ 1（#m ＞ 0）→ 通常は非磁性
H
"外部磁場を加えると，各モーメントは外部磁場の方向
へい磁化ベクトルが大きくなる
キュリー定数
C
! 磁化率は温度に反比例（キュリーの法則）： ! m = T
反磁性体
! 磁気双極子モーメントの合計はゼロ
! 比透磁率 #r ＜ 1（#m ＜ 0）→ 通常は非磁性
H
"外部磁場を加えると，その外部磁場を打ち消すように，
軌道電子の周回軌道に対してラーモア回転が付加される
＝逆向きの磁気双極子モーメントが誘起される
27/31
強磁性体
! 磁気双極子モーメントの向きが一様
! 外部磁場を加えなくても，標準的に大きな磁化ベク
トルを生じる（自発磁化）
! 磁気双極子モーメントを
えようとする相互作用と
各原子の熱運動とは相反する
"キュリー温度 Tc を超えると自発磁化は消失する
! キュリー-ワイスの法則： ! m = C (T " Tc )
28/31
磁性体の例
29/31
「磁性体」のまとめ
! 磁性体に対して外部磁場を印加すると，各原子がも
つ磁気双極子モーメントの方向が変わり磁化が生じ
る．磁気双極子モーメントが磁場と同方向にう物質
を常磁性，逆方向にう物質を反磁性という。
! 常磁性体の磁化率は，温度の逆数に比例する（キュ
リーの法則）．
! 原子間相互作用により磁気双極子モーメントが一方
向にっている（自発磁化）物質を強磁性体という．
! 磁性体の境界面では，磁束密度B の法線成分が等し
く，磁場H の接線成分が等しい．
30/31
次回予定
マクスウェル方程式と電磁波
-第７回変位電流の概念について学び，電磁気学の基本方程式である
マクスウェルの方程式について理解する．さらに，マクス
ウェルの方程式から電磁波を導き，その性質を理解する．
31/31

Download Report