gesammelte Merkblätter - Institut für Technische und Numerische

Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard
Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Jun.-Prof. Dr.-Ing. J. Fehr
Technische Mechanik I
WS2016/2017
M 0.1
Technische Mechanik I
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard
Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Jun.-Prof. Dr.-Ing. J. Fehr
Vorlesung: Die Vorlesung wird für die Studierenden der Bachelorstudiengänge Maschinenwesen, Mechatronik, Technologiemanagement, Technische Kybernetik, Fahrzeug− und Motorentechnik, Mathematik, Informatik und Verfahrenstechnik gehalten.
Übungen:
Die Vorlesung wird durch Vortragsübungen ergänzt, die unmittelbar auf den Vorlesungsstoff
abgestimmt sind. Zusätzlich findet ein Seminarbetrieb statt. Dort lösen die Studierenden unter
individueller Anleitung selbständig Aufgaben. Die seminaristischen Übungen finden in Gruppen
statt. Das erste Seminar findet am Mittwoch, den 09. November 2016 statt.
Sprechstunden: Während der Vorlesungszeit finden im Sprechstundenbereich, vor Zimmer 4.155 des Instituts, Dienstag und Donnerstag von 13.00 bis 14.00 Uhr Sprechstunden statt. Fragen, die in
den Vorlesungen und Übungen offen geblieben sind, können dort besprochen werden. Darüber hinaus werden fachliche Auskünfte am Institut durch Herrn Benjamin Fröhlich, M.Sc.
(Raum 4.114, Tel.: 685-66281) erteilt.
Vorlesungen und Vortragsübungen
Montag 11.30-13.00 Uhr, V53.01
Dienstag 8.00 - 9.30 Uhr, V53.01
mach, verf, fmt, tema,
mecha, math, info, kyb
Seminaristische Übungen
G01
Mittwoch 8.00-9.30 Uhr, V 7.02
mach, fmt
G02
Mittwoch 8.00-9.30 Uhr, V 38.01
mach, fmt
G03
Mittwoch 8.00-9.30 Uhr, V 55.01
verf
G04
Mittwoch 14.00-15.30 Uhr, V 38.01
kyb, mecha
G05
Mittwoch 14.00-15.30 Uhr, V 27.02
tema
Dozent: Prof. Fehr
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WS2016/2017
M 0.2
Hinweise
Institut:
Die Räume des Instituts für Technische und Numerische Mechanik befinden sich im Ingenieurwissenschaftlichen Zentrum (IWZ), Pfaffenwaldring 9, 4.Stock.
www:
http://www.itm.uni-stuttgart.de
Unterlagen: Zur Kennzeichnung der vom Institut herausgegebenen schriftlichen Unterlagen werden folgende Kennbuchstaben − gefolgt von der laufenden Nummer − verwendet:
M
A
Ü
… Merkblätter zur Vorlesung
… Arbeitsblätter
… Übungsaufgaben
S … Stimmungsbarometer
P … Prüfungen
L … Lösungen
Merkblätter: Die Merkblätter können im Internet heruntergeladen werden:
http://www.itm.uni-stuttgart.de/courses/tm1
Aufgaben:
In den Vortragsübungen werden Aufgaben aus einer Aufgabensammlung (Ü) vorgerechnet.
Auch im Seminar werden Aufgaben aus dieser Aufgabensammlung sowie weitere Arbeitsblätter (A) behandelt. Die Aufgabensammlung (Ü) und Aufgabenblätter (A) sind im Internet auf
den Institutsseiten erhältlich. Die Lösungen der verbleibenden Aufgaben werden ausgehängt.
Unterlagen im Internet: Organisatorische Hinweise sowie aktuelle Unterlagen zur TM I finden Sie auch im
Internet unter http://www.itm.uni-stuttgart.de/courses/tm1
Prüfungsvorleistungen/Scheine: Sind seit Einführung des Bachelors nicht mehr erforderlich.
Prüfung:
Der Termin der Prüfung im Frühjahr 2017 steht noch nicht fest und ist im Laufe des Semesters
beim Prüfungsamt zu erfahren. Der Termin ist für viele Studierende, die im WS 2016/17 ihr
Studium begonnen haben, obligatorisch (z.B. Orientierungsprüfung in Mechatronik, Technische Kybernetik).
Prüfungsanmeldung: Die Anmeldung erfolgt immer über das Prüfungsamt.
Hilfsmittel:
In der Prüfung sind als Hilfsmittel ausschließlich 6 Seiten Formelsammlung (entspricht 3 Blättern DIN-A4 doppelseitig) zugelassen. Elektronische Geräte sind ausdrücklich nicht zugelassen.
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Technische Mechanik I
M 1.1
Technische Mechanik 1
Stereostatik
1. Grundlagen der Vektorrechnung
2. Grundlagen der Statik
3. Gleichgewicht
4. Fachwerke
5. Reibung
6. Balkenstatik
7. Seilstatik
TM 2
TM 3
Elastostatik
Kinetik
1.
2.
3.
4.
Spannungen und Dehnungen
Zug und Druck
Torsion
Biegung
Kinematik
1. Punktbewegung
2. Ebene Bewegung starrer Körper
3. Räumliche Bewegung starrer Körper
4. Relativkinematik
TM 4
1.
2.
3.
4.
Schwingungen II
Stoßvorgänge
Energiemethoden und Elastostatik
Näherungsverfahren
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Kinetische Grundlagen
Sätze der Punktmechanik
Kinetik des Punkthaufens
Kinetik des starren Körpers
Arbeitssatz und Energiesatz
Prinzipe der Mechanik
Schwingungen
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Technische Mechanik I
M 1.2
Literatur
Gross, D.; Hauger, W.; Schröder, J.; Wall, W.: Technische Mechanik. Band 1/2/3/4.
Berlin: Springer, 2011/2011/2012/2011.
(Euro 19,95/19,95/19,95/29,95)
Ehlers, W.; Gross, D.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik. Band 1 und 2, Berlin: Springer, 2011/2011. (Euro 14,95/14,95)
Hagedorn, P.: Technische Mechanik. Band I/II/III.
Frankfurt: Verlag Harri Deutsch, 2008/2006/2008.
(Euro 19,80/19,80/19,80)
Hibbeler, R. C.: Technische Mechanik 1 – Statik.
München: Pearson Studium, 2012. (Euro 49,95)
Hibbeler, R. C.: Technische Mechanik 2 - Festigkeitslehre.
München: Pearson Studium, 2005. (Euro 49,95)
(einige Fotos aus der Vorlesung werden mit Genehmigung des
Verlages aus den Büchern von R. C. Hibbeler genommen)
Magnus, K.; Müller-Slany, H. H.: Grundlagen der Technischen Mechanik. 7. Auflage.
Stuttgart: Teubner, 2005. (Euro 24,90)
Sayir, M. B.; Dual, J.; Kaufmann, S.: Ingenieurmechanik. Band 1/2.
Wiesbaden: Teubner, 2012/20009. (Euro 20,90/29,95)
Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik. 8. Auflage.
Berlin: Springer, 2002. (Euro 164,95)
Weidemann, H.−J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und Lösungen. 3. Auflage. Stuttgart: Teubner, 2006. (Euro 29,90)
Taylor, J. R.; Klassische Mechanik – Ein Lehr- und Übungsbuch.
München: Pearson Studium, 2014. (Euro 49,90)
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Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
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M 2.1
Systeme gebundener Vektoren
Definition
Ein gebundener Vektor a besitzt einen festen Anfangspunkt O . Seine mathematische Beschreibung kann
durch einen Vektor a und einen Ortsvektor r PO mit dem An-
M(P )
fangs− oder Bezugspunkt P erfolgen
a
{r
PO
, a} .
Die Wirkung eines gebundenen Vektors wird durch das Moment
r PO
M ( P) = r PO × a
a1
a2
r PO
rPO
definiert.
Ein System A , das durch die gebundenen Vektoren a i ,
an
2
rPO
1
n
M
dem gemeinsamen Bezugspunkt P addiert werden
( P)
A1
M
i = 1 (1) n , mit den festen Anfangspunkten Oi gebildet wird,
kann nicht nach den Regeln der Vektoralgebra durch Addition
zusammengefasst werden, da die Parallelverschiebung der
Vektoren a i nicht erlaubt ist. Jedoch können die Momente mit
M (AP ) =
( P)
A2
n
M
i =1
( P)
Ai
=
n
r
i =1
PO i
× ai .
)
M (P
A
n
Äquivalenz
Zwei Systeme A und B von gebundenen Vektoren heißen äquivalent, wenn sie für jeden beliebigen Bezugspunkt P dasselbe Moment ergeben (Äquivalenzaxiom)
( a1 , a 2 , ... , a n ) ~ ( b1 , b 2 , ... , b m ) , falls M (AP ) = M (BP ) , P beliebig.
Für die praktische Anwendung ist das Äquivalenzaxiom wenig geeignet, da die Momentengleichheit für jeden beliebigen Bezugspunkt erfüllt sein muss.
Reduktion
Jedes System gebundener Vektoren kann auf einen äquivalenten Vektorwinder reduziert werden, der sich
für einen festen Bezugspunkt O berechnen lässt. Der Vektorwinder entspricht den Anforderungen der Praxis.
Das Moment
ai
M(P)
rPO
n
M ( P ) = r PO ×  a i +
i =1
i
n
r
i =1
OO i
× a i = r PO × a + M ( O )
für den beliebigen Punkt P wird durch den von Punkt P abhängigen Ortsvektor r PO und die von P unabhängigen Vekto-
r PO
rOO
ren
a =
i
n
 a i , M (O ) =
i =1
M
(O )
a
n
r
i =1
OO i
× ai
bestimmt. Damit ist der äquivalente Vektorwinder gefunden
( a1 , a 2 , ... , a n ) ~ ( a , M (O ) ) ~ ( a , M ( P ) )
Die Elemente des Vektorwinders, der gebundene resultierende
Vektor a und das freie resultierende Moment
nach den Regeln der Vektoralgebra gebildet.
M (O ) , werden
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M 2.2
Zwei Systeme A und B von gebundenen Vektoren sind damit äquivalent, wenn ihre Winder übereinstimmen
( a1 , a 2 , ... , a n ) ~ ( b1 , b 2 , ... , b m ) , falls a = b und M (AO ) = M (BO ) , O fest.
Transformation
Wird der feste Bezugspunkt O des Vektorwinders z.B. durch eine Koordinatentransformation in den ebenfalls festen Bezugspunkt Q verschoben, so ändert sich nur das zweite Element des Vektorwinders entsprechend dem Transformationsgesetz
M ( Q ) = r QO × a + M ( O ) .
M(Q)
rQO
Die Vektorwinder eines Systems von gebundenen Vektoren
bezüglich der Punkte O und Q sind äquivalent, wenn sich ihre
Momente nach dem Transformationsgesetz ändern
a
M
a
(O )
( a , M (O ) ) ~ ( a , M (Q ) ) ,
falls M
(Q )
= r QO × a + M ( O ) ,
O , Q fest.
Vektorschraube - Normalform des Vektorwinders
Jeder Vektorwinder lässt sich durch Wechsel des Bezugspunktes von O nach S auf seine Normalform
(S )
transformieren, in welcher der resultierende Vektor a und das resultierende Moment M
= p a dieselbe
Richtung besitzen. Man bezeichnet die Normalform des Vektorwinders als Vektorschraube und p als die
Steigung der Schraube. Durch den Bezugspunkt S und die Richtung von a wird die Zentralachse festgelegt
r (λ ) = r OS + λ a ,
rOS
a
a
M
(O )
M (S )
λ Parameter.
Im Einzelnen gelten die Beziehungen
p =
a ⋅ M (O )
,
a2
r OS =
a × M (O )
,
a2
wobei rOS den kürzesten Abstand zwischen O und der Zentralachse beschreibt und a der Betrag des Vektors a ist.
Die Vektorschraube besitzt keine große praktische Bedeutung.
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M 2.3
Schritte bei der Untersuchung von Vektorsystemen
1) Skizze des Vektorsystems ( a1 , a 2 , ... , a n )


2) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems  O ,

Ursprung


ex , ey , ez 


 
Achsenrichtungen 
3) Koordinatendarstellung der Ortsvektoren und Vektoren {ri , a i } , i = 1(1)n
4) Berechnung des Vektorwinders (a , M)

Vektorsystem ( a1 , a 2 , ... , a n )
n
a =  ai ,
M (O ) =
i =1

n
r
i
× ai
i =1
System mit Vektorpaaren (freie Momente)
( a1 , a 2 , ... , a n , a n +1 , − a n +1 , ...)

 
Vektoren
freies Moment
~ ( a1 , a 2 , ... , a n , M1 , ...)
n
a =  ai ,
i =1
M (O ) =
n
r
i
i =1
l
× ai +  M j
j =1
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M3
Lösung von Gleichgewichtsaufgaben
Vorgehen
1)
Skizze des Systems
2)
Erstarrungsprinzip (mechanisches System  starre Körper),
3)
4)
5)
bekannte (eingeprägte) Kräfte eintragen
Schnittprinzip, unbekannte Kräfte (Reaktionskräfte) eintragen
Wahl eines günstigen Koordinatensystems
Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen
Die Gleichgewichtsbedingungen sind in Koordinaten bezüglich des Ursprungs O angeschrieben.
Für ebene parallele Kräftesysteme kann die Summe aller Kräfte durch eine zweite Summe aller
Momente bezüglich eines zusätzlichen Bezugspunktes Q ersetzt werden.
Modell
Punkt
Körper
Kräftesystem
räumlich
eben
F zi = 0 , z i = 0
F
F
F
F
F
= 0
F
F
F
= 0
F
xi
= 0
yi
= 0
zi
xi
yi
= 0
eben, parallel
Fyi = 0 , zi = 0
F zi = 0 ,
F
xi
= 0
xi
= 0 ,
yi
= 0 ,
zi
= 0,
xi
= 0 ,
( y F
(z F
( x F
i
zi
− zi Fyi ) = 0
i
xi
− x i F zi ) = 0
i
yi
− yi Fx i ) = 0
yi
− yi Fx i ) = 0
xi
= 0
( x F
i
F
yi
= 0 ,
F
xi
= 0 ,
 yF
oder
 yF
i
xi
= 0 ,
i
y
QOi
F xi = 0
Die Gleichgewichtsbedingungen für den Punkt folgen auch aus dem ersten Gesetz,
das Newton 1687 in lateinischer Sprache veröffentlichte:
Corpus omne perservare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
(Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung,
solange dieser Zustand nicht durch eingeprägte Kräfte geändert wird).
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M4
Lagerung von Körpern
Lagerungen verbinden technische Konstruktionen (Punkte, Körper) untereinander und mit ihrer Umgebung. Sie beschränken (binden geometrisch) die Bewegungsmöglichkeit und rufen Lagerreaktionen hervor. Die Lagerungen übertragen Kräfte und Momente. Es werden ideale Lagerungen vorausgesetzt, d.h. die Lagerungen sollen reibungsfrei und starr
sein.
Die Art der Lagerung eines mechanischen Systems wird bestimmt durch die Summe p aller Gleichgewichtsbedingungen, die Summe q aller Lagerwertigkeiten und die Zahl r der unabhängigen Lagerwertigkeiten. Die Zahl der
Gleichgewichtsbedingungen je Körper des betrachteten mechanischen Systems folgt aus der Tabelle auf dem Merkblatt
M 3. Die Wertigkeit eines einzelnen Lagers des mechanischen Systems ist durch die maximal mögliche Anzahl der Lagerreaktionen bestimmt, siehe untenstehende Tabelle. Die ebenen (parallelen) Systeme sind dabei durch ebene (parallele) Kräftesysteme und Bewegungen gekennzeichnet.
Lagertyp
Symbol
y
O
Wertigkeit (Lagerreaktionen)
räumlich
x
eben
Fy = 0
z
i
feste
Einspannung
( Fx , Fy , Fz ,
Scharniergelenk
6
M x , My , Mz )
,
( Fx ,
2
( Fx , Fz )
4
2
( Fx , Fy , Fz , M x )
( Fx , Fz )
Kugelgelenk
( Fx ,
3
Fy , Fz )
yi = 0
Fx = 0 , Fy = 0
i
3
Fz , M y )
5
( Fx , Fy , Fz , M x , M z )
Kardangelenk
eben, parallel
2
( Fx , Fz )
Kugelgelenk
Parallelführung
2
2
( Fx , Fz )
( Fx , Fz )
Kugelgelenk
Vertikalführung
1
( Fx )
i
,
yi = 0
2
( Fz , M y )
f
e
s
t
e
s
1
( Fz )
G
e
l
e
n
k
1
( Fz )
1
( Fx )
1
( Fz )
G
e
l
e
n
k
1
( Fz )
0
Die Wertigkeit bleibt unverändert, wenn sich das Lager nicht gegen die Umgebung, sondern gegen andere Körper des
Systems abstützt. Mehrfache Lager sind auf einfache Lager zurückzuführen. Die Zahl r der unabhängigen Lagerwertigkeiten entspricht der Zahl der linearen unabhängigen Gleichungen zwischen den Lagerreaktionen.
Statisch unbestimmte Lagerung: Ein mechanisches System heißt n−fach statisch unbestimmt, wenn es n überzählige Lagerreaktionen hat: n = q − r > 0.
Statisch bestimmte Lagerung: Ein mechanisches System heißt statisch bestimmt, wenn es keine überzähligen Lagerreaktionen hat: n = 0.
Kinematisch unbestimmte Lagerung: Ein mechanisches System heißt f−fach kinematisch unbestimmt, wenn es f
Freiheitsgrade hat: f = p − r > 0.
Kinematisch bestimmte Lagerung: Ein mechanisches System heißt kinematisch bestimmt, wenn es keinen Freiheitsgrad hat: f = 0.
Bestimmte Lagerung: Ein mechanisches System heißt (kinematisch und statisch) bestimmt, wenn es weder überzählige Lagerreaktionen noch einen Freiheitsgrad hat: n = 0 und f = 0 . Die Lagerreaktionen bestimmter mechanischer
Systeme lassen sich eindeutig und vollständig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen.
Art des mechanischen Systems
n=0
n=0
n=0
n>0
n>0
,
,
,
,
,
Hilfsmittel zur Berechnung
f =0
Stereostatik
f >0
Stereostatik + Erstarrungsprinzip
f >0
Stereokinetik
f =0
Elastostatik
f >0
Elastokinetik
Hinweis: Für kinematisch bestimmt gelagerte Systeme, d.h. für Systeme ohne Bewegungsmöglichkeit, gilt wegen f = 0
die vereinfachte Beziehung für die Zahl der überzähligen Lagereaktionen: n = q − p.
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Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
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M5
Beispiele für die Lagerung von Stäben in der Ebene
Kinematisch unbestimmte Lagerung
1 Gelenk
1 Stab
f=
n=
Bestimmte Lagerung (kinematisch und statisch)
3 Gelenke
2 Stäbe
f=
n=
Statisch unbestimmte Lagerung
5 Gelenke
3 Stäbe
f=
n=
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M6
Lagerung von Fachwerken
Fachwerke sind besondere technische Konstruktionen (Gerüstbauten, Gittermasten, Kranträger,
usw.), deren Körper zu Stäben und deren Lagerungen zu Kugelgelenken (Knoten) entartet sind.
Man unterscheidet einfache und nichteinfache Fachwerke.
einfaches Fachwerk
nichteinfaches Fachwerk
Ein einfaches räumliches (ebenes) Fachwerk erhält man ausgehend von einem geeigneten
Grunddreieck (Stab), wenn jeder zusätzliche Knoten durch drei (zwei) Stäbe mit dem vorhandenen
Teil des Fachwerks so verbunden wird, daß die zusätzlichen Stäbe nicht in einer Ebene (auf einer
Geraden) liegen. Ein einfaches Fachwerk wird auch abbrechbar genannt.
Für jedes einfache Fachwerk ist die Zahl s der Stäbe mit der Zahl k der Knoten wie folgt verknüpft:
s = 3k − 6
( s = 2k − 3 ) .
Ein einfaches räumliches (ebenes) Fachwerk ist dann und nur dann kinematisch und statisch bestimmt, wenn es als Ganzes bestimmt gelagert ist.
Ein nichteinfaches Fachwerk kann auch kinematisch und statisch bestimmt sein, wenn es als
Ganzes statisch unbestimmt gelagert ist. Für nichteinfache Fachwerke gelten die allgemeinen Kriterien für die Lagerung von Körpern (Merkblatt 5).
Typische Belastungsfälle am Balken und ihre Auswirkungen auf die innere Belastung
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M7

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