Blatt 4 - Fakultät für Mathematik

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. W. Kaballo
Dortmund, 10.11.2016
Funktionalanalysis I
4. Übungsblatt, WiSe 2016/17
1) Konstruieren Sie eine Folge (fn ) in C 1 [a, b] mit sup ||fn ||W11 < ∞ die in C[a, b] nicht
n∈N
präkompakt ist.
2)
a) Zeigen Sie C 1 [a, b] ' K × C[a, b] und K × c0 ' c0 .
Hinweis. Verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
b) Konstruieren Sie Isometrien Φ von c0 in C[a, b] sowie Ψ von `∞ in L∞ [a, b].
Folgern Sie, dass der Raum L∞ [a, b] nicht separabel ist.
−j
Hinweis. Für [a, b] = [0, 1] definieren Sie Φ(xj )∞
j=0 := f durch f (2 ) := xj und
−j−1
lineare Interpolation sowie Ψ(xj )∞
< t < 2−j .
j=0 := g durch g(t) := xj für 2
c) Konstruieren Sie lineare Operatoren P : C[a, b] → c0 mit ||P || ≤ 2 und P Φ = I
auf c0 sowie Q : L∞ [a, b] → `∞ mit ||Q|| = 1 und QΨ = I auf `∞ . Folgern Sie
C[a, b] ' c0 × N (P ) sowie L∞ [a, b] ' `∞ × N (Q).
d) Schließen Sie mittels a)
C 1 [a, b] ' K × C[a, b] ' K × c0 × N (P ) ' c0 × N (P ) ' C[a, b].
1
3) Gegeben seien die Linearformen S : f 7→ −1
f (t)dt und δ : f 7→ f (0) auf C 1 [−1, 1].
Untersuchen Sie, ob diese Linearformen bezüglich der Normen || ||sup , || ||L1 , || ||L2
oder || ||C 1 stetig sind, und berechnen sie gegebenenfalls ihre Normen.
R
4)
a) Es seien X ein normierter Raum und V ⊆ X ein echter abgeschlossener Unterraum. Zu 0 < ε < 1 gibt es dann x ∈ X mit ||x|| = 1 und dV (x) ≥ ε.
b) Geben Sie mit Hilfe von a) einen weiteren Beweis von Satz 3.8.

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