Leseprobe - STARK Verlag

48 r Klausuren zum Themenbereich 2
Klausur 6 (hilfsmittelfreier Teil + GTR)
BE
1
Lösen Sie ohne Verwendung von Hilfsmitteln:
Der Graph gehört zu einer Funktion f, die im Modell beschreibt, wie
schnell sich eine kleine zunächst leere Zisterne mit Regenwasser füllt.
Dabei gibt x die Zeit in Minuten an und f(x) die Zulaufrate zum Zeitpunkt x in Liter pro Minute.
a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang.
4
b) Zum Zeitpunkt x = 0 ist das Becken leer. Skizzieren Sie den qualitativen
Verlauf des Graphen, der die Wassermenge im Becken in Abhängigkeit
von der Zeit darstellt, und erläutern Sie Ihre Skizze im Sachzusammenhang.
6
c) Erläutern Sie, warum die Größe
der Fläche unter dem Graphen
von f die Gesamtmenge des Wassers nach 30 Minuten wiedergibt.
Schätzen Sie diese Menge anhand der nebenstehenden Abbildung grob mit elementargeometrischen Methoden ab.
4
2
Regenrückhaltebecken (RRB) sind Speicherräume zur kurzfristigen
Rückhaltung von in die Kanalisation eingeleitetem Regenwasser. Sie
dienen der Entlastung der Kanalisation bei starkem Regen und haben im
Gegensatz zu Regenüberlaufbecken nur einen Notüberlauf zu einem
Gewässer.
In der Bielefelder Innenstadt ist der unterirdische Bau eines RRB mit einem Fassungsvermögen von 8 700 m3 geplant als eine 70 m lange und
Klausuren zum Themenbereich 2 r 51
Hinweise und Tipps
1
a) Achten Sie auf markante Werte und die Veränderung der Steigung.
b) Stellen Sie sich vor, wie sich die unterschiedlichen Zuflussraten auf die
Gesamtmenge auswirken.
c) Achten Sie auf die Einheiten von x und y. Hier ist nur nach einer Abschätzung des Flächeninhalts gefragt. Sie können die Kästchen auszählen
oder die Fläche in ein inhaltsgleiches Rechteck verwandeln.
2
a) Sie können von der Quaderform der Halle ausgehen, das Volumen
berechnen und mit dem geplanten Fassungsvermögen vergleichen.
b) Informationen zum geplanten Speichervolumen und zum Speichervolumen pro Hektar finden Sie im Text. Vergleichen Sie beide miteinander.
c) Von der Angabe „Liter pro m2“ müssen Sie auf die Angabe „m3 pro ha“
unter Berücksichtigung der befestigten Fläche umrechnen.
d) Das Problem führt auf eine Flächenberechnung unter einem Graphen.
Interpretieren Sie den Graphen als Teil einer Parabel. Benutzen Sie die
Informationen aus dem Text und der Grafik. Der Wert eines bestimmten
Integrals ist gegeben und es muss die zugehörige obere Grenze ausgerechnet werden. Setzen Sie hier den GTR ein.
3
a) Bei einer linearen Änderung der Geschwindigkeit können Sie aus Anfangs- und Endwert die mittlere Geschwindigkeit als fiktive konstante
Geschwindigkeit im Zeitintervall berechnen. Denken Sie daran, die Einheiten umzurechnen, von km
in ms .
h
b) In Gedanken hat das Flugzeug in jedem Zeitintervall die ganze Zeit die
Geschwindigkeit, die es am Ende des Intervalls hat. Das ist nicht realistisch, d. h. aber auch, dass die wahre Länge mit Sicherheit darunter liegt.
c) Achten Sie bei der Regression auf eine möglichst einfache Funktion.
Speichern Sie die Funktion für die folgenden Teilaufgaben ab.
d) Die Zeitintervalle werden jetzt unabhängig von den Daten im mathematischen Modell betrachtet. Die Geschwindigkeit ermitteln Sie mithilfe der
Regressionsfunktion aus Teilaufgabe c. Verwenden Sie für eine übersichtliche Schreibweise das Summenzeichen.
e) Das bestimmte Integral kann mit dem GTR berechnet werden, wenn die
Funktion aus Teilaufgabe c abgespeichert wurde.
52 r Klausuren zum Themenbereich 2
Lösung
BE
1
a)
b)
c)
6 Minuten,
Die Stärke des Zulaufs beträgt zu Beginn etwa 40 Liter pro Minute
und steigt stark auf etwa 110 Liter pro Minute an, ca. vier Minuten
später. Der Zulauf nimmt von da an ständig, aber nicht gleichmäßig
ab und versiegt nach etwa 30 Minuten fast vollständig.
8 Minuten,
/
Der Graph muss bei (0 | 0) beginnen, da die Zisterne zunächst leer
ist. Er muss die ganze Zeit steigen, weil ständig Wasser zuläuft.
Bis x = 4 steigt der Graph immer
stärker, dann schwächer, weil die
Zulaufrate nach vier Minuten abnimmt. Später verläuft er nahezu parallel zur x-Achse, weil kaum
noch Wasser zufließt, die Gesamtmenge also nahezu gleich bleibt.
6 Minuten,
/
y gibt die Zuflussrate in Liter pro Minute an, x die Zeit in Minuten.
Das Produkt beider hat als Einheit Liter. Es ist möglich, die Anzahl
der Kästchen unterhalb der Kurve zu zählen. Ein Kästchen repräsentiert ein Volumen von:
;
20
⋅10 min = 200 ;
min
2
2
2
2
2
1
1
Die Fläche umfasst etwa 7,5 Kästchen.
7,5 ⋅ 200 ; = 1 500 ;
Es sind nach 30 Minuten etwa 1 500 Liter Wasser in der Zisterne.
Alternativer Lösungsweg:
Nach Augenmaß wird eine horizontale Gerade eingezeichnet,
sodass die Fläche zwischen
Graph und Gerade ebenso groß
ist wie zwischen Gerade und
Graph. Das bedeutet, dass bei
konstanter Zuflussrate genauso
viel Wasser in die Zisterne fließen würde.
2

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