1
f(x) を
f(x) =
Z
x
0
t ¡ 2 dt
とする．ただし x = 0 とする．
関数 y = f(x) のグラフと x 軸，x = 1，x = 4 で囲まれる部分の面積は
ナ
ニ
で
ある．
（ 早稲田大学 2016 ）
2
曲線 C : y = x2 上の点を P とする．ただし P の x 座標は正とする．点 P における C の接
線を `，点 P を通り ` に垂直な直線を m とする．直線 m と曲線 C が P とは異なる交点を
もつとき，その点を Q とする．点 P が曲線 C 上を動くとき，以下の問に答えよ．
(1) 点 Q における C の接線を n とし，` と n との交点を R とする．点 R の座標を (p; q) と
するとき
q=
キ
ク
p2
+
ケ
コ
が成り立つ．
(2) 曲線 C と線分 PQ で囲まれる部分の面積の最小値は
サ
シ
であり，そのときの点 P，
Q の座標は
P%
ス
セ
;
ソ
タ
=;
Q%
チ
ツ
;
テ
ト
=
である．
（ 早稲田大学 2016 ）
3
座標平面において，x 軸上に 3 点 (0; 0)，(®; 0)，(¯; 0) (0 < ® < ¯) があり，曲線
C : y = x3 + ax2 + bx が x 軸とこの 3 点で交わっているものとする．ただし，a; b は実
数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 曲線 C と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和を S とする．S を ® と ¯ の式で表せ．
(2) ¯ の値を固定して，0 < ® < ¯ の範囲で ® を動かすとき，S を最小とする ® を ¯ の式で
表せ．
（ 九州大学 2016 ）
4
a; b を実数とし，曲線 C : y = x3 ¡ 3ax2 + bx を考える．C の接線の傾きの最小値が ¡3
であるとき，以下の問いに答えよ．
(1) b を a を用いて表せ．
(2) C が x 軸の正の部分，負の部分とそれぞれ 1 点で交わるとする．このとき a の値の範囲
を求めよ．
(3) a が (2) で求めた範囲にあるとき，C と x 軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そ
のときの a の値を求めよ．
（ 熊本大学 2016 ）
5
放物線 C : y = x2 + 2ax + b について次の問いに答えよ．ただし，a; b は実数とする．
(1) 放物線 C 上の点 (t; t2 + 2at + b) を通る接線の方程式を求めよ．
(2) 平面上の点 P(p; q) から C に相異なる 2 本の接線 `1 ; `2 が引けるとする．
‘ p; q は q < p2 + 2ap + b を満たすことを示せ．
’ `1 と `2 が直交するとき，q を a と b を用いて表せ．
（ 愛媛大学 2016 ）
6
8
ax3 ¡ 2x2 ¡ 8ax が x = X で極大値 Y をとると
3
する．a の値が変化するとき，点 (X; Y) が描く軌跡を図示せよ．
実数 a に対して，関数 f(x) = x4 +
（ 東京学芸大学 2016 ）
7
k を定数とする．2 つの曲線 C1 ，C2 を，
C1 : y = 3x2 ¡ 6x + k;
C 2 : y = x2
と定義する．曲線 C1 ，C2 はただひとつの共有点 A をもつ．
(1) k の値は
チ
ツ
である．
(2) 点 A を通る直線 ` をひき，直線 ` と曲線 C1 との交点を B，直線 ` と曲線 C2 との交点を
C とする．ただし ，点 B，C はいずれも点 A とは異なる点である．点 B の x 座標を p と
すると，点 C の x 座標は
テ
p+
ト
であり，直線 ` および曲線 C1 ，C2 で囲まれ
る部分の面積は
ナ
ニ
ヌ
3
¡p
となる．
（ 早稲田大学 2015 ）
8
2 次関数 y = f(x) のグラフは，上に凸であり，原点および点 Q(a; 0) を通るものとする．
ただし，0 < a < 1 である．関数 y = x2 のグラフを C，関数 y = f(x) のグラフを D と
し，C と D の共有点のうち，原点と異なるものを P とする．点 P における C の接線の傾
きを m，D の接線の傾きを n とするとき
(2a ¡ 1)m = 2an
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) f(x) を x と a の式で表せ．
(2) 0 5 x 5 a の範囲で，曲線 D と x 軸で囲まれた図形の面積を S(a) とする．S(a) を a の
式で表せ．
(3) (2) で求めた S(a) の 0 < a < 1 における最大値を求めよ．
（ 岡山大学 2015 ）
9
f(x) = x2 ¡ 2x + 2 とする．放物線 y = f(x) 上の点 P(p; f(p)) における接線を `1 と
し，放物線 y = f(x) 上の点 Q(p + 1; f(p + 1)) における接線を `2 とする．2 直線 `1 ，
`2 の交点を R とする．ただし p は定数である．次の問いに答えよ．
(1) 直線 `1 ; `2 の方程式をそれぞれ p を用いて表せ．
(2) 交点 R の座標を p を用いて表せ．
(3) 放物線 y = f(x) と 2 直線 `1 ; `2 とで囲まれた部分の面積を求めよ．
（ 新潟大学 2015 ）
10 次の問いに答えよ．
(1) 2 次関数 f(x) が
Z1
2
f(x) = 6x2 ¡ $
f(t) dt<
0
をみたすとき，f(x) を求めよ．
(2) 2 次関数 g(x) が
Z
g(x) = 4x ¡ $
2
2
1
0
g(t) dt<
をみたすとき，g(x) を求めよ．
（ 横浜国立大学 2015 ）

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