Universität Mannheim
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp, Falko Gauß
Lineare Algebra I
18.10.2016
Übungsblatt 7
Aufgabe 1 (20 Punkte) Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die Matrixmultiplikation: seien A, A0 ∈ Mat(m, n; K), B, B 0 ∈ Mat(n, o; K), C ∈ Mat(o, p; K), k ∈ K
(a) A · (B · C) = (A · B) · C
(b) (A + A0 ) · B = (A · B) + (A0 · B)
A · (B + B 0 ) = (A · B) + (A · B 0 )
(c) A · (k B) = k(A · B) = (k A) · B
(Assoziativitätsgesetz)
(Distributivgesetz)
(Skalare Multiplikation)
Aufgabe 2 (30 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Matrizen über R:
2 1
1 2
1
,
A=
+2
−1 4
4
3
1
2
1
1
1
1
B=
3 · 1 −1 2 − 2 , C = 1 −1 2 − 2 ·
4
1 −1 2
3 5
7
0 −1 1
2 · 0 0 1 ,
D = 41 −1 2 1 · 2 2
1
1 1
1 0 0
1 −1 −1
1 2 3
1
2 3 1
0 .
E=
·
3 1 2
−1
1
2
,
3
4
Geben Sie die Zeilen- und Spaltenvektoren von A an. Berechnen Sie außerdem das
folgende Matrixprodukt über dem Körper F9 aus Aufgabe 1 von Blatt 4:
d
1 2
F =
·
a b
e
Aufgabe 3 (20 Punkte) Sei K ein Körper und a, b, c, d ∈ K. Wann ist die lineare Abbildung f : K 2 → K 2 , die die Standardbasis {e1 , e2 } von K 2 auf die Vektoren
f (e1 ) = v1 = ae1 + be2 und f (e2 ) = v2 = ce1 + de2
abbildet ein Isomorphismus? (Tipp: Wann sind die Vektoren v1 und v2 linear unabhängig?)
Konstruieren Sie in diesem Fall die Umkehrabbildung g : K 2 → K 2 (die f ◦ g = idK 2
erfüllt). Berechnen Sie g(e1 ) und g(e2 ).
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Prof. Dr. Daniel Roggenkamp, Falko Gauß
Lineare Algebra I
18.10.2016
Aufgabe 4 (30 Punkte) Betrachten Sie den Vektorraum Mat(2, 2; R) der 2 × 2-Matrizen
mit reellen Einträgen.
(a) Zeigen Sie, dass
1 0
0 1
0 1
1 0
A1 =
, A2 =
, A3 =
, A4 =
0 1
0 −1
1 0
−1 0
eine Basis von Mat(2, 2; R) ist.
(b) Betrachten Sie nun die lineare Abbildung f : Mat(2, 2; R) → R2 , die die Ai wie
folgt abbildet
f (A1 ) = e2 , f (A2 ) = e2 , f (A3 ) = 2 e1 + e2 , f (A4 ) = −e2 ,
wobei e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) die Standardbasis von R2 bilden. Wie ist die
Dimension des Bildes im(f ) von f . Schließen Sie damit auf die Dimension des
Kerns ker(f ).
(c) Berechnen Sie ker(f ), und geben Sie eine Basis davon an.
(d) Erweitern Sie diese Basis zu einer Basis von ganz Mat(2, 2; R).
Abgabe 25.10.2016*
Die Probeklausur findet am Samstag 05.11. 10 Uhr in Hörsaal B6 A001 statt.
*
Lösungen bitte bis 10:15 Uhr in Kästen im Eingangsbereich des C-Teils von A5 einwerfen.
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