Kosmologie

Kosmologie
Prof. Lotze 2016
Kosmologisches Prinzip:
Die Welt in 3 räumlichen Dimensionen ist in all ihren messbaren Eigenschaften immer und überall isotrop und homogen.
[bezogen auf Längenskalen von ∼ 500 ⋅ 106 ly]
Retroversum - der schon beobachtbar gewesene Teil des Minkowski-Diagramms [im Lichtkegel, in der Vergangenheit]
Im Moment sieht man nur die Ereignisse auf dem Lichtkegel.
lateinische Buchstaben [a, b, . . . ] ∈ {1, 2, 3, 4}; griechische Buchstaben [α, β, . . . ] ∈ {1, 2, 3}; x4 = c0 t
Signatur (+ + + −); ds2 = gmn dxm dxn , Symmetrisch: gmn = gnm
1
Christoffel-Symbole: Γabc = g am [gmb,c + gmc,b − gbc,m ]
2
Robertson-Walker-Metrik:
Es ist gmn = gnm , wegen Isotropie ⇒ gα4 = 0 .
√
Via x4 ∶= −g44 (x̃4 )x̃4 kann immer g44 = −1 gewählt werden.
⇔ Weyl’sches Postulat:
Die Weltlinien von Galaxien sind Geodäten, die auf raumartigen Hyperflächen senkrecht stehen.
Isotropie zu jeder Zeit ⇒ Separabel in Raum und Zeit:
g̃αβ (xγ , t) = R̃2 (t) gαβ
Für Raumschnitte [t = const.] folgt aus Homogenität, dass die Raumkrümmung überall konstant sein muss ⇒
[wobei dann Ricci-Tensor Rβδ = 2Kgβδ , Krümmungsskalar R̂ = 6K]
Rαβγδ = K [gαγ gβδ − gαδ gβγ ] .
Aufgrund Isotropie kugelsymmetrischer Ansatz ⇒ ds2 = R̃2 (t)[
dr̃2
+ r̃2 dΩ2 ] − c20 dt2
1 − K r̃2
±
2
= dϑ2 +sin (ϑ) dϕ2
⎧
+1 , K > 0
⎪
√
⎪
R
⎪
Reskalierung von R̃ =∶ √ und r̃ = Kr und Definition von ε = ⎨ 0 , K = 0 liefert
⎪
K
⎪
⎪
⎩ −1 , K < 0
2
dr
+ r2 dΩ2 ] − c20 dt2 .
ds2 = R2 (t)[
1 − ε r2
⎧
sin(χ) , ε = 1
,0 ≤ χ ≤ π
⎪
radialer Abstand
D ∶= Rχ
⎪
⎪
χ
,ε = 0
,0 ≤ χ < ∞
Mit r(χ) = ⎨
vereinfacht sich die Notation zu
metrischer
Abstand
Rr
⎪
⎪
⎪
⎩ sinh(χ) , ε = −1 , 0 ≤ χ < ∞
ds2 = R2 (t)[dχ2 + r2 (χ) dΩ2 ] − c20 dt2 .
Hubble-Parameter H(t) =
Ṙ(t)
R(t)
dD
dt
= H(t)D(t)
m
l
d2 xk
k dx dx
+
Γ
=0
lm
dλ2
dλ dλ
∂L
d ∂L
[ k]− k = 0
dλ ∂ ẋ
∂x
Geodätengleichung:
Lagrange II:
Expansionsrotverschiebung:
schiebung.
Es ist
v(t) =
,
λo R(t0 )
=
=∶ 1 + z
λe R(te )
R(t) ≈ R(t0 )[1 +
Ṙ(t0 )
R(t0 )
, L=[
, mit o - Observation, e - Emission, z - Rotver-
[t − t0 ] +
1
2

R̈(t0 )
R(t0 )
[t − t0 ]2 + O ([t − t0 ]3 )]
mit dem Hubble-Parameter H0 = H(t0 ), dem Verzögerungsparameter q(t) = −
1
1
heißt Hubble-Zeit; für [t − t0 ] ≪
H0
H0
ds 2
] .
dλ
zeitartig : ds2 < 0
lichtartig : ds2 = 0
raumartig : ds2 > 0
=∶−q0 H0 2
=∶H0

; Geschwindigkeits-Entfernungs-Relation
,
R̈(t)R(t)
[q0 = q(t0 )].
Ṙ2 (t)
spricht man von “kosmischer Nahzone” / “kosmischer Nachbarschaft”.
1
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In zweiter Näherung ergibt sich in der Nahzone die Rotverschiebungs-Entfernungs-Relation
1
H0 D(t0 ) = c0 z − [1 + q0 ]c0 z 2 + O (z 3 ) .
2
L
[Leuchtkraft L] für einen radiales Licht
4πDL 2
[ds2 = 0] beobachtenden Beobachter [χ = const., t = t0 ] in obiger Näherung
L
DL ≈ χR(t0 )[1 + z] = D(t0 )[1 + z] .
und mit r(χ) = χ + O (χ3 )
F=
4πr2 (χ)R2 (t0 )[1 + z]2
1
⇒ H0 DL = c0 z + [1 − q0 ]c0 z 2 + O (z 3 ) .
2
Für die Leuchtkraft-Entfernung DL ergibt sich über den Fluss F =
ab...
D T c...
ab...
ab...
= T c...;i
= ∇i T c...
ist ein Tensor, der im lokalen Inertialsystem mit
D xi
der partiellen Ableitung übereinstimmt.
Christoffel-Symbole: Γabc = 12 g am [gmb,c + gmc,b − gbc,m ]
Kovariante Ableitung eines Tensors
a
a
a
a
m
a
m a
[f;a = f,a , T ;m
= T ,m
+ Γamn T n , Ta;m = Ta,m − Γnam Tn , T bc;d
= T bc,d
+ Γadm T bc
− Γm
bd T mc − Γ cd Tbm , gab;i = 0 ]
Γaabc = Γaacb
Einsteinsche Feldgleichungen:
Ramsq
=
Γamq,s
− Γasm,q
[rein gravitativ! - Gravitationskonstante G]
— Riemannscher Krümmungstensor , Rik = Raiak — Ricci-Tensor ,
G
= Rik − 12 R̂ gik + Λ gik — Einsteintensor, κ = 8π 4 , Tik — Energie-Impuls-Tensor:
c0
Gik = κ Tik
+ Γans Γnmq
R̂ = Ri i — Ricci-Skalar , Gik
Bianchi-Identitäten
− Γanq Γnms
Gmn ;n = 0
T mn ;n = 0 .
, also auch
Mit der Robertson-Walker-Metrik ergibt sich:
Rµν =
1 R̈
εc0 2 + Ṙ2
[
+
2
] gµν
c0 2 R
R2
Gµν =
1
R̈ εc0 2 + Ṙ2
[−2 −
+ Λc0 2 ] gµν
2
c0
R
R2
, Rα4 = 0 , R44 = −
3 R̈
c0 2 R
, Gα4 = 0 , G44 =
, R̂ =
6 R̈ εc0 2 + Ṙ2
[ +
] , Rmn = Rnm ,
c0 2 R
R2
3 εc0 2 + Ṙ2
− Λ , Gmn = Gnm .
c0 2
R2
Für eine ideale Flüssigkeit mit Druck p(t) und Massenvolumendichte µ(t) ist nun Tmn = p gmn + [µ +
p
] um un und
c0 2
im Ruhesystem der Materie nach den Einsteinschen Feldgleichungen und T mn ;n = 0 :
[um = (0, 0, 0, c0 ), [um un ];n um = −c0 2 un ;n ]
Friedman-Lemaître-Gleichung:
Beschleunigungs-Gleichung:
Energiebilanz-Gleichung:
εc0 2 + Ṙ2
− Λ c0 2 = κ µ c0 4
R2
R̈ εc0 2 + Ṙ2
2 +
− Λ c0 2 = −κ p c0 2
R
R2
p
Ṙ
µ̇ + [µ + 2 ] 3 = 0
c0
R
[Friedman-Gleichung für Λ = 0]
3
[Wobei von diesen 3 Gleichung im Allgemeinen nur 2 unabhängig voneinander sind.]
Als dritte Gleichung zur Bestimmung der 3 unbekannten R(t), µ(t), p(t) also die Zustandsgleichung:
Typisch
p = w µ c0
2
⎧
0
⎪
⎪
⎪
⎪ 1
, w=⎨
⎪
3
⎪
⎪
⎪
⎩ −1
2
, Staub
, Strahlung
, Vakuum
.
µ = µ(p) .
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Friedmansche Staubkosmen:
Λ=0 , p=0 .
µ̇
Ṙ
= −3
ergibt sich eine Konstante für die Energie im Kosmos M̃ = R3 µ c0 2 und ein effektives
µ
R
κM̃ c0 2 1
κM̃
Expansionspotential Ueff = −
, so dass Ṙ2 = −Ueff − εc0 2 .
[Ṙ2 ≥ 0 ⇒ ∃Rmax =
für ε = 1]
3 R
3
Nach Energiebilanz
[Konformzeit η: dη 2 ∶=
Lösungen für ein positiv expandierendes Universum:
κM̃
κM̃
[cosh(η) − 1] , c0 [t − t0 ] = ±
[η − sin(η)]
6
6
1
2
3κM̃ 3
R(t) = [
] [c0 [t − t0 ]] 3
4
κM̃
κM̃
[1 − cos(η)] , c0 [t − t0 ] = ±
[η − sin(η)]
R=
6
6
ε = −1 :
c0 2 dt2
]
R2 (t)
T=
ε=0 :
ε=1 :
Einstein-de Sitter-Kosmos
2
[Urknallmodelle mit R(t0 ) = 0 ; anfangs alle Modelle R(t) ∝ [t − t0 ] 3 .]
Für ε = 0 ergibt sich die Dichte zu µ =
3H 2 3H 2
µ
=
=∶ µkrit ; damit definiert sich der Dichteparamter Ω ∶=
4
κ c0
8πG
µkrit
km
[Wobei nach heutiger Messung H0 ≈ 70 s Mpc
Das Weltalter:
t0 = ∫
t0
dt
0
exp. Univ.
=
∫
0
R0
tH0 - Hubble-Zeit
«
R0
1
1
1
Staub 1
dR =
√
∫
H
R
0
Ṙ
0
0
1−Ω +Ω
0
R0
0 R
.
und somit µkrit,0 ≈ 5,5 mProton
m3
.]
⎡ 1
⎧
Ω0
2 − Ω0 ⎤⎥
⎪
⎢
⎪
⎪
⎢
−
)⎥
arcosh(
t
H
⎪
0
⎪
⎢ 1 − Ω0 2√1 − Ω 3
⎪
Ω0 ⎥⎦
⎪
⎣
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
⎪
dR = ⎨ tH0
3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡ 1
⎪
2 − Ω0 ⎤⎥
Ω0
⎪
⎢
⎪
⎪
⎢
arccos(
t
−
)⎥
H
⎪
√
0
⎪
⎢ 1 − Ω0 2 Ω − 1 3
⎪
Ω0 ⎥⎦
⎣
⎩
0
, ε = −1
,ε = 0
,ε = 1
Die Hubble-Zeit entspricht dabei gerade dem Weltalter für ein linear expandierendes Universum [R(t) = Ṙ0 t].
Für Staub [p = 0] ergibt sich außerdem:
√
⎧
⎪
⎪
2c0 [[1 + z] − 1 + z]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
H0 DL = ⎨
⎪
⎪
√
⎪
c0
⎪
⎪
[q0 z + [1 − q0 ] [1 − 1 + 2 q0 z]]
⎪
⎪
2
⎩ q0
1
1
= [1 − ]
2
2
©
1 2
≈ c0 [z + 4 z + O (z 3 ) ]
, ε = 0 [⇒ q0 = 21 ]
1
≈ c0 z + [1 − q0 ]c0 z 2 + O (z 3 )
2
, ε = 1 [⇒ q0 > 21 ]
[Mattig, 1958]
[Rotverschiebungs-Entfernungs-Relation für die Leuchtkraftentfernung - vgl. oben]
Friedmansche Staubkosmen:
Λ=0 , p=
Auch hier ergibt sich mit der Energiebilanz
1
µ c0 2 .
3
µ̇
Ṙ
= −4
eine Konstante für die Energie im Kosmos Ã = R4 µ c0 2 und
µ
R
κÃc0 2 1
mit wiederum Ṙ2 = −Ueff − εc0 2 .
3 R2
⎧
⎪
Lösungen für ein positiv
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
expandierendes Universum
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
mit Urknall [R(t0 ) = 0]:
R(t) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Ueff = −
√
c20 [t − t0 ]2
√
2
+2
κÃ
c0 [t − t0 ]
3
κÃ
c0 [t − t0 ]
3
√
−c20 [t − t0 ]2 + 2
, ε = −1
,ε = 0
κÃ
c0 [t − t0 ]
3
,ε = 1
1
[Urknallmodelle mit R(t0 ) = 0 ; anfangs alle Modelle R(t) ∝ [t − t0 ] 2 .]
3
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µc0 2 ∝ T 4 , µc0 2 ∝
Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz erkennt man:
1
R4
⇒ T∝
1
R
⇒ “heißer Urknall” .
Der Kosmus ist dabei weder ein reiner Staub-, noch ein reiner Strahlungskosmos:
κc0 4 R0 3 Staub R0 4 Strahlung
εc0 2
+ 4 µ0
]− 2 .
[ 3 µ0
3
R
R
R
H2 =
[1 pc = 3,085 677 6 ⋅ 1016 m]
Astronomische Größen:
L
W
Leuchtkraft-Entfernung DL [m], Leuchtkraft L[W], bolometrische Flussdichte F =
[
] , Größenklasse m
4πDL 2 m2
2
[m2 − m1 ]
F1
L1
DL2
5
= 10 5
)
⇔
m2 − m1 = lg( ) + 5 lg(
F2
2
L2
DL1
DL2
) , Entfernungsmodul m2 − M
10 pc
Sterne, deren absolute Helligkeit bekannt sind heißen “Standardkerzen” [Cepheiden, Supernovae].
Standardentfernung DL0 ∶= 10 pc , dort absolute Helligkeit M = m2 − 5 lg(
Cepheiden:
[Große Magellansche Wolke [LMC]: σ = −2,765, m0 = 17,044, DL = 50,1 kpc ± 3,1 kpc]
Perioden [P ]-Helligkeits [m]-Beziehung:
m̄ = σ lg(
P
) + m0
d
Mit der Annahmne, dass dies überall im beobachtbaren Kosmos [i.e. ∀⃗
r, ∀t vor heute] gilt, ergibt sich:
P
DL
M̄ = σ lg( ) − 5 lg(
) + m0 .
d
10 pc
Supernovae Ia [SNe Ia]: Mmax = −19,52 ± 0,07
Es gibt verschiedene Pulsationsveränderliche, z.B.:
In Beobachtung kosmische Zeitdilatation:
Mδ Cepheiden ≈ MW Virginis − 1,5 .
∆t0 = [1 + z]∆te .
Mit der Näherung obiger Mattig-Formel ergibt sich für Friedman-Kosmen:
≈ 1,086 [1 − q0 ]z
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
c0 z
H0
1
m = 5 lg(
) + M + 25 − 5 lg(
) + 5 lg(1 + [1 − q0 ]z)
km/s
km/(s Mpc)
2
Plancksches Strahlungsgesetz:
Die jeweiligen Maxima sind:
ρλ (λ, T ) dλ =
8πhc0
λ5
1
h c0
e λ kB T
dλ
−1
⇔
ρν (ν, T ) dν = 8πh [
ν 3
]
c0
1
hν
e kB T
dν
−1
über λ bei λmax =
h c0
[W (− 33 ) + 3] kB T
e
, mit W (− 33 ) + 3 ≈ 2,821 439
e
über ν bei νmax =
[W (− 55 ) + 5] kB T
e
h
, mit W (− 55 ) + 5 ≈ 4,965 114
e
und der Lambertschen W -Funktion W (z) [z = W (z) eW (z) , z ∈ C]
Bei Expansion gilt dρν = dρν,0 [1 + z]4 .
4
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Mit T0 = 2,725 K der Hintergrundstrahlung heute ergibt sich für die bolometrische Energiedichte
eV
8π 5 [kB T0 ]4
= 0,26
0 =
.
15 [hc0 ]3
cm3
[Entsprechend µR0 =
Aus dn =
d
hν
0
c0 2
= 4,64 ⋅ 10−34
g
cm3
= 2,8 ⋅ 10−4 mProton
m3
ergibt sich die Anzahltdichte der Photonen zu n0 = 16π [
und also ΩR0 =
µR0
µkrit
= 5,04 ⋅ 10−5 .]
kB T0 3
1
.
] ζ(3) = 410,5
h c0
cm3
∞
Riemannsche Zeta-Funktion ζ(z) [ζ(z) = ∑
k=1
1
, z ∈ C mit Re (z) > 1]
kz
Mit der kosmologischen Konstante Λ:
εc0 2 + Ṙ2
− Λ c0 2 = κ µ c0 4
R2
R̈ εc0 2 + Ṙ2
2 +
− Λ c0 2 = −κ p c0 2
R
R2
Friedman-Lemaître-Gleichung:
3
Beschleunigungs-Gleichung:
>0 ∶ bremst Expansion
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
κc0
Λc0 2
R̈
p
=−
⇒
[µ + 3 2 ] +
R
6
c0
3
²
4
>0 ∶ beschleunigt Expansion
Der Einstein-Kosmos:
[“matter without motion” - statisches Universum]
p = 0 , Ṙ = 0 , R̈ = 0 , µ ≠ 0
ε
ε
⇒
− Λ = 0 , 2 2 − Λ = κµc0 2
R2
R
√
1
2
2
⇒ Λ = κµc0 =∶ ΛE , ε = +1 , R =
=∶ RE .
2
κµc0 2
Annahmen:
Für die gesamte Masse ergibt sich dann m̃E = 2π 2 RE 3 µ .
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
Volumen einer 3-Sphäre
[für µ = 5 ⋅ 10−30
g
:
cm3
ΛE = 4,7 ⋅ 10−53
1
,
m2
RE = 4,7 Gpc, m̃E = 1,6 ⋅ 1023 m̃⊙ ]
Friedman-Lemaître-Kosmen:
Annahmen: Staub-Kosmos p = 0, Λ ≠ 0
[keine Strahlung]
=∶−Ueff
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
κM̃ c0 2 1 1
Ṙ =
+ Λc0 2 R2 −εc0 2
3 R 3
2
für R → 0:
Man sieht:
R∝t
2
3
,
µ
µkrit
=
Λ
c t
R∝e 3 0 .
√
√
2
3
R(t) = κΛM̃ sinh 3 ( 21 3Λ sc0 t)
für R → ∞:
Für ε = 0 lässt sich das Ergebnis zu folgendem bestimmen:
Mit ΩM =
√
8πG
Λc0 2
εc0 2
µ,
Ω
=
,
Ω
=
−
lässt sich auch schreiben:
K
Λ
3H 2
3H 2
R2 H 2
1
1
Beschleunigungs-Gl.: 0 = q + [Ωk −1+3ΩΛ ]
⇒ q = ΩM −ΩΛ .
2
2
ΩΛ0 ≈ 0,7 , ΩM 0 ≈ 0,3 , ΩK ≈ 0 [±0,02]
⇒ ε ≈ 0 , q0 ≈ −0,55 , Λ0 ≈ 1,2 ⋅ 10−52 m12 .
Friedman-Lemaître-Gl.: 1 = ΩM +ΩΛ +ΩK
[Heute beobachtet:
,
Wobei ΩM 0 ∣sichtbare baryonische Materie ≈ 0,04, ΩM 0 ∣dunkle Materie ≈ 0,26.]
5
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√
⎛
1
ΩΛ0 ⎞
2 1
√
arsinh
.
t0 =
3 H0 ΩΛ0
⎝ 1 − ΩΛ0 ⎠
Für ε = 0 ergibt sich das heutige Weltalter zu:
de Sitter-Kosmen:
Annahmen:
Lösungen:
[≈ 13,5 ⋅ 109 a]
[“motion without matter” - materiefreies Universum]
µ=0 , Λ≠0 .
⇒ Friedman-Lemaître-Gl.: Ṙ2 = 31 Λc0 2 R2 − εc0 2
√
√
√
Λ
⎛ Λ ⎞
3
c
t
0
ε = 0 : R = R0 e 3
;
ε = −1 : R =
sinh
c0 t
;
Λ
⎝ 3 ⎠
√
⎛ Λ ⎞
3
cosh
c0 t .
Λ
⎝ 3 ⎠
√
ε=1: R=
Horizonte im Universum:
!
Konformzeit: R2 dη 2 = c0 2 dt2
⇒ ds2 = 0 = R2 [dχ2 − dη 2 ]
radialer Lichtkegel: χ = ±η + ηi
c0 dt
Der Teilchenhorizont von Beginn zu ti und Beobachtung zu t0 :
χP = ∫
= η0 − ηi
.
R
ti
c0
ist v(t) = c0 .
Hubble-Kugel: Fluchtgeschwindigkeit eines Objetks v in Entfernung einer Hubble-Länge DH =
H
t0
Für R(t) = K[c0 t]α , K = const., α ∈ (0, 1) und ε = 0 findet man:
- Urknall bei t = 0
- endlicher Teilchenhorizont χp (t0 ) = ∫
- Hubble-Größen:
H=
α
t
, DH =
- radiale Horizontentfernung zu t0 :
t0
0
d[c0 t]
[c0 t0 ]α−1
=
∣K[c0 t]α ∣ K[1 − α]
c0 t
α
1
Dp (t0 ) = R(t0 ) χp (t0 ) = DH0
q
- Teilchengeschwindigkeit am Horizont:
vG (t0 ) = H0 Dp (t0 ) =
vG > c0 ist kein Problem, da vG nicht beobachtbar.
mit q =
1−α
α
c0
q
[mit q < 1 für α > 12 ]
[Einstein-de Sitter-Kosmos: α = 32 ]
α
Die Rotverschiebung der am weitesten entfernten noch beobachtbaren Lichtquellen ergibt sich zu zmax = α α−1 − 1 .
Lokale Lichtkegel:
c0 t
Für radiale Lichtgeodäten ist ds2 = R2 dχ2 − c0 2 dt2 und somit
ϕ−
dD
dR
dχ
DH
∣ =χ
+
∣ R=
±1
d[c0 t] ±
d[c0 t] d[c0 t] ±
c0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
±1
ϕ+
Nähert man den Verlauf lokal mit einer Geraden, so gilt allgemein
1
c0 t = βD + γ mit β =
=∶ tan (ϕ± ) .
dD
∣
d[c0 t]
D
±
6
dD
∣ = ±1
d[c0 t] ±
statischer Kosmos:
H =0 ,
Einstein-de Sitter:
dD
2 D
∣ =
±1
d[c0 t] ± 3 c0 t

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