Teil1 PDF - Universität Hamburg

Physik III
Quantenphysik & Statistische Physik
http://photon.physnet.uni-hamburg.de/ilp/teaching/
http://photon.physnet.uni-hamburg.de/ilp/hemmerich/teaching/
0.1
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Studienplan Physik
Physik I & Physik II
Klassische Physik: Mechanik, Elektrodynamik, Optik, Thermodynamik
Physik III
Quantenphysik und statistische Physik
Atomphysik
Molekülphysik
Laserphysik
0.2
Physik III, WS 2016/17
Festkörperphysik
Kernphysik
Teilchenphysik
Andreas Hemmerich 2016 ©
Legende
Ü
wird in einer Übung vertieft, entweder als Übungsaufgabe oder in den Übungsgruppen
P
wird in der Vorlesung behandelt, ist aber kein Prüfungsthema
wird erst in den Theorievorlesungen konsequent durchgeführt
!
0.3
wird in der Vorlesung nicht behandelt, aber zur Vervollständigung ins Skript aufgenommen
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Inhaltsverzeichnis
0.4
1.
Licht: Welle oder Teilchen?
2.
Materie: Teilchen oder Welle?
3.
Wellenmechanik
4.
Die 1D Schrödinger Gleichung im Stufenpotential
5.
Formale Grundlagen der Quantenmechanik
6.
Elementare Quantensysteme
7.
Bahn-Drehimpuls
8.
Das Wasserstoff-Atom
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
0.5
9.
Magnetisches Moment & Spin
10.
Die Feinstruktur des Wasserstoff-Atoms
11.
Vielteilchensysteme: Bosonen & Fermionen
12.
Wahrscheinlichkeit & Entropie
13.
Boltzmann-Systeme
14.
Bose-Einstein – und Fermi-Dirac-Statistik
15.
Bose-Systeme
16.
Fermi-Systeme
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Literatur Quantenphysik: begleitend zur Vorlesung
experimentelle Ausrichtung
M. Alonso, E. J. Finn
Oldenbourg 2005
ISBN: 348657762X
€ 39,80
W. Demtröder
Springer 2005
ISBN 3-5402-1473-9
€ 44,95
Lexikalischer Charakter
Relativ kompakte, klare
Darstellung, moderat
ausgebauter Formalismus,
als Einstieg empfehlenswert
0.6
Physik III, WS 2016/17
Haken & Wolf
Springer 2003
ISBN 3-540-02621-5
€ 44,95
T. Mayer-Kuckuk
Teubner 1997
ISBN 3-519-43042-8
€ 29,90
Ausgebauterer Formalismus,
hohes didaktisches Niveau,
verbindet theoretische und
experimentelle Aspekte
Kompakte Einführung
in die Atomphysik für
Experimentalphysiker,
wenig formale Basis
Andreas Hemmerich 2016 ©
Literatur Quantenphysik: begleitend zur Vorlesung
theoretische Ausrichtung
0.7
J.-L. Basdevant
J. Dalibard
Springer 2005
€ 96,25
S. Gasiorowicz
Oldenbourg 2005
€ 44,80
C. Cohen-Tannoudji et al.
de Gruyter 1999
€ 54,00
Didaktisch hervorragend,
gute fokussierte Themenwahl, elegante Darstellung,
vermittelt viel Verständnis
Relativ kompakt,
anwendungsorientiert,
guter Einstieg
Ein didaktisch hervorragendes Lehrbuch der Quantenmechanik, umfangreich
aber mit gutem Wegweisersystem ausgerüstet
Physik III, WS 2016/17
J. Griffith
Prentice Hall 2004
$ 111,49
Kompakte Einführung,
selektiver Charakter
Andreas Hemmerich 2016 ©
Literatur Quantenphysik: weiterführend
0.8
R. Loudon
Oxford University Press
€ 57,31
C. Cohen-Tannoudji et al.
Wiley 1998
€ 72,90
C. Cohen-Tannoudji et al.
Wiley 1989
€ 72,90
P. Schmüser
Springer 1995
€ 27,95
Ausgezeichnetes Buch
über Quantenoptik
Exzellentes Buch
über die Wechselwirkung
zwischen Atomen und Licht
Exzellente Einführung in
die Quantenelektrodynamik
Sehr gute Einführung in
die Quantenfeldtheorie,
pragmatischer Ansatz,
schnörkellose Einführung
der Dirac-Gleichung
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Literatur Statistische Physik
0.9
M. Alonso, E. J. Finn
Oldenbourg 2005
ISBN: 348657762X
€ 39,80
Ch. Kittel, H. Kroemer
Oldenbourg 1993
ISBN: 3486224786
ISBN 3-4862-5716-1
€ 38,90
R. Becker
Springer 1985
ISBN: 3540153837
K. Huang
Wiley 1987
ISBN: 0471815187
$ 107,06
Guter Einstieg,
kompakte, klare
Darstellung, das Kapitel
über statistische
Mechanik ist besonders
empfehlenswert
Gute Einführung,
akzentuiert quantenmechanische Aspekte
Ein theoretisch
orientierter Klassiker
Für Fortgeschrittene mit
theoretischer Orientierung.
Schließt auch neuere
Entwicklungen ein
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Über die Quantenphysik
Niels Bohr:
“Anyone who is not shocked by the quantum theory has not understood it.”
Erwin Schrödinger
“Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben”
Albert Einstein:
“Ich kann […] nicht ernsthaft daran glauben, weil die Theorie mit dem Grundsatz
unvereinbar ist, dass die Physik eine Wirklichkeit in Zeit und Raum darstellen soll,
ohne spukhafte Fernwirkung”
Richard P. Feynman:
“I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
0.10
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik:
Klassische Physik:
Erfolgreiche Beschreibung makroskopischer Phänomene
→
Physikalische Größen (Ort, Zeit, Impuls, Energie,...) kontinuierlich
Unterschiedliche Konzepte für Wellen und Teilchen
x(t), p(t)
Quantenphysik:
sin(kx-ωt)
→
Individualität von Objekten: zwei Objekte sind niemals identisch
→
Erfolgreiche Beschreibung submikroskopischer Phänomene
→
Bestimmte physikalische Größen haben diskrete Wertebereiche
Erhebliche Reduktion der Komplexität
Elementare Einheiten für bestimmte physikalische Größen
Möglichkeit identischer, ununterscheidbarer Objekte
→ Einheitliches Konzept für Wellen und Teilchen:
Welle-Teilchen-Dualismus
→ Superpositionszustände, Unschärfe, Nichtlokalität, Verschränkung
0.11
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Klein und Groß
Auflösung
Elektronenmikroskop
Auflösung
LichtViren
Mikroskop
Atome
Kleine
Moleküle
Atomkerne
fm
10–15 m
pm
10–12 m
Quantenphysik
Å
nm
10–9 m
µm
10–6 m
homo sapiens
Haar
mm
10–3 m
m
Klassische Physik
Unscharfe Grenze, hängt ab von Temperatur, Druck, ...
0.12
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Das Unbehagen an der Quantentheorie
Superpositionsprinzip:
Die Quantentheorie erlaubt “Überlagerungen”
von Zuständen mit jeweils wohldefinierten
physikalischen Eigenschaften →
Interferenz, Unschärfe, Verschränkung, Nichtlokalität
Messproblem:
Die Quantentheorie erhebt den Anspruch sowohl die mikroskopische als auch die makroskopische
Welt zu beschreiben.
Beobachtung der Quantenwelt erfolgt mit klassischen Apparaten. Zur Operationalisierung des
Messvorgangs benötigt die QT Aussagen über die Wechselwirkung mit (klassischen) Systemen,
die aufgrund der zu großen Komplexität nicht durch die QT beschrieben werden.
Die quantentheoretische Beschreibung “großer Systeme” (viele koppelnde Freiheitsgrade) ist
ein aktuelles Forschungsgebiet rund um die offene Frage: Wie eliminiert die klassische Welt die
Merkwürdigkeiten der Quantentheorie ?
0.13
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
QUANTUM
CLASSICAL
STOP
show your
classical
apparatus
0.14
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
1. Licht: Welle oder Teilchen ?
1.1
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Licht als Welle:
Klassische Physik:
→
Licht ist eine elektromagnetische Welle
Beispiel: ebene monochromatische Welle:
ω ≡ 2πν
E(x,t) =
1
2
E0 ei(kx-ωt) + E0* e-i(kx-ωt)
Kreisfrequenz, ν ≡ Frequenz (375–750 THz sichtbar)
2π
Wellenzahl, λ ≡ Wellenlänge (0.4–0.8 µm sichtbar)
λ
I ≡ ε0c E0 E0* über eine Ozillationsperiode gemittelte Intensität
k ≡
( Strahlungsleistung pro Fläche [Watt/m2] )
Dispersionsrelation:
1.2
Physik III, WS 2016/17
ω = c k, c ≡ 2.998 * 108 m/s Lichtgeschwindigkeit
Andreas Hemmerich 2016 ©
Komplexe Schreibweise für reelle harmonische Felder:
Reelles elektrisches Feld:
1
2
E(r,t) = A(r) 2 cos(φ(r) - ωt ) =
komplexes Feld:
A(r) [ ei(φ(r) - ωt ) + e-i(φ(r) - ωt ) ]
1
A(r) e-iφ(r) eiωt
2
=
1
2
A(r) eiφ(r) e-iωt +
E(r,t) =
1
(
2
E(r,t) + E(r,t)* )
E(r,t) =
E(r) e-iωt , E(r) = A(r) eiφ(r)
Zeitgemittelte Intensität:
T = 2π/ω = Schwingungsdauer, I(r) / ε0c =
T
1
T
dt |E(r,t)|2 =
E(r) E(r)* = A(r)2
0
BSP:
ebene laufende Welle
A(r) = A0, φ(r) = k r
ebene stehende Welle A(r) = A0 cos(kr), φ(r) = 0
⇒
E(r,t) = A0 ei(kr-ωt)
I(r) = ε0c A02
⇒
E(r,t) = A0 cos(kr) e-iωt
I(r)
1.3
Physik III, WS 2016/17
= ε0c A02 cos2(kr)
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Messung der Lichtgeschwindigkeit: (Foucault 1851)
Jean Bernard Léon Foucault
(1819 – 1868)
f
langer Weg, ca. 10 km
Lichtquelle
Drehspiegel
Schirm
c ≡ 2.998 * 108 m/s Lichtgeschwindigkeit
1.4
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Licht ist ein Wellenphänomen: Interferenz am Doppelspalt
(Thomas Young 1805)
Young kollimierte Sonnenlicht mit
Hilfe eines Spiegels und einer
kleinen Apertur. Statt eines
Doppelspalts hielt er eine schmale
Barriere in den Strahl.
Thomas Young
(1773-1829)
d
Modernere Variante:
→
Kollimierter Strahl
eines “Laser Pointers”
S
!
Bedingung für Maxima: n λ = δL ≈ d sin(θ), n = 0, ±1,...
d << S
1.5
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Auflösungsvermögen optischer Abbildungen
Für die erste Beugungsordnung n = 1 gilt: d sin(θ) = λ
Auflösung des Doppelspalts erfordert, dass 1. Ordnung die Linse trifft
θ < α
⇒
d = λ / sin(θ) > λ / sin(α) > λ
⇒ Auflösungsvermögen optischer Abbildungen > λ
d
θ
α
Linse
1.6
Physik III, WS 2016/17
Schirm
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beobachtung der Interferenzfähigkeit von Licht
Unsere Überzeugung, dass Licht ein Wellenphänomen ist, leiten wir aus seiner
Interferenzfähigkeit ab →
FRAGE: Was sind die Voraussetzungen für Interferenz, ist jede Lichtquelle interferenzfähig,
oder gibt es Lichtquellen mit mehr oder weniger Interferenzfähigkeit?
Michelson Interferometer
beweglicher Spiegel zur Einstellung
der Weglängendifferenz δx = c τ bzw.
Laufzeitdifferenz τ
Imax(τ)
Imin(τ)
I0
I0
I0/2
Messung der mittleren
Intensität I(τ)
Interferenzkontrast:
K(τ) ≡
Laufzeitdifferenz
τ
0
Imax(τ) - Imin(τ)
Imax(τ) + Imin(τ)
maximale Kohärenz: Interferenzkontrast maximal für alle τ
partielle Kohärenz: Interferenzkontrast nimmt ab für große τ
1.7
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Exkurs: Die Kohärenzfunktion als Maß für Interferenzfähigkeit
P
Betrachte Punktlichtquelle Q: Licht E(t) gelange auf zwei verschiedenen Pfaden zum Punkt P
t
Pfad 1: Laufzeit t
Pfad 2: Laufzeit t+τ
xQ
xP
Elektrisches Feld am Punkt P: E(xP,t) ~ E(t) + E(t+τ)
t+τ
g(τ)
≡
h E(t) E(t+τ)* i
h E(t) E(t)* i
T
Kohärenzfunktion 1.ter Ordnung
hf(t)i
≡
1
lim
T→∞ T
f(t) dt
-T
Mittlere Intensität am Punkt P:
I(τ) / ε0c = h|E(t) + E(t+τ)|2i =
h|E(t)|2i + h|E(t+τ)|2i + hE(t) E(t+τ)*i + hE(t)*E(t+τ)i
= h|E|2i ( 2 + g(τ) + g(τ)* ) = 2h|E|2i (1 + Re[g(τ)]) = 2h|E|2i [ 1 + |g(τ)| cos(γ(τ)) ]
g(τ)
1.8
Physik III, WS 2016/17
≡
|g(τ)| eiγ(τ)
Andreas Hemmerich 2016 ©
I(τ) = ε0c h|E(t) + E(t+τ)|2i = 2ε0c h|E|2i (1 + Re[g(τ)]) = 2ε0c h|E|2i [ 1 + |g(τ)| cos(γ(τ)) ]
Annahme:
|g(τ)| ändert sich kaum über eine
Oszillationsperiode von cos(γ(τ))
Interferenzkontrast:
Imax - Imin
Imax + Imin
Imax(τ) = 2ε0c h|E|2i [ 1 + |g(τ)| ]
⇒
=
Eine Lichtquelle bezeichnet man als:
P
Imin(τ) = 2ε0c h|E|2i [ 1 - |g(τ)| ]
|g(τ)|
kohärent falls
|g(τ)] = 1
partiell kohärent falls
∃ τ : 0 < |g(τ)] < 1
inkohärent falls
g(τ) = 0
τ
τ>0
|g(τ)|, Re[g(τ)]
BSP1: Laserlicht
E(t) = E0 exp(-i(ωt + φ))
g(τ) = exp(i ωτ)
|g(τ)| = 1
1.9
Physik III, WS 2016/17
1
τ
Andreas Hemmerich 2016 ©
φν(t)
BSP2: Thermisches Licht
chromatische Wellen
∑
ν=1
exp( -i(ωt + φν(t)) )
N
h E(t) E(t+τ)* i = |E0|2 h
φν3
0
t
Stoßprozesse ändern die Phasen φν(t) ∈ [0,2π] zufällig
i(φ (t+τ) – φµ(t)) i
eiωτ e ν
∑
φν4
φν2
φν0
E0 exp( -i(ωt + φν(t)) ) , ν ∈ {1,...,N}
N
E(t) = E0
φν1
2π
N Atome oder Moleküle in einem Gas emittieren mono-
P
ν,µ=1
= |E0|2 eiωτ h
N
∑ ei(φν(t+τ) – φν(t)) i
ν=1
Summanden mit ν≠µ mitteln sich zu Null
eiχν falls freier Flug < τ
χν ∈ [0,2π] zufällig
e i(φν(t+τ) – φν(t)) =
1 falls freier Flug > τ
t+τ
t
N
∑
e i(φν(t+τ) – φν(t))
ν=1
time
N
=
P(<τ)
∑ eiχν
+
N P(>τ)
=
N P(>τ)
ν=1
P(<τ) = Wahrscheinlichkeit für freien Flug kürzer als τ
P(>τ) = Wahrscheinlichkeit für freien Flug länger als τ
1.10
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
h E(t) E(t+τ)* i = |E0|2 eiωτ hN P(>τ)i = N |E0|2 eiωτ P(>τ)
Kohärenzfunktion:
g(τ)
≡
h E(t) E(t+τ)* i
h E(t) E(t)* i
= eiωτ P(>τ)
aus kinetischer Gastheorie, Skript 3. Teil:
Wahrscheinlichkeitsverteilung für freie Flüge der Dauer t ∈ [τ,τ + dτ] : p(t) =
1 exp(-τ/τ )
0
τ0
τ0 = mittlere freie Flugzeit
Wahrscheinlichkeit für freien Flug mit Dauer größer als τ :
P(>τ)
≡
∞
p(s) ds =
τ
exp(-τ/τ0)
g(τ) = eiωτ exp(-τ/τ0)
⇒
Re[g(τ)] = cos(ωτ) exp(-τ/τ0)
|g(τ)| = exp(-τ/τ0)
1.11
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Hohlraumstrahlung: (Planck’sches Strahlungs-Gesetz)
• Würfel (Kantenlänge L) mit verspiegelten Flächen der
Temperatur T
L
• Man beobachtet die Strahlung, die durch eine kleine
Öffnung austritt
ki L = 2π zi, zi ∈ Z , i = x,y,z
Wie viele Moden gibt es pro Frequenzintervall?
ky
zwei mögliche Polarisationsrichtungen
2π/L
2π/L
η =
Anzahl von Moden
k-Raum Volumen
=
kx
2
(2π/L)3
=
2V
, V = L3
(2π)3
k-Raum Volumen der Sphäre mit Radius k und Dicke dk
dSk = 4π
ky
k2 dk
dk
kx
1.12
Physik III, WS 2016/17
1 dρ
V dν
=
1
V
=
4π
(2π)3
ν2
c3
dSk
ν2
η = 8π
dν
c3
dν
⇒
spektrale Modendichte
(1a)
ν2
1 ω2
1 1 dρ
1 dρ
=
= 4
=
3
dν
2π
V
V dω
π2 c3
c
Andreas Hemmerich 2016 ©
Rayleigh Jeans-Formel:
Annahme der klassischen Physik
Energie/Mode = kBT
⇒
spektrale Energiedichte
1 dE =
V dν
1 dE =
V dω
kB= 1.38 10-23 JK-1 Boltzmann-Konstante
8π
ν2
c3
kBT
(1b)
1 ω2
k T
π2 c3 B
UV-Katastrophe: Divergenz für ν → ∞
Planck-Formel:
Annahme der klassischen statistischen Mechanik: Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit ein System in einem Zustand mit der Energie E zu finden durch einen BoltzmannFaktor gegeben:
P ~ exp( – E / kBT)
(2a)
aus kinetischer Gastheorie, Skript 3. Teil
Annahme der Quantisierung: Die Energie einer Mode der Frequenz ω kann nur diskrete Werte
En = n ω + E0(ω) annehmen. Wir bezeichnen die Energiepakete ω als Photonen
 ≡ 1.055 * 10-34 J s
1.13
Physik III, WS 2016/17
= Planck’sches Wirkungsquantum
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zusammen: Die Wahrscheinlichkeit n Photonen in einer Mode der Frequenz ω zu finden
Pn ~ exp( – nω / kBT)
∞
∑
Normierung:
n=0
Pn = 1
⇒
Pn =
(1- e-α ) e-nα ,
verwende
(2b)
α ≡ ω / kBT
∞
∑ qn =
1/(1 - q) falls q <1
n=0
Mittlere Photonenzahl in der Mode mit Frequenz ω:
hni =
∞
∑
n Pn
n=0
=
⇒
1.14
Pn
∞
= (1- e-α ) ∑ n e-nα
(2b,3a)
d -nα
= (1- e-α ) ∑ – dα e
=
n=0
n=0
d (1- e-α )-1
– (1- e-α )
dα
=
∞
hni
1
1 + hni 1 + hni
=
1
(eα - 1)
verwende
∞
∑ qn =
- (1- e-α ) d
dα
∑ e-nα
n=0
1/(1 - q) falls q <1
(3a)
n=0
n
= Pth(n)
Verteilung der Photonenzahl in einer
“thermischen Lichtquelle”
BSP: Glühlampe, Sonne,...
Physik III, WS 2016/17
∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
spektrale Energiedichte:
1 dρ
hni ω
V dω
1 dE =
V dω
spektrale
Modendichte
=
ω2
π2c3
mittlere Anzahl von
Photonen pro Mode
1
(eω/kBT - 1)
ω
Planck (1900)
(3b)
Energie pro Photon
ω << kBT ⇒ eω/kBT ≈ 1 + ω/kBT
⇒
Rayleigh/Jeans
spektrale Strahldichte:
r
θ
dVθ
θ
dVθ = c dt dâ r = c dt cos(θ) da
c dt
r
z=dâ
φ
1.15
Physik III, WS 2016/17
Pro Fläche da, Zeitintervall dt, und Frequenzintervall dω in den
Raumwinkel dΩ in Richtung r emittierte Strahlungsenergie dS
A
y
θ
dâ
Volumen dVθ, welches während der Zeit dt zur Abstrahlung
unter dem Winkel θ durch die Öffnung dâ beiträgt:
x
dS =
1 dE 1
dΩ dω dVθ ,
V dω 4π
dΩ = sin(θ) dθ dφ
S = 4π
Andreas Hemmerich 2016 ©
Strahlungsintensität: pro Fläche emittierte Strahlungsleistung
dS
=
dt da dΩ dω
I =
∞
dΩ dω
Halbraum
0
1
1 dE
c cos(θ)
,
4π
V dω
c
dS
=
4π
dt da dΩ dω
dΩ = sin(θ) dθ dφ
∞
1 dE
dω
V dω
0
c
dθ dφ sin(θ)cos(θ) =
4
Halbraum
∞
1 dE
dω
V dω
0
π
=
(kBT)4
4π2c23
∞
dα
0
α3
eα - 1
= σ T4 ,
π4/15
1 dE =
V dω

π2c3
σ =
π2 kB4
60
c2
3
= 5.67 × 10-8
W
(3c)
m2 K4
Stefan (1879), Boltzmann (1884)
ω3
(eω/kBT - 1)
Variablentransformation α = ω/kBT
1.16
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
dE
dE dω
=
dω dλ
dλ
Kosmischer Mikrowellen-Hintergrund
Ü
2000 K
– Fit mit Planck-Formel
für T = 2.76 K
Rayleigh/Jeans 2000 K
1800 K
1200 K
2
4
6
8
10
Wellenlänge [µm]
Wellenlänge [mm]
I = σ T4
2000 K
1800 K
1200 K
1000
Temperatur [K]
1.17
Physik III, WS 2016/17
2000
Max Planck (1858-1947)
Nobelpreis 1918
Robert Wilson & Arno Penzias
Nobelpreis 1978
Andreas Hemmerich 2016 ©
Licht als Teilchen: das Photon
Lichtquantenhypothese: A. Einstein 1905
→
Energieaustausch mit einer Lichtwelle E(r) e-iωt der Frequenz ω erfolgt in Paketen
der Energie ω
 ≡ 1.055 * 10-34 J s
= Planck’sches Wirkungsquantum
Die Energiepakete nennt man Photonen
man kann Photonen als Lichtteilchen bezeichnen, allerdings ist die
Analogie zum klassischen Teilchenbild gering ausgeprägt...
Innerhalb der räumlichen Ausdehnung der Welle ist der Aufenthaltsort eines Photons nicht
bestimmbar. Photonen sind delokalisierte Objekte
Das Betragsquadrat der Welle E(r)E(r)* gibt die Warscheinlichkeitsdichte für die
Messung eines Photon an
1.18
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Experimenteller Nachweis des Photons: Photo-elektrischer Effekt
(Experiment: Entdeckung durch Becquerel 1839, Hertz &
Hallwachs 1887, Genaue Vermessung durch Lenard 1902
Interpretation: Einstein 1905)
Photokathode
Na, K, Rb, Cs
Anode
Elektronen
I
Albert Einstein
(Nobelpreis 1921)
Später als Jude
verfolgt
Philipp Lenard
(Nobelpreis 1905)
Später Verfechter
der arischen Physik
und Gegner Einsteins
U
→ Photostrom sättigt bei einem für P charakteristischen Wert
I
I(P2)
→ Photostrom verschwindet für charakteristische
Gegenspannung U0
→ Gegenspannung U0 und somit die dem Elektron vom Licht
mitgeteilte kinetische Energie hängt nur von Frequenz ω ab,
nicht aber von der Lichtleistung P
1.19
Physik III, WS 2016/17
I(P1)
-U0(ω)
U
Lenard 1902
Andreas Hemmerich 2016 ©
Experiment:
U0(ω) =
a ω – UA
Multiplikation mit Elementarladung e:
eU0(ω) + eUA = e a ω
Energieerhaltungsgleichung !
e a =  = Planck Konstante
Interpretation: Das Licht überträgt Energiepakete der Größe ω auf die Elektronen in der Kathode
Ein Teil der Energie, nämlich eUA, wird verwendet um die Elektronen aus der Kathode zu befreien.
Der Rest eU0(ω) wird in kinetische Energie der Elektronen umgesetzt.
U0
Kathode
Anode
eU0(ω)
–UA
ωA
0
ω
- - - -
- eUA
eUA [eV]
λA[nm]
Na
2.28
543
K
2.25
551
Cs
1.94
639
Situation für I=0, U = -U0(ω)
eUA = Austrittsarbeit, die ein Elektron leisten muß um die Kathode zu verlassen
ωA = eUA/ , λA =
1.20
Physik III, WS 2016/17
2πc
ωA = Grenzwellenlänge
Andreas Hemmerich 2016 ©
Unterhalb von ωA (grauer Bereich) kann die Austrittsarbeit nicht durch das eingestrahlte Licht
aufgebracht werden. Für einen Bruchteil von Elektronen kann die Austrittarbeit jedoch immer
durch thermische Strahlung aufgebracht werden. Eine negative Gegenspannung allein
(d.h. Beschleunigungsspannung) kann nur bei extrem hohen Feldstärkewerten den Austritt
von Elektronen (d.h. Stromfluss) bewirken, indem die Potentialbarriere in der Kathode hinreichend
abgesenkt wird: → Feldemission
U0
Potentialbarriere
0
–UA
ωA
ω
Intensität
- - - Kathode
- eUA
eU0(ω)
Anode
Fazit: Der Austausch von Energie zwischen Elektronen der Ladung e und einem Lichtfeld
der Frequenz ω erfolgt in Paketen der Energie ω
Verallgemeinerung I: Dies gilt für die Wechselwirkung von Licht mit jeder Form von Materie.
Verallgemeinerung II: Die Energie eines Lichtfelds der Frequenz ω kann nur die Werte
n ω + E0 , n ∈ N annehmen.
1.21
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zählen von Photonen: Photomultiplier
Quanteneffizienz QE
-1500 V
gnd
Photokathode beschichtet zur Minimierung der Austrittsarbeit
Quanteneffizienz QE =
Anzahl der an der Photokathode ausgelösten Elektronen
Anzahl der eintreffenden Photonen
Bei 7 Sekundärelektronen pro Elektron und 10 Dynoden erhält man 710 Elektronen,
entsprechend einer Ladung von 1 V an 10 pF
1.22
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zählen von Photonen mit dem Photomultiplier:
viel Licht
Photonen
Photoelektronen
Signal-Pulse
Signal
(quasi-kontinuierlich)
wenig Licht
Photonen
Photoelektronen
Signal
(diskrete Pulse)
Dunkelzählrate: durch Kühlung < 1 s-1
1.23
Quanteneffizienz QE = 30% im sichtbaren
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Photomultiplier
Photonenstatistik:
Zählelektronik
n = Anzahl der Photonen, die während einer Zeit t gezählt werden
hni = mittlere Anzahl der Photonen, die während einer Zeit t gezählt werden
n
P(n) = exp(– hni)
Laserlicht:
hni
n!
Glühlampe (thermisches Licht):
n
hni
1
Pth(n) =
1 + hni
1 + hni
Poisson -Verteilung
→
∞
Mittlere Photonenzahl: hni =
∑
n P(n)
→
n=0
Schrotrauschen:
∞
Δn
≡
∑
thermische Verteilung
Thermisches Rauschen:
(n – hni)2 P(n)
=
hni
Δn
=
n=0
hni + hni2
Pth(n)
hni
hni
Δn
0
1.24
Physik III, WS 2016/17
n
Δn
0
n
Andreas Hemmerich 2016 ©
Das Photon trägt Impuls:
→ Erweiterte Lichtquantenhypothese
Einstein 1916:
Energieaustausch mit einer Lichtwelle (ω,k) erfolgt in Paketen
der Energie ω , jedes Paket trägt den Impuls k
Beobachtung des Photonenimpuls: Compton-Effekt
(Compton 1923)
Kohlenstoff
Kα -Röntgenstrahlung
λ0 = 71.1 pm
p
φ
ω,k,λ
Arthur H. Compton
(1892 - 1962)
Nobelpreis 1927
ω’,k’,λ’
Beobachtung des Streuspektrums in Abhängigkeit vom Streuwinkel φ : A. H. Compton, Phys. Rev. 22, 409 (1923)
Zählrate
φ = 0°
λ0
1.25
Physik III, WS 2016/17
λ0 λ’= 71.5 pm
φ = 135°
φ = 90°
φ = 45°
λ0
λ’= 73.1 pm
λ0
λ’= 74.9 pm
λ
Andreas Hemmerich 2016 ©
Stoßbilanz:
vor dem Stoß: Das Elektron ist mit wenigen eV im Festkörper gebunden. Die Energie der
eingestrahlten Röntgenphotonen ω liegt im keV-Bereich. Daher wird das Elektron vor dem
Stoß als frei und ruhend betrachtet.
nach dem Stoß: Das Elektron hat den Impuls p und die kinetische Energie K. Das gestreute
Photon hat die Energie ω’ und den Impuls k’
Energiebilanz:
ω = ω’ + K
Impulsbilanz:
k = k’
(4.1)
k ≡ |k|, k’ ≡ |k’|, p ≡ |p|
+ p
(4.2)
Relativistische Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß ⇒ Verwende
Dispersionsrelation der speziell relativistischen Mechanik:
E = M c2, p = M v mit
M=m
1
(1- v2/c2)1/2
⇒
E
≡
K(p)
≡
m2c4 + p2c2 – mc2
m2c4 + p2c2 ,
K
≡
(4.3)
E - mc2
m = Ruhemasse
Aus (4.1) und (4.3):
 (ω – ω’) + mc2 =
m2c4 + p2c2
Quadriere (4.4) und löse nach p2c2 auf : p2c2 =
2 (ω – ω’)2 + 2mc2  (ω – ω’)
(4.4)
(4.5)
Multipliziere (4.2) mit c, löse nach c p auf, quadriere und verwende ω = c k und k k’ = k k’ cos(φ):
p2c2 =
1.26
Physik III, WS 2016/17
2ω2 + 2ω’2 – 2 2 ω ω’ cos(φ)
(4.6)
Andreas Hemmerich 2016 ©
p2c2 =
2 (ω – ω’)2 + 2mc2  (ω – ω’)
(4.5)
p2c2 =
2ω2 + 2ω’2 – 2 2 ω ω’ cos(φ)
(4.6)
Subtraktion der Gleichung (4.6) von (4.5) ergibt unter Verwendung von ω = 2πc / λ :
λ’ – λ =
Gestreute Welle hat
größere Wellenlänge
λc (1 – cos(φ))
Compton Wellenlänge des Elektrons:
λc
≡
2π 
mc
=
(4.7)
2.43 pm
(liegt im Größenbereich zwischen Kern und Atomhülle)
maximal übertragener Impuls bei Rückstreuung (φ = 180°) : p = 2k
mc + k
mc + 2k
Ursache der unverschobenen Komponente des Compton-Spektrums:
Röntgen-Photonen wechselwirken auch mit stark gebundenen Elektronen. Der dabei übertragene
Impuls p = k wird von den Kohlenstoffkristallen als Ganzes aufgenommen. Die dabei übertragene
kinetische Energie p2/2M ist extrem klein aufgrund der großen Masse M.
1.27
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Noch ein Beweis für die Lichtquantenhypothese: Röntgenspektren
UHeiz
Kα
Glühkathode
25 keV
Kβ
15 keV
U
5 keV
Anode (Ni, Pd, Pt,...)
Falls die thermische Energie > Austrittsarbeit,
treten Elektronen aus der Kathode aus und
können durch eine Spannung U beschleunigt
werden. Die Elektronen treffen auf die Anode
und werden stark abgebremst. Dabei ensteht
Röntgen-Strahlung mit kontinuierlichem
Spektrum mit scharfer Grenzfrequenz ωG
 ωG = eU + Eth
1.28
λ [Å ]
Grenzwellenlängen λG hängen nur
von der Elektronenenergie ab, nicht
vom Elektrodenmaterial
Eth = thermische Energie ( ≈ eV)
eU = Beschleunigungsenergie ( ≈ 1 - 100 keV)
Bemerkung: 25 keV Röntgenstrahlung: λ = 0.5 Å
Physik III, WS 2016/17
Bremsspektrum
= Atomare Größenskala
Andreas Hemmerich 2016 ©
2. Materie: Teilchen oder Welle ?
2.1
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Erkenntnisse vor 1900:
(John Dalton, 1766-1844)
Dalton 1802: Gesetz der multiplen Proportionen
Gewichtsverhältnisse der Elemente in verschiedenen Substanzen ganzzahlig
Gay-Lussac 1808:
(Joseph-Louis Gay-Lussac, 1778-1850)
Ganzzahlige Volumenverhältnisse bei chemischen Reaktionen von Gasen
(Amadeo Avogadro, 1776-1856)
Avogadro 1811:
Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur enthalten gleiche Volumina von Gasen
die gleiche Anzahl von Molekülen: N = 6 × 1023
(Dimitrij Ivanowitsch Mendelejeff, 1834-1907)
(Julius Lothar Meyer, 1830-1895)
Anordnung der Elemente nach Atommassen (Perioden) und chemischen Eigenschaften
(Gruppen)
Mendelejeff & Mayer 1865:
FAZIT:
Es gibt chemisch invariante Elementarbausteine (Atome) aus denen sich größere Strukturen
(Moleküle, Festkörper) zusammensetzen
Relative Atomgewichte (Massen): Konvention 12C → A = 12
1 Mol = Atom/Molekulargewicht in Gramm enthält N = 6.02214 × 1023 Teilchen
2.2
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Röntgen-Strahlung als Sonde für die sub-mikroskopische Welt
Röntgen-Photonen haben Wellenlängen im Bereich der Größe von
Atomen: 25 keV → λ ≈ 0.5 Å
Röntgen-Mikroskop mit atomarer Auflösung ?
Problem: keine Linsen bzw. Spiegel wie für sichtbare Strahlung
Stattdessen: indirekte Beobachtung (im k-Raum) durch Bragg-Streuung
Annahme: Kristalle sind periodische Gebilde. Röntgen-Strahlung
wird an parallelen “Netzebenen” elastisch reflektiert
ki
d
!
b–a = nλ
kf
θ θ
θ
William L. Bragg (1890 - 1971)
William H. Bragg (1862 - 1942)
Nobelpreis 1915
b ≡ d/cos(θ)
a ≡ b sin(α) = b sin(2θ – 90°)
a
b – a = (1-sin(2θ – 90°)) d /cos(θ)
= 2 cos(θ) d
b
α
δR
n λ = 2d cos(θ)
Bragg-Bedingung
2.3
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beobachtung der Röntgen-Beugung an Kristallen
(von Laue 1913)
Friedrich, Knipping, v. Laue, Annalen der Physik 1913 [2a]
UHeiz
Glühkathode
CuSO4 * 5 H2O
Kupfer-Vitriol
Max v. Laue
(1879 - 1960)
Nobelpreis 1914
U
Anode
weisse Röntgenstrahlung
2.4
Schirm
Was das Experiment zeigt:
moderne Laue-Aufnahme:
–> Kristalle sind periodische Gebilde.
Die Netzebenenabstände d liegen im
Å-Bereich
→ Ausrichtung von Kristallen
→ Substanzanalyse
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fragen:
→ Bedeutung der Netzebenen
→ Rolle der thermischen Bewegung: Schwingungen
der Ionenrümpfe um Ihre Gleichgewichtslagen
Exkurs: Grundkurs “Gitter”
Bravais-Gitter
Einheitszelle
kleinste Einheit aus der sich
das Gitter durch Translationen
aufbauen läßt
a1
a2
ai = primitive Vektoren
→
→
→
→
Bravais-Gitter: R = { R | R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3, ni ∈ Z }
→
(5)
Wigner-SeitzEinheitszelle
2.5
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Reziprokes Gitter:
ky
y
kx
x
Bragg-Ebenen
Bravais Gitter
Wigner-Seitz-Einheitszelle
Reziprokes Gitter
Wigner-Seitz-Einheitszelle =
Erste Brillouin-Zone
Reziprokes Gitter: Wellenvektoren aller mit dem Gitter komensurablen ebenen Wellen
→ → →
eiK(r+R)
→
K = {K|
Ü
→→
eiKR =
→
∀ R∈R
→
1∀ R ∈ R }
Basis des reziproken Gitters K : K = { K | K = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3, ni ∈Z }
aj x ak
bi = 2π
a1 (a2 x a3)
2.6
=
→→
ei K r
Physik III, WS 2016/17
(6)
mit {i,j,k} gerade Permutation von {1,2,3}
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bragg-Streuung
→
Eingestrahlte Welle:
eiωt
→
e ikeinx
→
→
→
Gestreuter Wellenvektor: kaus , Δk
→
→
Position der Streuzentren: r = R + u,
→
≡
→
→
kein – kaus
→
→
R ∈ R , u = Abweichung vom Gitterplatz R
→
durch thermische Bewegung. Wird durch Wahrscheinlichkeitsverteilung P(u) beschrieben.
Annahme: einlaufende Welle induziert ein elektrisches Dipolmoment mit Phase φ, welches
→
eine ebene Welle in Richtung kaus abstrahlt (Fernfeldnäherung)
→
→
→
Eein(x) = e ikeinx
→
→
Eaus(x) =
eiφ
→
ik r
e ein
→
→
→
ik (x–r)
e aus
→
r
→
→
Dr = eiφ e ikeinr
→
<u2>P
δR =
Gestreute Welle: Summiere Streubeiträge von allen Gitterplätzen auf
→
eiφ
2.7
Physik III, WS 2016/17
∑
→
ik r
e ein
r =R + u
R∈R
→
→
→
ik (x–r)
e aus
P
,
f(u)
P
≡
∞
f(u) P(u) d3u
-∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
→
→
Gestreute Welle:
E(x) = eiφ
→
→
ik r
e ein
∑
→
ik (x–r)
e aus
R∈R
→
→ →
→
i Δk u
e
= eiφ ei kausx
→ →
∑
→
i Δk R
e
P
R∈R
→
→
=
P
ik x
= eiφ e aus
i Δk r
e
∑
R∈R
i Δk u
e
P
→ →
P
∑
i Δk R
e
(7a)
R∈R
Debye-Waller-Faktor W
r = R + u
→→
→
→→
→
eiφ ei kausx
→
→
→
Struktur-Faktor S
→
Struktur-Faktor S: führt zu scharfen Bragg-Reflexen falls Δk ∈ K, unabhängig von der mittleren
Abweichung der Streuzentren von den Gitterplätzen durch thermische Bewegung ! Thermische
Bewegung reduziert die Intensität aber nicht die Schärfe der Bragg-Reflexe.
→
Δk ∈ K
→
Δk ∉ K
∑
P Ü
→→
⇒
verwende ∑
→ →
i Δk R 2
e
=
∏
i = 1,2,3
sin((N+1)x/2)
einx = eiNx
n=0
= 1
⇒ Alle eiΔk R verschieden
R∈R
N
eiΔk R
sin(x/2)
sin(
sin(
Ni
2
1
2
⇒
S = Anzahl der Gitterplätze
⇒
S ≈ 0
→ →
(Δk ai))
→ →
2π
Ni
2
(7b)
→ →
(Δk ai))
Δk ai
n 2π
→
, N1 N2 N3 = Anzahl der Gitterplätze, ai primitive Vektoren
Die Schärfe der Bragg-Reflexe wird allein durch die Größe des Gitters bestimmt
2.8
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Bragg-Ebenen und Netzebenen:
→
→
→
Konstruktive Interferenz: kin - kout = K ∈ K
Bragg Ebene: halbiert K ∈ K senkrecht
BSP: n2 = n3 = 0
Reziprokes Gitter
cos(θ) =
⇒
→
Bragg-Bedingung
→
→
Elastische Streuung: | kin | = | kout |
→
aus Zeichnung
|K| /2
⇒
→
|kin|
2π
→
|K|
2π
λ = 2
⇒ n1 λ = 2
λ = 2
→
→
→
|n1b1+n2b2+n3b3|
2π
→
|b1|
cos(θ)
cos(θ)
cos(θ)
→
θ
Bragg-Ebenen
kout
Bragg-Ebene , Netzebene: d =
2π
→
|b1|
, n1λ = 2d cos(θ)
→
kin
Bravais-Gitter
→
K∈ K
d=
2π
→
|b1|
Netz-Ebenen
2.9
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Debye-Waller-Faktor für harmonische Vibrationen: (Herleitung
P
)
Harmonische Oszillationen ⇒ Gauss-verteilte Abweichungen u, P(u):
V(u) =
1 m ω2 u2
2
1 =
d3u
P(u)
(2a)
⇒
⇒
P(u) ∝ exp( –V(u)/ kBT )
m ω2
P(u) =
π 2kBT
Für Gauss-verteilte Abweichungen u, P(u):
→→
i Δk u
e
2
P
u2
hu2i =
P
≡
P(u)
d3u
=
exp(- m ω2u2 / 2kBT)
längere Rechnung
→→
d3u
3/2
i Δk u
P(u) e
2
=
(verwende Gauß‘sches Momententheorem)
2
exp – Δk hu2i
P
3
3kBT
m ω2
Variablentransformation x2 = m ω2u2 / 2kBT
→→
⇒
i Δk u
e
2
P
=
2 3kBT
exp – Δk
3 m ω2
(8)
Intensität der Bragg-Reflexe nimmt mit der Temperatur exponentiell ab.
2.10
Physik III, WS 2016/17
Peter Debye
(1884 - 1966)
Ivar Waller
(1898-1991)
Nobelpreis 1936
Andreas Hemmerich 2016 ©
Entdeckung des Elektrons: Experiment von Thomson (1897)
Anode mit
Apertur
UHeiz
U2
××
× × ××××
× ××
×× ××× ×
××
B-Feld
Glühkathode
Schirm
U1
Joseph John Thomson
(1856-1940)
Nobelpreis 1906
• Ablenkung durch elektrisches Feld: Kathodenstrahlen sind elektrisch negativ geladen
• Kompensation der Ablenkung durch magnetisches Feld: Bestimmung von e/m
Annahme: Kathodenstrahlen bestehen aus Teilchen der Ladung e und der Masse m:
→
→
→
0 = F = - e (v→ × B + E)
1
mv2 = e U1
2
2.11
Physik III, WS 2016/17
⇒
e
m
E2
=
2U1 B2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Millikan Experiment (1911): Gibt es eine Elementarladung?
R. A. Millikan, Phys. Rev., 2:109-143, 1913.
Öl-Dispenser
Robert Andrews Millikan
(1868-1953)
Nobelpreis 1923
U
Die Flugbahnen einzelne Tröpfchen werden beobachtet:
mg
• Kompensation der Gravitation durch ein elektrisches Feld
⇒ e =
E
• Aus Flugbahn-Beobachtungen bei E = 0 ( 6πηr v = mg, v = Geschwindigkeit, r = Radius,
η = Viskosität von Luft) bestimmt man die Masse m
⇒
Aktueller Wert:
e = 1,592±0,0017 · 10-19 As
e = 1,602192 · 10-19 As
Differenz aufgrund systematischer Fehler bei der Berechnung der Viskosität von Luft
2.12
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Rutherford Experiment (1911): Wie ist die innere Struktur der Atome?
α-Teilchen = Kerne des Helium-Atoms:
2 Protonen + 2 Neutronen
Goldfolie
α-Strahler: 226Ra
Ernest Rutherford
(1871-1937)
Nobelpreis (Chemie) 1908
Fluoreszenz-Schirm
• Nahezu alle α-Teilchen gingen durch die Goldfolie hindurch so als wäre sie nicht da. Diese αTeilchen bewegten sich geradlinig weiter.
• Einige wenige α-Teilchen wurden geringfügig abgelenkt, üblicherweise um einen Winkel von
2° und weniger. Die wahrscheinlichste Ablenkung an der ganzen Goldfolie lag unter einem
Grad (Rutherford benannte sie in seiner Veröffentlichung von 1911 mit 0,87°).
• Ganz wenige α-Teilchen wurden um einen Winkel von mehr als 90° abgelenkt. Rutherford
nannte in seiner Veröffentlichung von 1911, dass es 1 von 20 000 bei der verwendeten
Goldfolie sind.
2.13
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Rutherford Experiment:
Thomsons Hypothese
Rutherfords Hypothese
• Masse und positive Ladung des Atoms sind in einem Kern konzentriert
• Zwischen α-Teilchen und Kern wirkt die Coulomb-Kraft
⇒
Differentieller Streu-Wirkungsquerschnitt:
σ(φ,θ) ≡
1 d2n
=
J dt dΩ
z Z e2
2
16π ε0 Ekin
1
104
sin4(θ/2)
Z = Kernladung
z = Ladung der Projektile
Ekin = 5 MeV
102
Rutherford
Ekin = kinetische Energie der Projektile
2.14
J = Fluss der eintreffenden Projektile
n = Anzahl gestreuter Projektile
Physik III, WS 2016/17
Thomson
80
160
θ [deg]
Andreas Hemmerich 2016 ©
Das Wasserstoff Spektrum
Mit H2 gefüllte Entladungsröhre
656.3
486.133
434.0 410.2
n=5
n=4
n=3
n=6
Erste Vermessung durch Anders Jonas Angström (1814-1874)
Balmer (1885):
Johann Jakob Balmer
(1825-1898)
Mathematiklehrer
in Basel
Balmer schlug vor, auch nach Linien für andere Werte von
m, n und Bm zu suchen, die nicht im sichtbaren Spektrum liegen
→ Lyman-Serie: m = 1, n = 2,3,4,... liegt im UV
→ Paschen-Serie: m = 3, n = 4,5,6,...liegt im IR
→ Bracket-Serie: m = 4, n = 5,6,7,...liegt im IR
Rydberg (1888):
Johannes Robert Rydberg
(1854-1919)
2.15
Physik III, WS 2016/17
λ = Bm
n2
n2 – m2 für m = 2, B2 = 364.56 nm
1
= RH
λ
1
1
–
m2 n2
RH = 1.09677 × 107 m-1
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bohr’sches Atommodell (1913):
Ausgangspunkt:
Rutherford-Modell: Elektronen bewegen sich um einen Kern
Lichtquanten-Hypothese: E = ω
Rydberg-Formel interpretiert als Energieerhaltung:
1 = R
H
λ
1 –1
m2 n2
⇒
ω =
2π c RH
m2
–
2π c RH
n2
Niels Bohr (1885-1962)
Nobelpreis 1922
= Em – En
Bohrs Hypothesen:
1. Das Elektron kann sich nur auf bestimmten stabilen Kreisbahnen um den Kern bewegen.
Die innere Energie eines Atoms kann daher nur diskrete Werte En annehmen.
2. Beim Übergang zwischen zwei Kreisbahnen Em > En wird die Energiedifferenz in Form
eines Photons der Energie ω = Em – En abgegeben
3. Die erlaubten Bahnen sind durch quantisierte Werte des Bahn-Drehimpuls L = n 
gekennzeichnet
2.16
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Folgerungen aus den Bohr-Postulaten
Annahme:
Kernmasse unendlich, Kernladung = Ze
Elektron bewegt sich im Coulomb-Potential des Kerns
L = r me v = n 
me
r
v2
1
4πε0
=
Ze2
r2
–
rn
n2
=
a
Z 0
pn = Z 
n a0
En = Epot(rn) +
+
1 λc
R∞ =
8π2 a02
a0 =
pn2
2me
=
4πε02
me
-1 Ze2
4πε0 r
0.529177 × 10-10 m
Bohr-Radius
1
– R∞ 2π  c Z2 2
n
=
me e4
8c ε0
=
e2
Epot(r) =
2
h3
= 1.0973731534 × 107 m-1
Korrektur durch endliche Kernmasse mK
Betrachte das Zwei-Körper-Problem in Schwerpunktskoordinaten:
me
→
me
1 + me/mK
reduzierte Masse , für Wasserstoff: mK = mp = 1836.153 me
En = – 2π  c
2.17
Physik III, WS 2016/17
Z2
R∞
1 + me/mK
1
n2
stimmt gut mit Beobachtung überein!
(9)
Andreas Hemmerich 2016 ©
E[eV]
0
-13.6
Epot =
Ze2
1
–
4πε0 r
r
n=3
n=2
1
En ∝ – 2
n
E1 = -13.6 eV
n=1
n=3
n=2
n=1
Paschen
Balmer
Lyman α,β,γ,...
Sonne
Wasserstoff
Helium
Neon
Argon
Lithium
Natrium
Kalium
Indium
Thallium
Quecksilber
2.18
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Franck/Hertz Experiment (1914)
Hg-Dampf 1 Torr
UHeiz
James Franck Gustav Hertz
(1882 -1964) (1887-1975)
I
–
U
+ –
V
+
FAZIT:
3
I
Nobelpreis 1925
• Elektronen werden beschleunigt bis ihre kinetische Energie
2
den Wert E* besitzt, den die Anregung eines Atoms kostet.
Danach sind sie nahezu in Ruhe und werden erneut
beschleunigt. Die Gegenspannung V sorgt dafür, dass
die Elektronen eine Mindestenergie brauchen um zum Strom I
beizutragen. Falls eU = n E* , n = 1,2,... ensteht ein
Minimum in der beobachteten U-I Kennlinie.
1
• Die für eine Anregung nötige Beschleunigungsspannung
0
2.19
5
Physik III, WS 2016/17
10
15
U
hängt nur von der Atomsorte ab (z.B. 4.89 eV für Hg)
• Falls
eU ≥ E* wird Licht der Frequenz ω = E* emittiert.
Andreas Hemmerich 2016 ©
Grenzen des Bohr’schen Atommodells
• Die beobachtete Substruktur der Emissionslinien bleibt im Dunklen. Auch die Erweiterung
auf elliptische Bahnen durch Sommerfeld löst das Problem nicht
• Die Bohr’sche Drehimpuls-Quantisierung kann nicht die Spektren von Mehr-ElektronenAtomen erklären
• Die beobachteten Lebensdauern & Emissionslinienstärken bleiben unerklärt
• Die Frage der Stabilität des Grundzustands bleibt offen
• Das Modell ist begrifflich inkonsistent. Es verwendet die Quantisierung der Energie
zusammen mit dem klassischen Bahnbegriff
2.20
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Auch massive Teilchen haben Wellencharakter: de Broglie 1924
Comptes rendus de l‘Académie des Sciences, vol. 177, pp. 507-510 (1923)
Recherches sur la théorie des Quanta (University of Paris, 1924)
Freie Teilchen mit Impuls p und kinetischer Energie E werden durch eine ebene
laufende Welle ei(ωt - kr) der Frequenz ω und der Wellenzahl k beschrieben,
sodass
Ekin = ω
(10)
 ≡ Planck’sches Wirkungsquantum
p = k
Wir bezeichnen die materiellen Teilchen zugeordneten Wellen als
Materiewellen bzw. de Broglie Wellen
Luis Victor de Broglie
(1892-1987)
Nobelpreis 1929
Energie und Impuls sind von einander abhängig. Für ein klassisches (relativistisches)
Teilchen gilt
Ekin = m2c4 + p2c2 - mc2
Für nicht-relativistische Teilchen ist
m2c4 + p2c2 ≈ mc2 + p2/2m und somit
Ekin = p2/2m
2.21
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Dispersionsrelation für de Broglie Wellen:
verwende Energie-Impuls-Beziehung der relativistischen Mechanik (4.3):
Für ein Teilchen der Masse m: ω = ω(k) =
ωc = c kc = c
2π 
2π
≡ mc2/ , λc ≡
mc
λc
Ekin
Compton-Wellenlänge
für Teilchen mit Masse m
k2
2m
ω ≈
Für ein relativistisches Teilchen der
Masse m (p >> mc):
ω ≈ c k - ωc
Physik III, WS 2016/17
m2c4 + p2c2 - mc2
ωc2 + c2k2 – ωc
Für ein nicht-relativistisches Teilchen
der Masse m (p << mc bzw. c k << ωc ):
2.22
=
nicht-relativistische Materiewellen
propagieren mit quadratischer Dispersion
relativistische Materiewellen
propagieren wie Licht
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beugung von Elektronen an einem Nickel-Kristall
(Davisson, Germer 1927)
Glühkathode
Anode
Amperemeter
Ni-Einkristall
Clinton J. Davisson
(1981 –1958)
Lester H. Germer
(1896 - 1971)
Polardiagramme der
Streuintensität:
C. Davisson and L. Germer, Phys. Rev. 30, 705 (1927)
2.23
Physik III, WS 2016/17
Nobelpreis 1937
Andreas Hemmerich 2016 ©
Elektronen zeigen gleichzeitig Wellen – und Teilchen-Charakter
Youngs Doppelspalt-Experiment mit Elektronen:
Quelle ist so schwach, daß immer nur ein Elektron unterwegs ist
⇒ Jedes Elektron interferiert mit sich selbst !
Akira Tonomura, Hitachi Advanced Research Laboratory 1994
2.24
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
C60 interference pattern
diffraction grating: 50 nm slits at 100 nm period
with grating
no grating
Markus Arndt, et al., Nature 401, 680-682 (1999)
2.25
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
3. Wellenmechanik
3.1
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Delokalisierte – und lokalisierte Materiewellen
Nicht-relativistische ebene Materiewellen:
de Broglie → Ein nicht-relativistisches Teilchen mit der Energie E und dem Impuls p wird durch
eine komplexwertige ebene Welle ψ(r,t) = A ei(ωt - kr) beschrieben mit der Frequenz E = ω
und der Wellenzahl p = k .
Es gilt somit die Dispersionsrelation
2k2
ω =
2m
Interpretation der Wellenfunktion:
Die komplexe Wellenfunktion selbst ist nicht direkt beobachtbar.
Das Betragsquadrat der Welle |ψ(r)|2 bezeichnet die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
d3r |ψ(r)|2 = 1 erfordert |A|2 = 1 / V ,
Teilchens. Normierung der Wahrscheinlichkeit
V
wobei V das von dem Teilchen bevölkerte Volumen bezeichnet. Wegen |e i(ωt - kr)|2 = 1 ist das
Teilchen über den gesamten Raum gleichmäßig verteilt. Für einen unendlichen Raum ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte überall Null.
3.2
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Superpositionsprinzip:
ψ1(r,t) =
1
exp[i(ω1t - k1r)] , |ψ1(r,t)|2 = V-1
V
ψ2(r,t) =
1
exp[i(ω2t - k2r)] , |ψ2(r,t)|2 = V-1
V
2ki2
ωi =
, i = 1,2
2m
Energie und Impuls von ψi(r,t) wohlbestimmt, Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte konstant.
Eine Superposition von ebenen Matriewellen ist selbst eine physikalisch zulässige Materiewelle.
ψ(r,t)
=
1
exp[i(ω1t - k1r)] + exp[i(ω2t - k2r)]
2V
Energie und Impuls von ψ(r,t) sind nicht wohlbestimmt
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte nicht konstant
d3r |ψ(r)|2 = 1
,
V
|ψ(r,t)|2
2π/Δk
|ψ(r,t)|2 = V-1 1 + cos(Δω t - Δk r)
Δk = k1- k2
Δω = ω1- ω2 = (k1+ k2)
3.3
Physik III, WS 2016/17
r
Δk
2m
Andreas Hemmerich 2016 ©
Wellenpakete:
Mit Hilfe der Überlagerung von ebenen Wellen verschiedener Frequenzen und Wellenvektoren
erhält man lokalisierte Wellenpakete, welche lokalisierte Teilchen beschreiben.
→ Lokalisierte Teilchen sind durch Energie – und Impuls-Verteilungen statt scharfer Werte für
Energie und Impuls gekennzeichnet
Mathematisches Werkzeug:
|eix|2
1 ebene Welle
Überlagerung von
n ebenen Wellen
1. - n. Harmonische
Überlagerung eines
Kontinuums ebener
Wellen im Intervall
k ∈ [1,n+1]
n
∑ eikx
Fourier-Transformation
→
2
=
1
=
sin(nx/2) 2
sin(x/2)
k=1
n+1
dk eikx
2
=
1
Δx = 4π/n
sin(nx/2) 2
x/2
0
Breite des verwendeten
Wellenzahl-Intervalls:
x
Δx Δk = 4π
Δk = n
3.4
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Exkurs: Fouriertransformation
(Literatur: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner-Verlag; W. Döhring, Atomphysik und Quantenmechanik, Bd. I, S. 306)
1
=
(2π)1/2
ψ(x)
∞
ik x
dk ψ(k) e
ψ(k)
-∞
1
=
(2π)1/2
∞
-ikx
dx ψ(x) e
-∞
Ortsraum: Einheit m
Reziproker Raum (k-Raum): Einheit m-1
Zeitachse: Einheit s
Frequenzachse: Einheit s-1
Für 1 Zeit – und 3 Raumkoordinaten:
→
ψ(x,t) =
1
(2π)2
∞
→→
→
-i(ωt
kx)
dω d3k ψ(k,ω) e
-∞
1
(2π)2
∞
dt d3x
-∞
(11)
→
ψ(k,ω) =
3.5
Physik III, WS 2016/17
→→
ψ(x,t) e i(ωt - k x )
→
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768 –1830)
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP1:
(x : k)
ψ0 falls x ∈ [–d,d]
ψ(x) =
0 sonst
ψ(k)
=
ψ(x)
ψ0 2
π
sin(kd)
k
ψ(k)
ψ0 2
π
ψ0
k = π/d
2d
x
k
0
0
Endlicher Puls erfordert Superposition ebener Wellen mit beliebig kleinen Wellenlängen
Bew:
ψ(k)
3.6
1
=
(2π)1/2
Physik III, WS 2016/17
∞
dx ψ(x) e-ikx =
-∞
ψ0
(2π)1/2
d
dx e-ikx =
-d
ψ0
(2π)1/2 ik
(eikd- e-ikd)
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP2:
( t : ω)
γ
t) e-iΩt falls t > 0
2
0 sonst
exp(–
ψ(t) =
t>0:
Exponentieller Zerfall & Lorentz-Spektrum
1
1
(2π)1/2 γ/2 + i (Ω − ω)
ψ(ω) =
|ψ(t)|2 = e-γt
1
1
2π
|ψ(ω)|2 =
γ2/4 + (ω - Ω)2
Bew:
1
ψ(ω) =
(2π)1/2
Ü
3.7
BSP3:
Physik III, WS 2016/17
∞
dt ψ(t) eiωt =
-∞
1
(2π)1/2
∞
dt e( i(ω - Ω) - γ/2) t
0
1
1
=
(2π)1/2 γ/2 + i (Ω − ω)
Die Gauß-Funktion ist ihre eigene Fourier-Transformierte
ψ(x) = exp(– (x/σ)2)
ψ(k)
e-1/2 -Breite: σ / 2
e-1/2 -Breite:
=
σ
2
exp(– (σ k)2/4)
2 /σ
Andreas Hemmerich 2016 ©
δn(x)
BSP4: Die Dirac’sche δ-Funktion
(siehe auch: Cohen-Tannoudji et al. Quantenmechanik, Bd. II, Appendix II, Wiley & Sons)
Definition:
n
n falls x ∈ [-1/2n, 1/2n]
δn(x) ≡
1/n
0 sonst
x
0
δ(x) ≡
lim δn(x)
n→∞
(*) Definierende Eigenschaft:
im Sinne der Vorschrift: Rechne mit δn(x)
und führe zuletzt den Limes durch
∞
dx δ(x) φ(x) = φ(0) für beliebige stetige Funktion φ(x)
-∞
BEW:
Ü
3.8
lim
n→∞
1/2n
∞
dx δn(x) φ(x) =
-∞
n
lim
n→∞
dx φ(x)
= φ(0)
-1/2n
Es gibt auch andere Funktionenfolgen, die (*) erfüllen und somit die δ-Funktion approximieren.
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
(2) Fourier-Transformierte von δ(x):
a)
b)
δ(k)
1
=
(2π)1/2
δ(x)
1
(2π)1/2
=
∞
dx δ(x) e-ikx
-∞
∞
dk δ(k) eikx
(*)
=
=
-∞
1
(2π)1/2
1
2π
∞
dk eikx
-∞
BEW zu a):
Mit BSP1 folgt
3.9
1
(2π)1/2
sin(k/2n)
1
(2π)1/2
k/2n
∞
1
dx φ(x)
2π
-∞
BEW zu b):
=
δn(k) =
∞
dk φ(-k)
-∞
Physik III, WS 2016/17
=
1
(2π)1/2
⇒
∞
dk eikx = 1
2π
-∞
∞
dk φ(k)
-∞
=
1
lim δn(k) =
(2π)1/2
n→∞
∞
∞
dk
-∞
1
(2π)1/2
dx φ(x) eikx
-∞
∞
dk φ(k) ei0k
= φ(0)
-∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
Partielle Integration:
∂ ( f(x) g(x) ) = f(x) ∂ g(x) + g(x) ∂ f(x)
∂x
∂x
∂x
f(∞)g(∞) - f(-∞)g(-∞) =
f(∞)g(∞) = f(-∞)g(-∞)
3.10
Physik III, WS 2016/17
∞
dx f(x) ∂ g(x) +
∂x
-∞
⇒
∞
dx f(x) ∂ g(x)
∂x
-∞
∞
dx g(x) ∂ f(x)
∂x
-∞
=
–
∞
dx g(x) ∂ f(x)
∂x
-∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
Ü
Wichtige Eigenschaften:
A.
→
→ →
→
F(x) = ∇ g(x)
→ → →
→
f(x) = ∇ G(x)
→
→ →
→ →
F(x) = ∇ × G(x)
→→
→
→
,
F(k) = i k g(k)
,
f(k) = i k G(k)
,
→ → →
→
→
→ →
→ →
→
∇x
→
-i x
→
FT
ik
→
∇k
(12)
F(k) = i k × G(k)
Beweis: man verwendet die Definition der Fourier-Transformierten und integriert partiell
∂
g(x)
∂x
f(x) = -ix g(x)
z.B. a)
f(x) =
b)
a) ⇒
3.11
,
,
f(k) = ik g(k)
f(k) = ∂ g(k)
∂k
f(k) =
1
(2π)1/2
∞
dx g´(x) e-ikx =
-∞
–
=
1
(2π)1/2
∞
dx g(x) ik e-ikx
-∞
=
Physik III, WS 2016/17
∞
dx g(x) ∂ e-ikx
∂x
-∞
∞
1
-ikx = ik g(k)
ik
dx
g(x)
e
(2π)1/2
-∞
1
(2π)1/2
Andreas Hemmerich 2016 ©
∞
dk φ(k)* ψ(k)
-∞
∞
dk |ψ(k)|2
-∞
B.
∞
dx φ(x)* ψ(x)
-∞
∞
dx |ψ(x)|2
-∞
=
=
Parseval-Gleichung
(13)
1
Beweis: man setzt die Fourier-Transformierten φ(k), ψ(k) ein und verwendet δ(x) =
2π
∞
dk φ(k)* ψ(k)
-∞
=
=
3.12
Physik III, WS 2016/17
∞
dx
-∞
∞
dx
-∞
∞
dk
-∞
=
φ(x)*
φ(x)*
∞
dy
-∞
∞
dy
-∞
1
2π
1
ψ(y)
2π
ψ(y) δ(x-y)
∞
dx φ(x)* eikx
-∞
∞
dk eikx
-∞
∞
dy ψ(y) e-iky
-∞
∞
dk eik(x-y)
-∞
=
∞
dx
-∞
φ(x)* ψ(x)
Andreas Hemmerich 2016 ©
C.
Unschärfe-Beziehung der Fourier-Transformation: Fourier-Ungleichung
φ(k)
ψ(x)
Δx
Δk
k
x
0
0
Δx ≡ h(x - hxi)2i1/2
x-Standardabweichung
Δk ≡ h(k - hki)2i1/2
k-Standardabweichung
hf(x)i
Behauptung: Δx Δk ≥ 1/2
3.13
Physik III, WS 2016/17
≡
∞
dx f(x) |ψ(x)|2
-∞
(in 3 Dimensionen: Δrν Δkµ ≥ 1/2 δνµ )
Andreas Hemmerich 2016 ©
Es sei
∞
∞
∞
ikx
dx |ψ(x)|2 = 1
mit
dk φ(k) e
dk |φ(k)|2 =
-∞
-∞
-∞
∞
dx f(x) |ψ(x)|2 Mittelwert der Funktion f(x) bezügl. |ψ(x)|2
hf(x)i ≡
-∞
1
ψ(x) =
(2π)1/2
Definition :
Δx2 ≡ h(x - hxi)2i
x-Varianz des Wellenpakets (ψ(x), φ(k))
Δk2 ≡ h(k - hki)2i
k-Varianz des Wellenpakets (ψ(x), φ(k))
Behauptung: Δx Δk ≥ 1/2
(in 3 Dimensionen: Δrν Δkµ ≥ 1/2 δνµ )
P Beweis: OBdA sei hxi = 0 :
(i) Δx2 = hx2i =
∞
dx |x ψ(x)|2 =
-∞
=
∞
∂
dk | φ(k)|2
∂k
-∞
A. FT[x ψ(x)](k) =
3.14
Physik III, WS 2016/17
=
(14)
∞
dk |FT[x ψ(x)](k)|2
-∞
∞
∞
2
∂
∂
∂
φ(k)
φ(k)*
–
dk
=
dk ( φ(k))* ( φ(k))
2
∂k
∂k
∂k
-∞
-∞
partielle Integration
i ∂ φ(k)
∂k
(ii)
Δk2 =
∞
dk | (k - hki) φ(k)|2
-∞
B. Parseval-Gl.
Andreas Hemmerich 2016 ©
∞
∂
dk |
+ λ (k - hki)
∂k
-∞
0 ≤
=
∞
∂
dk φ(k)* + λ*(k - hki)
∂k
-∞
=
partielle Integration:
∞
dk ∂ + λ* (k - hki) φ(k)*
∂k
-∞
∂
+ λ (k - hki)
∂k
∞
dk ∂ + f(k) A(k) B(k)
∂k
-∞
=
=
=
(i, ii)
⇒
+ λ*(k - hki)
∂
∂k
φ(k)
φ(k)
0 ≤ Δx2 + λ2 Δk2 – λ = (Δx – λΔk)2 + λ (2 ΔxΔk – 1)
wähle λ = Δx /Δk > 0
Physik III, WS 2016/17
φ(k)
∞
∂
dk A(k) - + f(k) B(k)
∂k
-∞
∞
∂
∂2
dk φ(k)* - 2 + |λ|2 (k - hki)2 – λ + (λ*- λ) (k - hki)
∂k
∂k
-∞
∞
Δx2 + |λ|2 Δk2 – λ + (λ*- λ) dk φ(k)*(k - hki) ∂ φ(k)
∂k
-∞
λ reell:
∂
+ λ (k - hki)
∂k
φ(k)
∞
∂2
2 (k - hki)2 – ∂ λ (k - hki)
φ(k)*
dk
+
|λ|
∂k
∂k2
-∞
=
3.15
φ(k)
|2
⇒
0 ≤
2 ΔxΔk – 1
⇒
Δx Δk ≥ 1/2
Fourier-Ungleichung
Andreas Hemmerich 2016 ©
Herleitung der Schrödinger Gleichung für freie Teilchen:
Ausgangspunkt ist die Frage:
Welche Überlagerungen ebener de Broglie-Wellen sind zugelassene Materiewellen ?
Welche Gleichung bestimmt die Gestalt bzw. zeitliche Entwicklung allgemeiner Materiewellen?
de Broglie: Für ein freies nicht-relativistisches Teilchen mit kinetischer Energie E und Impuls p:
ebene de Broglie Welle:
,
ε(r,t) = e-i(ωt - kr) mit Dispersionsrelation
∂
ε(r,t)
∂t
= ω ε(r,t)
→
 ∇
ε(r,t)
i
= k ε(r,t)
i
2

∆ ε(r,t)
–
2m
k2
k-Raum: ω =
2m
,
k2
ω =
2m
→
=
(k)2 ε(r,t)
2m
Ortsraum:
i
∂ ε(r,t)
∂t
=
2
–  ∆ ε(r,t)
2m
Dispersionsrelation (linear in ω und quadratisch in k) im k-Raum ist äquivalent zu einer linearen
Differentialgleichung 1. Ordnung in “t” und 2. Ordnung in “r” im Ortsraum
3.16
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Für lineare Theorie folgt: (Superpositionsprinzip)
Alle Überlagerungen ebener Wellen mit ω =
→
ψ(r,t) =
1
(2π)3/2
∞
d3k
-∞
→
k2
sind zugelassene Materiewellen:
2m
→ →
→
φ(k) e -i(ω(k)t - k r )
φ(k)
quadrat-integrable Funktion von k
,
→
i
⇒
∂ ψ(r,t)
= ω ψ(r,t)
∂t
→
→
 ∇
ψ(r,t) = k ψ(r,t)
i
2

∆ ψ(r,t) =
–
2m
(15)
3.17
⇒
∂
ψ(r,t) =
i
∂t
(k)2 ψ(r,t)
2m
2

∆ ψ(r,t)
–
2m
Schrödinger-Gleichung
für freie Teilchen:
(Schrödinger 1926)
Erwin Schrödinger
(1987-1961)
Nobelpreis 1933
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fazit:
folgende Aussagen sind äquivalent
(I) ψ(r,t) beschreibt eine freie Materiewelle
k2
(II) ψ(r,t) ist eine Überlagerung von ebenen de Broglie-Wellen mit Frequenzen ω =
2m
2
∂

∆ ψ(r,t)
ψ(r,t) = –
(III) ψ(r,t) ist eine Lösung der freien Schrödinger-Gleichung i
2m
∂t
Interpretation der Wellenfunktion: (Max Born 1926)
Ebene Materiewellen sind unendlich ausgedehnt und nicht quadrat-integrabel. Damit ist |ψ(r)|2
nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretierbar. Ebene Wellen sind damit für die Beschreibung
physikalischer Zustände nicht geeignet, bilden aber ein ausgezeichnetes Hilfsmittel bei der
Superposition von physikalisch sinnvollen quadrat-integrablen Materiewellenpaketen.
Man fordert die Normierungsbedingung:
∞
d3r |ψ(r)|2
1 =
-∞
und interpretiert |ψ(r)|2 d3r als Wahrscheinlichkeit das Teilchen
im Volumenelement d3r zu finden
3.18
Max Born (1882-1970)
Nobelpreis 1954
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beweis (III) ⇒ (II):
∂
2 ∆ ψ(r,t)
ψ(r,t)
–
=
ψ(r,t) ist eine Lösung der freien Schrödinger-Gleichung i
2m
∂t
∞
2k2
1
∂

ikr
3
ψ(r,t) =
d k φ(k,t) e
⇒ i φ(k,t) =
φ(k,t)
2m
∂t
(2π)3/2
-∞
2k2
-iω(k)t
⇒ φ(k,t) = φ(k) e
, ω(k) = 2m
1
⇒ ψ(r,t) =
(2π)3/2
∞
d3k
-∞
φ(k) e -i(ω(k)t - k r )
Merke: Die Lösungen der SG sind notwendig komplex
Falls ψ(r,t) ≡ e-i(ωt - kr) Lösung der SG, ist ψ*(r,t) keine Lösung und somit auch nicht:
Re(ψ(r,t)) = (ψ(r,t) + ψ*(r,t)) /2
Die Wellenfunktion ψ ist ähnlich wie das Vektorpotential in der Elektrodynamik nicht direkt
beobachtbar.
3.19
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Ort und Impuls einer Wellenfunktion:
ψ(r,t) =
1
(2π)3/2
∞
dk φ(k,t) eikr
, φ(k,t) ≡
FT{ ψ(r,t) }
-∞
Statt scharfer Werte für Ort und Impuls kann man i. A. nur die Momente der Orts – (|ψ(r,t)|2)
bzw. Impulsverteilung (|φ(k,t)|2) angeben:
→
hri ≡
∞ →
d3r r |ψ(r,t)|2
Ortsschwerpunkt des Wellenpakets ψ
(Erwartungswert für Ortsmessung des Teilchens)
-∞
Δx
≡
∞
d3r (x - hxi)2 |ψ(r,t)|2
-∞
1/2
x-Ortsbreite des Wellenpakets ψ
(Streuung einzelner Ortsmessungen,
bzw. Ortsunschärfe des Teilchens)
∞
→
hpi ≡
d3k
→
k
Impulsschwerpunkt des Wellenpakets ψ
(Erwartungswert für Impulsmessung des Teilchens)
|φ(k,t)|2
-∞
Δxp
3.20
≡
Physik III, WS 2016/17
∞
d3k (kx - hpxi)2 |φ(k,t)|2
-∞
1/2
x-Impulsbreite des Wellenpakets ψ
(Streuung einzelner Impulsmessungen,
bzw. Impuls-Unschärfe des Teilchens)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Erwartungswert und Unschärfe für vom Ort “r” bzw. Impuls “p” abgeleitete
physikalische Größen:
Auch für von Ort und Impuls abgeleitete physikalische Größen kann man die Momente bzgl. der
Orts – (|ψ(r,t)|2) bzw. Impulsverteilung (|φ(k,t)|2) angeben.
F(r) bzw. G(p) seien Funktionen des Orts bzw. des Impuls:
∞
hF(r)i
≡
d3r F(r) |ψ(r,t)|2
ΔF(r)
≡
≡
∞
d3k (G(k) - hG(k)i)2 |φ(r,t)|2
-∞
-∞
∞
hG(p)i
d3k G(k) |φ(k,t)|2
≡
ΔG(p)
1/2
∞
d3r (F(r) - hF(r)i)2 |ψ(r,t)|2
-∞
-∞
1/2
Funktionen H(r,p) erfordern besondere Maßnahmen → später
BSP:
kinetische Energie: Ekin(p) ≡ p2/2m:
mittlere kinetische Energie:
hEkin(p)i ≡
∞
-∞
3.21
Physik III, WS 2016/17
2 2
d3k  k |φ(k,t)|2
2m
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zeitentwicklung freier Wellenpakete:
Für freie Teilchen gilt: Materiewellen ψ(r,t) haben stationäre Fourier-Transformierten ψ(k,t) , i.e.
ψ(k,t)
= ψ(k,0) e-iω(k)t ,
k2
ω =
2m
|ψ(k,t)| = |ψ(k,0)| zeitunabhängig
→
Schwerpunkt h p i und Impulsbreite Δxp sind für freie Wellenpakete zeitunabhängig
→
vergleiche: für klassische freie Teilchen: p konstant
BEW (I): freie Materiewellen sind Überlagerungen von deBroglie-Wellen
∞
∞
1
-i(ω(k)t - k r )
1
3
φ(k)
e
3k
ψ(r,t) =
d k
d
=
3/2
(2π)
(2π)3/2
-∞
-∞
BEW (II): freie Materiewellen lösen die freie Schrödinger-Gleichung
∂ ψ(r,t)
=
i
∂t
⇒
3.22
Physik III, WS 2016/17
2
–  ∆ ψ(r,t)
2m
⇒
φ(k) e-iω(k)t eikr
ψ(k,t)
∂
2k2 ψ(k,t)
ψ(k,t) =
i
2m
∂t
ψ(k,t) = ψ(k,0) e-iω(k)t
mit ω(k) =
k2
2m
Andreas Hemmerich 2016 ©
ω(k)
Zeitentwicklung freier Wellenpakete:
ψ(x,t) =
φ(k) =
1
(2π)1/2
∞
dk φ(k) e -i(ω(k)t - k x )
-∞
φ(k)
k
FT{ ψ(x,0) } sei zentriert um k0
0
k0
Innerhalb von φ(k) ist Taylor-Entwicklung von ω(k) bis zur 1.ten Ordnung eine sehr
gute Näherung für ω(k):
ω0 ≡ ω(k0)
ω(k) = ω0 + v (k - k0) + ...
∂ω
Gruppengeschwindigkeit
v ≡
= k0
∂k k
m
0
ψ(x,t)
∞
dk φ(k) e ik (x - v t)
-∞
≈
e -i(ω0 - k0 v ) t
1
(2π)1/2
=
e -i(ω0 - k0 v ) t
ψ(x - vt ,0)
⇒
|ψ(x,t)|2 ≈ |ψ(x - vt,0)|2
k
• Einhüllende des Wellenpakets bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit v = m0
Diese ist identisch mit der Teilchengeschwindigkeit.
• Wegen Vernachlässigung der Krümmung von ω(k) bei k0 erfolgt keine Änderung
2
der Form des Wellenpakets. Anders als für Licht ist die Krümmung hier ξ ≡ ∂ ω
=
∂k2 k
sodass bei genauer Rechnung Dispersion auftritt.
0
3.23
Physik III, WS 2016/17

m ≠ 0
Andreas Hemmerich 2016 ©
Heisenberg’sche Unschärfe-Relationen für Ort und Impuls:
(Heisenberg 1925)
Δx Δpx
≥ /2
Δy Δpy
≥ /2
Δz Δpz
≥ /2
Werner Heisenberg
(1901-1976)
Nobelpreis 1932
→
→
Beweis: Verwende Fourier-Ungleichung und de Broglie Relation für ebene Wellen p = k
Interpretation:
Ort und Impuls eines Teilchens können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden
(BSP: Die minimale Ortsunschärfe eine H-Atoms mit Δp/m = 1 m/s beträgt ca. 600 a0 )
Bemerkung: Die Unschärfebeziehung für Ort und Impuls ist ein Spezialfall eines allgemeineren
Zusammenhangs zwischen sogenannten konjugierten physikalischen Größen. Heisenberg kam
zu diesem Ergebnis im Rahmen seiner Matrix-Theorie, die sich erst später als äquivalent zu der
hier beschriebenen Schrödinger’schen Wellenmechanik erwies.
3.24
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP: Freies Gauß-Wellenpaket
ψ(x,t) =
⇒
Δx(t) =
Δp(t) =
1
(2π)1/2
|ψ(x,t)|2
σ
2
3.25
2
=
1 +
π Δx(t)
exp
1/2
42t2
φ(k) ≡
mit
(x - v0 t)2
–
2 Δx(t)2
,
v0 ≡
k0
m
1/4
σ2
(2π)3
exp(– σ2 (k - k0)2 /4)
Gruppengeschwindigkeit
Δx(t)
m2σ4

σ
Δx(t) Δp(t) = 
2
⇒
∞
dk φ(k) e -i(ω(k)t - k x )
-∞
Δx0
1 +
1/2
42t2
Δx0
Steigung: vD ≡
m2σ4

2m Δx0
t
Unschärfeprodukt minimal für t = 0,
für t >> 0 zerfließt das Wellenpaket mit der Geschwindigkeit vD
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Größenordnungen:
• Ein Elektron, welches von einem Atom emittiert wird (Δx0 = Bohr-Radius) zerfließt mit der
Geschwindigkeit vD = 1.1 × 106 m/s . Um einen gerichteten Elektronenstrahl zu erzeugen,
benötigt man somit Beschleunigungsspannungen 2eU >> mvD2 , i.e. deutlich oberhalb von 14 V.
• Ein H-Atom, welches sich von einer Festkörperoberfläche löst, zerfließt mit vD
= 0.6 × 103 m/s
• Der Schwerpunkt einer Polystyrene-Kugel mit 50 nm Radius zerfließt mit vD
= 1.9 nm/s .
Zum Vergleich: Die thermische Geschwindigkeit (2kBT = m v2) der Kugel by T = 1 K ist 7.1 mm/s
3.26
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Physikalische Größen und ihre Darstellung durch Operatoren
a. Ort und Ortsoperator
→
R
→
Ortsoperator (Komponenten X,Y,Z)
→
→
R: ψ → [Rψ](r,t) ≡ r ψ(r,t)
a2.
hri ≡
∞
→
d3r r |ψ(r,t)|2 =
-∞
∞
→
d3r ψ*(r,t) r ψ(r,t)
-∞
h r 2i ≡
∞
d3r r2 |ψ(r,t)|2
-∞
∞
d3r ψ*(r,t) r2 ψ(r,t) =
-∞
→
a1.
( [Xψ](r,t) = x ψ(r,t) etc.)
=
=
∞
→
d3r ψ*(r,t) R ψ(r,t)
-∞
∞
d3r ψ*(r,t) R2 ψ(r,t)
-∞
Die Wellenfunktion φr(r’) ≡ δ(r’-r) ist Eigenfunktion des Ortsoperators
→
→
R φr(r’) = r φr(r’) zum Eigenwert r
→
Bew: R φr(r’) = R δ(r’-r) = r’ δ(r’-r) = r δ(r’-r) = r φr(r’)
3.27
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
a3.
→
Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung des Orts r für ein Teilchen mit der
Wellenfunktion ψ(r,t) ist
|ψ(r,t)|2 =
∞
d3r’ φr(r’)* ψ(r’,t)
-∞
Eigenfunktion φr(r’) ≡ δ(r’-r)
des Ortsoperators zum
→
Eigenwert r
3.28
Physik III, WS 2016/17
2
(Projektionsintegral)
Wellenfunktion ψ(r,t) des Systems
Andreas Hemmerich 2016 ©
b. Impuls und Impulsoperator
→
→
P ≡  ∇ Impulsoperator (Komponenten Px, Py, Pz)
i →
→
→
 ∂
( Px =
etc.)
P: ψ → Pψ ≡  ∇ψ
∂x
i
i
Behauptung:
∞
b1.
→
d3r ψ*(r,t) P ψ(r,t) ,
→
hpi =
hp2i =
-∞
b2. Die Wellenfunktion φp(r) ≡
→→
1
i p r /
e
(2π)3/2
∞
d3r ψ*(r,t) P2 ψ(r,t)
-∞
→
→
ist Eigenfunktion des Impulsoperators: P φp(r’) = p φk(r’)
→
zum Eigenwert p .
→
→
b3. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung des Impuls p = k für ein Teilchen mit der
Wellenfunktion ψ(r,t) ist
2
∞
|ψ(p,t)|2 =
d3r φp(r)* ψ(r,t)
(Projektionsintegral)
-∞
3.29
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beweis:
φ(k,t) =
b1.
hpi ≡
1
(2π)3/2
d3r ψ(r,t) e-ikr
sei Fourier-Transformierte von ψ(r,t)
-∞
∞
d3k k |φ(k,t)|2
-∞
=
∞
d3k k φ(k,t)* φ(k,t)
-∞
1
=
(2π)3
∞
d3k k
-∞
1
=
(2π)3
∞
d3k
-∞
∞
∞
3
d r’ ψ*(r’,t)
d3r ψ(r,t) - ∇ eik(r’-r)
i
-∞
-∞
1
=
(2π)3
∞
d3k
-∞
∞
∞

ik(r’-r)
3
∇ ψ(r,t)
d3r’ ψ*(r’,t)
d re
i
-∞
-∞
part. Integr.
=
∞
∞
∞
d3r’ ψ*(r’,t)
d3r
-∞
-∞
1
(2π)3
∞
∞
d3r’ d3r ψ*(r’,t) ψ(r,t) eik(r’-r)
-∞ -∞
∞
d3k eik(r’-r)
-∞

∇ ψ(r,t)
i
=
∞

d3r’ ψ*(r’,t) ∇ ψ(r’,t)
i
-∞
δ(3)(r’- r) = δ(x’- x) δ(y’- y) δ(z’- z)
3.30
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
→
→
∇
i
1
(2π)3/2
eikr
→
b2.
P φp(r) =
b3.
Fourier-Transformierte von ψ(r,t):
ψ(p,t) =
3.31
Physik III, WS 2016/17
1
(2π)3/2
= k
∞
d3r ψ(r,t) e-ipr/
-∞
1
eikr
3/2
(2π)
=
→
= k φk(r)
∞
d3r φp(r)* ψ(r,t)
-∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
c. Von “r” und “p” abgeleitete physikalische Größen
P
F(r) ≡
∑
n,m,k
G(p) ≡
∑
n,m,k
fnmk xn ymzk
F(R) ≡
∑
n,m,k
gnmk pxn pym pzk
G(P) ≡
∑
n,m,k
fnmk Xn Ym Zk
gnmk Pxn Pym Pzk
∞
hF(r)i
d3r ψ*(r,t) F(R) ψ(r,t)
=
-∞
∞
hG(p)i
d3r ψ*(r,t) G(P) ψ(r,t)
=
-∞
Bemerkung: Eine Verallgemeinerung für physikalische Größen F(r,p), die von Orts - und
Impulsvariablen abhängen, ist nicht in eindeutiger Weise möglich, da es bei der sukzessiven
Anwendung von Orts - bzw. Impulsoperatoren auf die Reihenfolge ankommt.
3.32
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP zu c. : kinetische Energie
Ekin(p) = p2/2m
Ekin ≡
P2/2m
mit
→

P = ∇
i
→
dx ψ*(x,t) Ekin ψ(x,t)
hEkin(p)i =
-∞
Bew:
⇒
3.33
Physik III, WS 2016/17
hp2i ≡
∞
d3k 2k2 |φ(k,t)|2
-∞
1
hp2i =
(2π)3
=
1
(2π)3
=
1
(2π)3
mit
φ(k,t) =
1
(2π)3/2
2 ∆
2m
Operator der
kinetischen
Energie
∞
Behauptung:
Ekin ≡ -
und somit
∞
d3r ψ(r,t) e-ikr
-∞
∞
∞ ∞
d3r’ d3r ψ*(r’,t) ψ(r,t) eik(r’-r)
d3k 2k2
-∞ -∞
-∞
∞
∞ ∞
d3r’ d3r ψ*(r’,t) ψ(r,t) 2k2 eik(r’-r)
d3k
-∞ -∞
-∞
∞
∞
∞
3
d r’ ψ*(r’,t)
d3r ψ(r,t) -2∆ eik(r’-r)
d3k
-∞
-∞
-∞
Andreas Hemmerich 2016 ©
1
=
(2π)3
∞
d3k
-∞
∞
∞
d3r’ ψ*(r’,t)
d3r ψ(r,t) -2∆ eik(r’-r)
-∞
-∞
1
=
(2π)3
∞
d3k
-∞
∞
∞
d3r (-2∆ ψ(r,t)) eik(r’-r)
d3r’ ψ*(r’,t)
-∞
-∞
zweifache part. Integr.
3.34
Physik III, WS 2016/17
=
∞
∞
3
d r’ ψ*(r’,t)
d3r (-2∆ ψ(r,t))
-∞
-∞
=
∞
d3r’ ψ*(r’,t) -2∆ ψ(r’,t)
-∞
1
(2π)3
∞
d3k eik(r’-r)
-∞
δ(3)(r’- r)
Andreas Hemmerich 2016 ©
d.
Verallgemeinerung für beliebige physikalische Größen :
Zu jeder physikalischen Größe “q” gibt es einen Operator Q: ψ → Qψ sodass gilt
d1.
der Erwartungswert der Größe “q” für eine Materiewelle ψ ist
∞
hqi
d3r ψ*(r,t) Q ψ(r,t)
=
-∞
d2.
Die Lösungen der Eigenwertgleichung Q φq(r) = q φq(r) bestimmen die möglichen
Messwerte der physikalischen Größe “q” und die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens.
Die Eigenwerte sind die möglichen Messwerte q der Größe “q”.
Die Eigenfunktion φq(r) zum Eigenwert q besitzt einen scharfen Wert q der Größe “q” :
hqi = q, Δq = 0.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen mit der Wellenfunktion ψ(r,t) den möglichen
Messwert q zu beobachten ist
wq[ψ] =
∑
Alle Eigenfunktionen
∞
d3r φq(r)* ψ(r,t)
-∞
2
φq zum Eigenwert q
3.35
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen als Operatorgleichung:
∂ ψ(r,t)
=
i
∂t
Ekin ψ(r,t)
Ekin = P2/2m
P = ∇
i
Schrödinger-Gleichung im äußeren Potenzial V(r):
i
∂ ψ(r,t)
∂t
= Ekin ψ(r,t)
+ Epot ψ(r,t)
Epot ψ(r,t) = V(r) ψ(r,t)
In dieser nicht aus dem Superpositionsprinzip und de Broglies Hypothese herleitbaren
Erweiterung steckt die eigentliche Innovation ...
Der Operator der Gesamtenergie H = Ekin + Epot heißt Hamilton-Operator
3.36
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Schrödinger-Gleichung: Stationäre Lösungen
2

∆ψ(r,t) + V(r) ψ(r,t)
–
2m
∂ ψ(r,t)
=
i
∂t
Separation von Orts und Zeit-Variablen → Ansatz: ψ(r,t) = φ(r) χ(t)
i χ(t)-1
(I)
(II)
ε φ(r)
ε χ(t)
=
=
2

∆ φ(r) +
–
2m
∂
i
χ(t)
∂t
V(r) φ(r)
⇒
2
∂
∆φ(r) + V(r) = ε
χ(t) = – φ(r)-1
2m
∂t
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
⇒
ε t
-i
χ(t) = e 
Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung (sog. stationäre Lösungen) sind
Wellenfunktionen mit zeitlich konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(r,t)|2 = |φ(r)|2 und
scharfem Wert der Energie ε : H ψ(r,t) = ε ψ(r,t)
3.37
Physik III, WS 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Ü
Für freie Teilchen gilt:
∂
i hrµi =
∂t
=
∂
i
∂t
1
2m
Schrödinger-Gl.
=
-1
2m
Partielle Integration
=
-1
2m
Produktregel
-1
=
m
Partielle Integration
3.38
Physik III, WS 2016/17
∞
d3r
-∞
∞
d3r
-∞
∞
d3r
-∞
∞
d3r
∂ →
∂ →
1 →
h r i = m hpi ,
hpi
∂t
∂t
ψ*(r,t) rµ ψ(r,t)
0
∞
∂
∂
d3r ψ*(r,t) rµ i ψ(r,t) - ψ(r,t) rµ ( i ψ(r,t) )*
∂t
∂t
-∞
=
ψ*(r,t) rµ P2 ψ(r,t)
=
-
ψ(r,t) rµ P2 ψ*(r,t)
Pν( ψ*(r,t) rµ) Pν ψ(r,t)
-
Pν( ψ(r,t) rµ) Pν ψ*(r,t)
ψ*(r,t) (Pν rµ) Pν ψ(r,t) - ψ(r,t) (Pν rµ) Pν ψ*(r,t)
-∞
∞
d3r ψ*(r,t) (Pν rµ) Pν ψ(r,t) =
-∞
i
m
∞
d3r ψ*(r,t) Pµ ψ(r,t) =
-∞
über index ν
wird summiert
Pν rµ =

δ
i νµ
i
hp i
m µ
Andreas Hemmerich 2016 ©
Wahrscheinlichkeitsstromdichte und Kontinuitätsgleichung
ρ(r,t)
→
j(r,t)
≡ ψ(r,t)* ψ(r,t)
≡
1
m
=
-i
2m
⇒
→
Re( ψ(r,t)* P ψ(r,t) )
∂
ρ(r,t) + r j(r,t) = 0
∂t
Kontinuitätsgleichung
ψ(r,t)* rψ(r,t) - ψ(r,t) rψ(r,t)*
BEW: Verwende Produktregel, Schrödingergleichung
Ü
Phasendarstellung: ψ(r,t) = A(r,t) eiS(r,t) , A(r,t) ≥ 0
j(r,t) = ρ(r,t) v(r,t) , v(r,t) ≡
BSP:
3.39
ψ(r,t) = A0 eikx
Physik III, WS 2016/17
⇒
v(r,t) =
k
m

m
rS(r,t)
x
Andreas Hemmerich 2016 ©
4. Die 1D Schrödinger Gleichung
im Stufenpotential
4.1
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Gebiet I
Potentialstufe:
Gebiet II
V(x) = V > 0
V(x) = 0
x=0
Gebiet I:
ψ1(x)
= A1 ei k1x
Gebiet II:
ψ2(x)
Rand:
ε ψ(x)
ε ψ(x)
= A2 ei k2x
+
B1 e-i k1x
mit
ε =
A1
2k12
B2
B1
2m
2
2

∂
ψ(x) + V ψ(x)
= –
2m ∂x2
+
B2 e-i k2x
mit
∂
ψ(x) ,
ψ(x) stetig bei x=0
∂x
A2 + B2
k2 (A2 – B2)
4.2
A2
2 ∂2
ψ(x)
= –
2m ∂x2
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
=
2k22
ε – V = 2m
A1 + B1 = A2 + B2
⇒
k1A1 – k1B1 = k2A2 – k2B2
1 0
0
1
A1 + B1
k1 (A1 – B1)
Transfer-Matrix = 1
Andreas Hemmerich 2016 ©
Streuung an einer Potentialstufe:
(B2 = 0)
Gebiet 1
Gebiet 2
V(x) = V > 0
V(x) = 0
ψ1(x)
= A1 ei k1x
+
B1 e-i k1x
ψ2(x)
= A2 ei k2x
x=0
A1 + B1 = A2
⇒
k1A1 – k1B1 = k2A2
4.3
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
B1
=
A1
A2
=
A1
k1 – k2
k1 + k2
1+
B1
A1
=
2 k1
k1 + k 2
k1 =
2m
2
k2 =
2m
(ε
2
mit
ε
– V)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Partielle Reflexion: ε – V > 0
⇒ k1 , k2 reell
ε
Gebiet I
Reflexionskoeffizient:
jref
R ≡
jin
Transmissionskoeffizient:
T ≡
T =
2 v
A2
2
A1
v
=
=
1
jtrans
jin
Total-Reflexion:
R =
B1 2 v1
A1
v1
e±i k1x
k1 – k2 2
Gebiet II
ei k2x
k1 + k2
R + T = 1
4 k1k2
(k1 + k2)2
vi = ki/m
V >ε >0
⇒ k1 reell, k2 = i γ imaginär
Gebiet I
Gebiet II
ε
Reflexionskoeffizient:
4.4
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
R =
B1 2
=
A1
k2 = i γ imaginär
k1 – i γ 2
k1 + i γ
= 1
⇒ v2 = 0 ⇒
e±i k1x
e-γx
T = 0
Andreas Hemmerich 2016 ©
Translation + Potential-Stufe:
Lösung im Gebiet n:
ψ (x) = A ei kn (x-xn)
n
n
ε =
2kn2
+
2m
Gebiet n
Vn
+
Bn e-i kn (x-xn)
Vn
kn+1
Vn
Vn+1
φn ≡ kndn
xn+1
xn
ψn(xn+1) = An ei kn (xn+1-xn)
+
Bn e-i kn (xn+1-xn)
= An ei φn + Bn e-i φn
⇒
kn
dn
ψ(x) stetig bei xn+1
ψn+1(xn+1) = An+1
Gebiet n+1
Vn+1
+ Bn+1
An+1 + Bn+1
An
An+1
Bn
Bn+1
= An ei φn + Bn e-i φn
∂
ψ(x) stetig bei xn+1
∂x
⇒
4.5
kn+1 (An+1 – Bn+1) = kn (An ei φn – Bn e-i φn)
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
⇒
An+1 + Bn+1
= An ei φn + Bn e-i φn
kn+1 (An+1 – Bn+1) = kn (An ei φn – Bn e-i φn)
iθ
e = cos(θ) + i sin(θ), gilt auch für imäginäre Winkel θ = i x:
sin(i x) = i sinh(x), cos(i x) = cosh(x)
An+1 + Bn+1
kn+1 (An+1 – Bn+1)
=
cos(φn)
i kn sin(φn)
i sin(φn) / kn
cos(φn)
An + Bn
kn (An – Bn)
Transfer-Matrix Mn
Für die Transfer-Matrix gilt: det Mn = 1
Für dn= 0 ist Mn die Einheitsmatrix der Potentialstufe
4.6
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Serie von Potential-Stufen:
k0
k1
k2
kN-2
kN-1
kN
V0
V1
V2
VN-2
VN-1
VN
d1
d1
dN-2
dN-1
φ1
φ1
φN-2
φN-1
x2
x1
xN-1
xN
A0
A1
A2
AN-1
AN
B0
B1
B2
BN-1
BN
1
M1
AN + BN
kN (AN – BN)
=
MN-2 ⋅ ⋅ ⋅ M2
MN-1 ⋅ ⋅ ⋅ M1
MN-1
A0 + B0
k0 (A0 – B0)
Transfer-Matrix M
Für die Transfer-Matrix gilt: det M = det MN-1 ⋅ ⋅ ⋅ det M1 = 1
4.7
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Streuung einer Materiewelle an einer Serie von Potential-Stufen:
BN = 0:
AN
kN AN
=
A0 + B0
MN-1 ⋅ ⋅ ⋅ M1
k0 (A0 – B0)
M
Amplituden-Reflexionskoeffizient:
r ≡
B0
A0
A
Amplituden-Transmissionkoeffizient: t ≡ N
A0
Ü
M ≡
4.8
M11
M12
M21
M22
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r =
⇒
det M = 1
t =
1
kN
t
=
M
1 + r
k0 (1 – r )
k0 M22 – k0kN M12 – kN M11 + M21
k0 M22 – k0kN M12 + kN M11 – M21
2 k0
k0 M22 – k0kN M12 + kN M11 – M21
Andreas Hemmerich 2016 ©
Streuung an Potential-Barriere:
cos(kd) i sin(kd) / k
M =
(B2 = 0)
V
i k sin(kd) cos(kd)
0
⇒
r =
t =
V(x)
i sin(kd) (k2 – k02)
2kk0 cos(φ) – i sin(φ)
(k2
+
k02)
k0
k
k0
V=0
V
V=0
2 k k0
d
φ ≡ kd
2kk0 cos(φ) – i sin(φ) (k2 + k02)
x2
x1
mit
k0 =
k =
2m
2
ε
2m
(ε
2
A0
– V)
Winkel φ kann imaginär sein:
sin(ix) = i sinh(x), cos(ix) = cosh(x)
4.9
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B0
A
1
B
M1
A2
Potentialstufe + Translation + Potentialstufe
M = M1 1 = M1
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fall 1, Streu-Resonanzen:
ε>V>0
2m
(ε
2

k0, k =
⇒
– V) reell
ε
V
k0
k0
k
0
R = rr
*
=
(k2 – k02)2 sin2(kd)
4k2k02
+
(k2
–
k02)2 sin2(kd)
=
V2 sin2(kd)
4ε(ε – V) + V2 sin2(kd)
Gleiche Popagationsgeschwindigkeit v0 = k0/m auf beiden Seiten der Barriere:
T = tt
⇒
4.10
*
v0
v0
R + T
=
4k2k02
4k2k02
+
(k2
–
k02)2 sin2(kd)
=
4ε(ε – V)
4ε(ε – V) + V2 sin2(kd)
= 1
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Andreas Hemmerich 2016 ©
T
=
4ε(ε – V)
4ε(ε – V) + V2 sin2(kd)
Transmission T wird durch Airy-Funktion beschrieben mit
Resonanzen für sin2(kd) = 0, ähnlich wie bei einem optischen
Fabry-Perot-Interferometer.
In Resonanz: destruktive Interferenz für Reflexion, konstruktive Interferenz für Transmission
T
HWB
ε
V
4ε(ε – V)
k0
k
k0
4ε(ε – V) + V2
0
0
Ü
4.11
1
Halbwertsbreiten für Spezialfälle:
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ε →V
⇒ dHWB → 2 / k0 ,
ε →∞
⇒ dHWB → 0 , T
π
T
→ 1
→
kd
2π
4
4 + (k0d)2
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Fall 2, Tunneleffekt:
R =
(γ2 + k02)2 sinh2(γd)
4γ2k02
sin(ix) = i sinh(x)
T =
V>ε>0
+
(γ2
+
k02)2 sinh2(γd)
4k2k02
4γ2k02
+ (γ2 + k02)2 sinh2(γd)
⇒
=
=
k0 reell, k ≡ i γ imaginär: γ =
2m
(V
2
– ε)
V2 sinh2(γd)
4ε(V – ε) + V2 sinh2(γd)
16ε(V – ε)
4ε(V – ε)
≈
γd >> 1
4ε(V – ε) + V2 sinh2(γd)
V2
e -2γd
R + T = 1
Innerhalb der Barriere zerfällt die Wellenfunktion exponentiell. Das Teilchen kann mit endlicher
Wahrscheinlichkeit durch die Barriere tunneln. Halbwertsbreite: ε → V ⇒ dHWB → 2 / k0
ε →0
BSP: Tunnelmikroskop, α-Zerfall
Analogon in der Optik: Frustrierte Totalreflexion
Ü
T
d
V
ε
⇒ dHWB → 0
1
Grau: T für reelles k
von gleichem Betrag
HWB
0
4.12
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
π
γd
Andreas Hemmerich 2016 ©
d
ε =
2k02
V
2m
0
x1
x2
Lösung der stationären SG:
vor Barriere
hinter Barriere
A0 ei k0 (x-x1)
+
r(V,d, k0) A0 e-i k0 (x-x1)
t(V,d, k0) A0 ei k0 (x-x2)
Stationäre Lösung der zeitabhängigen SG:
vor Barriere
hinter Barriere
4.13
ε
i
k
(x-x
)
-i
0
1
A0 e
e t
ε
-i
k
(x-x
)
0
1
-i
+ r(V,d, k0) A0 e
e t
ε
t(V,d, k0) A0 ei k0 (x-x2) e-i  t
Allgemeine Lösung der zeitabhängigen SG (beliebiges Wellenpaket):
∞
∞
ε
i k0 (x-x1) -i ε t
i
k
(x-x
)
-i
t
0
1
dk
r(V,d,
k
)
A
(k
)
e
vor Barriere
dk0 A0(k0) e
+
e 
e 
0
0
0 0
-∞
-∞
∞
i k0 (x-x1) -i ε t
dk
t(V,d,
k
)
A
(k
)
e
hinter Barriere
e 
0
0
0 0
-∞
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Andreas Hemmerich 2016 ©
Kann man Atome direkt sehen?
Tunnelmikroskopie:
Heinrich Rohrer
Gerd Binnig
Nobelpreis 1986
+
–
Elektronen
d = Tunnelbarriere
Tunnelstrom ∝ exp(-γ d)
→
Abstand zwischen Spitze und Probe kann
extrem präzise gemessen werden
4.14
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
5.43 Å
Si (1,1,1) Fläche
71.3 Å
Fe-Atome auf Cu-Oberfläche
M. Crommie, et al., Science 262, 218 (1993).
4.15
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Gebundene Zustände?
A0 = 0 & BN = 0:
AN
⇒
1
kN
=
MN-1 ⋅ ⋅ ⋅ M1
1
– k0
B0
M
B0, k0
AN, kN
M ≡
M11
M12
M21
M22
⇒
kN =
AN
=
B0
M21 – k0M22
M11 – k0M12
(R)
M11 – k0M12
Für die Transfer-Matrix gilt M = M(k1, ... , kN-1). Daher ist (R) als eine einschränkende Bedingung
für die möglichen Wellenzahlen k0, ... , kN zu lesen.
Unter bestimmten Bedingungen führt dies zu einem diskreten Spektrum erlaubter Energiewerte
und zu stationären gebundenen Zuständen.
4.16
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Rechtecktopf:
V<ε<0
0
M =
cos(φ)
i sin(φ) / k
i k sin(φ) cos(φ)
tan(φ) =
⇒
(R)
2 (k0 / ik)
1 – (k0 / ik)2
V(x)
ε
V<ε<0
V
k0
k
k0
V=0
V
V=0
⇒
d
1 – tan2(φ/2)
2m
2
k =
2m
(ε
2

κ2 ≡
φ ≡ kd
2 tan(φ/2)
k0 =
= tan(φ) =
1–
– V)
k2 + γ 2 =
–
k0 = i γ
reell
2m
2
V
tan(φ/2)
2 (γ/k)
(γ/k)2
imaginär,
ε
⇒
0 < γ/k
=
– cot(φ/2)
quadratische Gl. für γ/k lösen
⇒
4.17
k2
κ2
=
1
1 + (γ/k)2
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cos2(φ/2)
=
sin2(φ/2)
verwende:
(1 + tan2(x))-1 = cos2(x)
(1 + cot2(x))-1 = sin2(x)
Andreas Hemmerich 2016 ©
|cos(φ/2)|
k
κ
=
1
tan(φ/2)
|cos(φ/2)|
0 <
&
|sin(φ/2)|
|k /κ|
– cot(φ/2)
0
κd
Man findet endlich viele diskrete Energiewerte kµ (Eigenwerte von H), für die ein gebundener
Zustand existiert. Für κ → ∞ erhält man equidistante Werte für k, i.e. quadratisch wachsende
Energieabstände.
Im Topf:
ψ1(x)
Gebiet 2
0
= A1 ei kµ(x-x1)
Bei x1 gilt:
+
B1 e-i kµ(x-x1)
B0 = A1 + B1
⇒
ψ1(x)
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V
γ
B0
(1 - i )
k
2
γ
B0
B1 =
(1 + i )
k
2
V(x)
x1
x2
A1 =
- k0B0 = k (A1 + B1)
4.18
Gebiet 1
Gebiet 0
= B0
cos(kµ(x-x1)) +
γ
sin(kµ(x-x1))
k
Andreas Hemmerich 2016 ©
Wellenfunktionen im Rechteck-Potentialtopf:
x1
γµ =
- 2m2 εµ

kµ =
2m
(εµ
2

x2
ε =0
– V)
cos(kµ(x–x1)) +
k
sin(kµ(x–x1))
Im Topf sind die Wellenfunktionen durch trigonometrische Funktionen gerader oder ungerader
Parität gegeben, in den klassisch verbotenen Gebieten durch die Exponentialfunktion. Die
Wellenfunktion tunnelt umso weiter in das klassisch verbotene Gebiet, je näher ε bei ε = 0 liegt.
Für V → -∞ verschwinden die Tunnelbeiträge für tiefliegende Niveaus und für diese ist die
Wellenfunktion ∝ sin(kµ(x–x1)) mit
4.19
Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17
kµ (x2–x1) = n π , n = 1,2,...
Andreas Hemmerich 2016 ©

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