Wo beginnt Mathematik? - Heinrich-Hoffmann

Martina Hehn-Oldiges, Goethe-Universität Frankfurt, 2012
Entw.
Alter
Phase der
dominierenden Tätigkeit
(Leontjew)
Niveau der
Intelligenz
(Piaget)
Wo beginnt Mathematik?
Entwicklung des Raumbegriffs
(Geometrie)
Entwicklung des
Zeitbegriffs
Entwicklung des Zahlbegriffs
(Arithmetik)
Entwicklungsniveau: Perzeptive Tätigkeit
1.
Mon.
Phase der
Reizverarbeitung
durch einzelne
Sinnesorgane
Betätigung und
Übung der
Pläne/Reflexe
/Reaktionen
2.+3.
Mon.
Zufallshandlungen
SENSOMOTORISCHER RAUM
Handlungen finden im konkreten Raum statt ->
RAUMWAHRNEHMUNG
Bewegungen führen zu Erfahrungen im Raum Begrenzungen, Eigenschaften des Raums führen zu
Erfahrungen des eigenen Körpers
 KÖRPERWAHRNEHMUNG
Zunächst auf den Nahraum beschränkt
Rückenlage, getragen und gehalten werden, überwiegen
Vorbewusste RaumZeiterfahrungen,
Körperraum
Dauer und Ordnung der zur
Verfügung stehenden Reize
unterstützen die Entwicklung
und Differenzierung der
Wahrnehmung
Hände und Finger werden angeschaut, Hände
werden zusammengeführt und wieder
auseinandergeführt
Zeiterleben durch Bewegungen
im Hinblick auf ein Ziel,
Gegenstände werden gesehen, gehört, gefühlt,
Mundraum als körpereigener Raum, in den z.B. die Hand
hineingesteckt wird.
Bewegungen führen zu Erfahrungen im Sehraum,
Haltungsraum, Taktilraum, Hörraum
 Seh-, Hör-, Fühl- und Spürreize führen zur Bewegung
 Bauchlage beginnt
4.
Mon.
Zusammenarbeit der
verschiedenen
Sinnesorgane
Aktive
Wiederholungen
Hände werden in etwas hineingesteckt, halten etwas fest,
lassen etwas los, drehen etwas,
Gegenstände, Menschen werden mit den Augen verfolgt,
berührt, ertastet,
Hände halten etwas fest, lassen etwas los, drehen etwas,
Hände und Füße erfahren unterschiedliche räumliche
Begrenzungen
Bewegungsabfolgen
Schlaf-Wach-Rhythmus
Angeborene Fähigkeit „Subitizing“
Körpereigene Erfordernisse
(Hunger-Durst-Verdauung…)
Saug-Schluck-Rhythmus
Beginn einer Erwartung auf
einen bereits erfahrenen Effekt
Erfahrung beginnt, dass sich Gegenstände
unterscheiden
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Entwicklungsniveau: Manipulative Tätigkeit
7.
Mon.
Phase des
Beginns der
Vorstellungskraft
Anwenden von
Handlungssche
mata
auf neue
Situationen
10.
Mon.
Phase des
zielgerichteten
Handelns
Gegenstände werden von der einen in die andere Hand
gewechselt, aus dem Kinderwagen geworfen, rollenden
Gegenständen wird nachgeschaut.
Bewegungsabläufe erweitern sich durch
Handlungserfahrungen und ermöglichen neue
Raumerfahrungen
Beginn des seitlichen Drehens und Sitzens
Entfernt liegende Gegenstände können erreicht werden,
Größe, Form, Farbe kann gesehen werden, Lebewesen, die
sich nähern oder entfernen werden beobachtet
Erfahrungen, dass Bedürfnisse
zeitnah oder nicht zeitnah erfüllt
werden
Rhythmisches Klopfen, Bewegen
Finger werden in Löcher oder Spalten gesteckt, Essen wird
zerpflückt, in den Mund gesteckt.
Sachen werden fallen gelassen und von Bezugspersonen
wieder aufgehoben
Erwarten einer Folge von
Ereignissen durch Reize
(Flasche, bestimmte Personen)
Geräusche werden durch
eigenes Handeln erzeugt und
folgen zeitnah oder mit
Verzögerung, dauern
unterschiedlich lange
Spielzeug, dass sich auseinander nehmen lässt
wird in den Händen gedreht und in zwei Teile
geteilt,
Form, Farbe, Beschaffenheit als Merkmale von
Gegenständen werden erfahren und erkundet
Klopffolgen
Beginnt Menschen und Gegenstände zu
unterscheiden, bevorzugt Farben, Formen,
Gegenstände..
Gegenstände werden aneinandergeschlagen
Hantieren und Manipulieren beginnt, Nachahmung der
Tätigkeiten von Bezugspersonen beginnt,
Weint, wenn Bezugspersonen aus dem Raum gehen
Entwicklungsniveau: Gegenständliche Tätigkeit
12.
Mon.
Phase der
gegenständlichen Tätigkeit
Entdeckung
neuer Mittel
durch
Ausprobieren
Vorhandene Gegenstände werden von einem Behälter in
einen anderen umgefüllt, Behälter werden ausgeleert und
wieder eingeräumt
Bedürfnisse müssen zeitnah
befriedigt werden
Beim Ausleeren, Umfüllen, Einfüllen erfährt das
Kind „wenig-viel“, „leer-voll.
Vorhandene Gegenstände werden aufeinander gesetzt
Gegenstände werden geworfen.
Größenkonstanz der Dinge wird wahrgenommen. Räuml.
Perspektiven (Verstecken) „da – weg“
BEWEGUNGSRAUM
Das Kind kann sich alleine fortbewegen (Krabbeln, Laufen)
Gegenstände werden auseinandergenommen
(zerlegt) und wieder zusammengesetzt.
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und beginnt Räume zu erforschen
Beginn der
Objektpermanenz
Örtliche Veränderungen der eigenen Person und von
Gegenständen werden zunehmend bewusst, beginnt etwas zu
suchen.
Vorhandene Gegenstände werden in Behälter gesteckt,
Größenunterschiede werden erfahren, Größen von
Gegenständen und Behältern in Beziehung zueinander
erfahren.
Gegenstände werden gestapelt, ineinander gesteckt,
auseinandergenommen, Abbildungen werden erkannt,
einfache Holzpuzzleteile können eingesetzt werden.
Beidhändiges Arbeiten
Gedächtnis speichert
Handlungsfolgen, vergangene
Handlungen werden in die
Zukunft übertragen .
Beschäftigung mit Material ist
kurz und wechselt häufig,
interessante Effekte werden
ausdauernder erprobt.
Das Kind versucht, zwei Gegenstände in eine
Hand zu nehmen und vielleicht einen dritten
Gegenstand in die andere Hand zu nehmen.
Es erlebt Treppenstufen und probiert das Auf- und
Abgehen.
Es versucht, immer mehr in die Hand zu nehmen
18.
Mon.
Entdeckung
neuer Mittel
durch geistige
Kombinationen
Durch Handlungen werden Erfahrungen mit „innen-außen“,
„offen-geschlossen“, „verbunden-unverbunden“ gemacht
(erste topologische Beziehungen)
TOPOLOGISCHER RAUM
Entwicklung eines geistig vorgestellten Raumes (in
Beziehung zu sich selbst), gemäß den eigenen
Bedürfnissen und bisher erworbenen Schemata
Beziehungen von Nachbarschaft, Kontakt/Trennung, Ordnung,
die als räumliche Reihenfolge erlebt wird, Umgebensein und
Kontinuität
Weiß, wo bedeutsame Gegenstände sind, Wahrnehmung des
Raumes in und aus verschiedenen Perspektiven.
Schränke, Schubladen, Behältnisse werden aus- und
eingeräumt, beginnt sich zu verstecken
Größen von Gegenständen und Behältern werden durch
Hinschauen geschätzt und durch Handlung als richtig oder
falsch erfahren.
Es lernt Fingerspiele, Lieder, Reime, in denen
Zahlen oder Zahlwortfolgen vorkommen
Gleichzeitig angebotene
sprachliche Informationen
„gleich-jetzt-später-noch einen
Moment- nachher“ werden mit
Zeiterfahrungen gekoppelt
Es erlebt Klassifikationen im Alltag beim
Aufräumen oder im Haushalt
Es beginnt Zahlwörter zu verwenden „Eins, Zwei,
viele“
Verteilen von Gegenständen
Materialien und Gegenstände werden sortiert,
geordnet und unterschieden (meins-deins, großklein, viel-wenig, weich-hart, rund-eckig…)
Zeichnet mehrere Spiralen, Formen auf ein Blatt ->
Mengen abbilden
Beginnende Mengenerfahrungen
(protoquantitatv/pränumerisch):
Mehr-weniger-gleich viel
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Im
2.+3.
Lj.
Präoperatorische Intelligenz
Vorbegriffliches
Denken
Graphomotorische/Zeichnerische Entwicklung
Kritzelphase: Bemühen, dargestellte Formen abzubilden
Hiebkritzeln, Pendelkritzeln, Kreiskritzeln – Urknäuel)
Später: Linien, Zickzack, Wellenformen
Stück-zu-Stück-Zuordnung
Differenzierung der topologischen Beziehungen:
Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum –
vorstellbare Gruppen, sieht in Gefäße
Offen-geschlossen, verbunden-unverbunden, innen-außen,
nah-fern… Ecken, Kanten und Beziehungen zwischen ihnen
Beginn Mengenvergleich mehr-weniger-gleich viel
(auf diesem Niveau wird die veränderte Anordnung
einer Quantität als mehr oder weniger aufgefasst)=
Sandspiel – füllt Eimer, kippt aus, verstreut, baut Gebilde
Handlungen mit
Gegenstandsvertretern/Symbolspiel/Konstruktionsspiel
(Enaktive Repräsentation)
Ortsveränderungen werden vorstellbar, erkundet Treppen,
Mauern, klettert
Gleichheit von Gegenständen wird erfasst, Paare
gebildet (Schuhe…)
Gefühl von Dauer,
Geschwindigkeit („schnelllangsam“) im Vergleich zu
räumlichen Veränderungen
Abläufe und Reihenfolgen
werden erlebt (erst-dann, vornach, vorher-nachher)
Prinzip der Mengenerhaltung muss noch erworben
werden,
beginnt Mengen bis zu drei Gegenständen
simultan zu erfassen,
einfache Sortieraufgaben gelingen
Bauen und Konstruieren
Bedürfnisse werden zeitlich
versetzt befriedigt (Dauer)
Erfasst Relationen (länger-kürzer)
Erfasst räumliche Bezüge (auf, unter, neben, hinter, oben,
unten, innen, außen…
Kann Figuren aus zwei bis veier Stäbchen nachlegen,
Beginn innerer Vorstellungen (z.B. Nachlegen
einer verdeckten Menge von 2-3 Objekten)
zunehmend bildet sich eine Handdominanz aus
Entwicklungsniveau Spiel
Im 4.
Lj
Phase des
kooperativen
Spiels
Zeichnerische Entwicklung:
Einfache Formen können wiedergegeben werden (Kreis,
Dreieck, Quadrat, Kreuz)
Zeichnungen haben einen Anfang, ein Ende und Richtungen,
zeichnet Urkreuz (senkr. + horizont. Linie)
Kreise und Striche (Kopffüßler)
Wechselbeziehung zwischen Raum- und Körperbewusstsein
Parallele Entwicklung von Raumvorstellung und Körperbild
Zeitintervalle werden subjektiv
erlebt, Maßeinheiten werden
angeboten
Heute abend
noch einmal Schlafen,
dann…
morgen
nächste Woche
Zahlwortfolgen werden weiterhin gesprochen,
Zahlen werden verwendet, z.B. „Eins, zwei, vier“
wenn es bis drei zählt.
Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe
Das Kind sammelt, sortiert nach Eigenschaften
(z.B. Farben, Formen, Spielzeugart ->
Klassifikation)
Reihenbildung
Reiht Spielzeug, Gegenstände auf
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Erkennt Paare beim Memory-Spiel
Wahrnehmung der Umwelt (obj. Anhaltspunkte),
auf den eigenen Körper und seine Teile gerichtete
Wahrnehmung (subj. Anhaltspunkte)
Entwicklung der Seitigkeit (Lateralität/Händigkeit),
Größenunterschiede am eigenen Körper erfahren
Voraussetzung für die Orientierung des eigenen Körpers (vorhinter, über-unter, rechts-links)
Kalender als Maßeinheit wird
angeboten (Geburtstag,
Weihnachten…)
Ankleiden paarweise (Schuhe, Strümpfe)
Zeigt beim Sagen des Alters entsprechend viele
Finger
An- und Auskleiden (Reihenfolge der Kleidung-Orientierung im
Hinblick auf Öffnungen der Kleidung im Verhältnis zum
eigenen Körper (vorne-hinten, oben-unten)
Das Kind erlebt sich in der Welt, die für es, auf es und durch
es zentriert ist, von ihm ausgehend und in Bezug auf es
gegliedert ist
Uhr als Maßeinheit für Zeit wird
erlebt und ganzheitlich
wahrgenommen
Erlebt Größenunterschiede, erkennt und benennt
„größer-kleiner“ in Beziehungen zwischen
Gegenständen oder Menschen
Gegenstände sind auf Bildern noch nicht durch oben oder
unten angeordnet, sondern über das ganze Blatt verteilt, beim
Zeichnen von Armen am Bild eines Menschen werden rechte
Winkel verwendet.
Im
5.+6.
Lj..
Anschauliches
Denken
Das Zeichnen von Schrägen beginnt (Dächer/Kleidung),
Zickzack, Kringel, Wellen werden als Muster gezeichnet
Auf den Bildern werden zunehmend unten – oben dargestellt
(Standlinienbilder – erste Perspektive – Horizont als
Koordinate)
Experimentieren mit Dreidimensionalität (Auf- und Ansicht),
Arme und Beine werden räumlich (durch Doppellinie)
dargestellt
Basteln, Falten führt zu Erfahrungen mit Formen
Zeichnen von „Röntgenbildern“ (Umrisse und Inhalt werden
Beginnt Regelspiele zu spielen, Zuordnungsspiele,
Lottos
Simultanes Erfassen von Mengen bis 4 Elemente
Erlebt, dass Mengen verteilt werden
(protoquantitatives Teile-Ganzes-Schema)
Übergang zum projektiven Raum, wenn Gegenstände/Figuren
durch einen BIickwinkel betrachtet werden
Beginn der Wahrnehmung von Entfernungen und
Geschwindigkeiten
Abbildungen von Menschen (Kopffüßler) haben 2
Arme, 2 Beine, einen Kopf -> Anzahl wird
übertragen,
Fingerzahl variiert, sind aber oft schon mehr als 2
Erkennt, unterscheidet und benennt Farben
Entfernungen und
Geschwindigkeiten
Gedächtnis und Zeitfolge führen
zu Erfahrungen von „gleichzeitig
– nacheinander“,
Steigerungen „spät-später“
Kennt Wochentage und
Jahreszeiten
Zeitabschnitte:
Heute, gestern, morgen, Tag,
Nacht
Geld wird im Alltag als Mittel erlebt, für das etwas
eingetauscht wird – Kaufladenspiel, selbst
bezahlen beim Einkauf
Anschauungsgebundenheit (Repräsentanz) bildet
sich aus (2 größere Teile werden als mehr
wahrgenommen als 2 kleinere Teile)
Zuknöpfen von Kleidung
Tisch decken (Anzahl der Personen und
Gegenstände, Stück:Stück-Zuordnung)
Simultanes Erfassen bis 5 Elemente
Karten-, Brett-, Würfelspiele, Verteilung von
Spielmaterial, Klassifizieren, Reihen bilden,
Würfelaugen zählen und umsetzen, Würfelaugen
als Zahlbilder erfassen
Spielfelder als Gesamtmenge oder Einzelschritte
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gezeichnet)m Objekte sind transparent, Größe und Anordnung
entsprechen der inneren Realität
Konstruktionsspiel (baut, zerlegt )
Vergleiche „hoch-höher, weiter, tief-tiefer…“, gleiche oder
andere Richtung (links-rechts, vorwärts-rückwärts)
Anfangen-aufhören,
fertig – noch nicht fertig
Entfernungen – Abstände (nah-weit)
Eine halbe Stunde…
Muster werden in Reihen gezeichnet,
Eigenschaften benannt, Oberbegriffe verwendet
Beginnt Zahlwortreihen aufzusagen
Zahlwort wird zum Gegenstand zugeordnet (1:1Zuordnung)
Beginnt bis zu 10 Elemente abzuzählen
(Unflexible Zahlwortreihe) Beginn
Kardinalwortprinzip
Experimentiert mit Raumlage/Anordnung
z.B. von Ziffern auf einem Blatt
Erlebt Zahlen in der Umwelt (Codierungsaspekt:
Hausnummern, Autokennzeichen,
Telefonnummern..)
Erlebt Ordnungszahlen: 1., 2. oder 3. sein,
stellt Reihen her und verwendet Positionsbegriffe
(zuerst komme, dann kommt, zuletzt kommt).
Kann bei vertrauten Gegenstandspaaren die
wesentlichen unterscheidenden Merkmale
benennen.
Teilweise flexible Zahlwortreihe
Fingerbilder werden als Brücke zur inneren
Vorstellung genutzt
Flexible Zahlwortreihe
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Entwicklungsniveau Schulisches Lernen
Im 7.
Lj
Phase des
schulischen
Lernens
Konkrete
Operationen
Projektive Beziehungen
Eigenschaften geometrischer Grundgebilde, die sich beim
Projizieren nicht ändern
Ordnungsrelationen: A kommt vor B,
X liegt rechts von Y, Relativität der Standpunkte
Abbilden von Körpern in der Ebene
Gerade – Horizontale – Vertikale
Ausbau der
konkreten
Operationen
Prinzip des Messens wird verstanden (Bezugsgröße,
Meterstab, Waage..)
16. Lj.
Ausbau der
formalen
Operationen
Phase der
Ausbildung
Phase der
gesellschaftlichen Arbeit
Messen der Zeit
Verbindung der Zahlwortreihe mit dem TeileGanzes-Prinzip
Zerlegung von Quantitäten (Teile-Ganzes-Konzept
in Verbindung mit Zahlsymbolen)
Umgang – Verständnis der
Struktur von Uhr, Kalender,
Datum differenziert sich aus,
Zahlsymbole werden erworben,
begreift Mengenkonstanz, Zahl, Serienbildung und
Klassifikation (ordnet nach Gemeinsamkeiten)
Vergleichen von Abbildungen
Beim Zeichnen nehmen die Ähnlichkeiten zwischen realen und
abgebildeten Objekten zu.
10.12.Lj.
Ziffern werden unterschieden, Zählen wird
ausgebaut, Zahlreihen gewinnen an inhaltlicher
Bedeutung (Kardinalaspekt)
Rechts-links projektive Relationen an Gegenständen,
Personen (Nachahmung ist nicht mehr spiegelverkehrt)
Koordinierung der betrachteten Gegenstände in ihren
objektiven Lagen und metrischen Relationen,
Distanzrelationen, Konstruktion von Linien, Figuren, Körpern
(Differenzierung der Euklidische Beziehungen und Integration
in projektive Beziehungen)
8.-12.
Lj.
Stundenplan als Strukturierung
von Zeit
Differenzierung der Wahrnehmung von Distanz, Flächen,
Volumen, Perspektiven und Koordinaten
konstante Maßeinheit, metrische Eigenschaften
konstantes Bezugssystem
Schätzen, Messen, Vergleichen,
Anwendung von
Messinstrumenten
Begreift das Invarianzprinzip (Menge bleibt
erhalten, auch wenn sie anders angeordnet ist)
Schätzen, Vergleichen
Kann im Zahlenbereich bis 10 addieren und
subtrahieren, Zerlegen, Ergänzen
Begreift das Prinzip der Reihenbildung (kann ohne
vorheriges Ausprobieren eine größere Anzahl von
Gegenständen der Größe nach sortieren)
Begreift das Prinzip der Klassenbildung,
Klassenzugehörigkeiten werden erkannt –
Oberklassen gebildet
Versteht und verwendet Operationszeichen als
symbolische Darstellung der Erfahrung von
Alltagshandlungen (Dazutun, Wegnehmen,
Vervielfachen, Verteilen)
Martina Hehn-Oldiges, Goethe-Universität Frankfurt, 2012
Verwendete Literatur:
Eggert, Dietrich/Bertrand, Lucien (2002): RZI-Raum-Zeit-Inventar – der Entwicklung der räumlichen und zeitlichen Dimension bei Kindern im Vorschulalter und deren
Bedeutung für den Erwerb der Kulturtechniken Lesen, Schreiben und Rechnen, verlag borgmann, Dortmund
Kornmann, Reimer: Vorlesungsskript „Mathematikunterricht an der Primarstufe unter erschwerten Bedingungen“ (WS 2009/2010, Institut für Sonderpädagogik, Goethe-Universität
Frankfurt)
Kornmann, Reimer (2010): Mathematik: Für Alle von Anfang an! Verlag Klinkhardt, Bad Heilbrunn
Moser Opitz, Vera (2008): Zählen-Zahlbegriff-Rechnen, Haupt Verlag, Bern 3. Aufl.
Nielsen, Lili (1996): Schritt für Schritt, edition bentheim, Würzburg
Pauli, Sabine/Kisch, Andrea (1992): Was ist los mit meinem Kind? Otto Maier Ravensburg
Senckel, Barbara (1998): Du bist ein weiter Baum, Verlag C.H.Beck, München
Werner, Birgit (2009): Dyskalkulie-Rechenschwierigkeiten, Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart
Weißhaupt/Peucker (2009): Entwicklung arithmetischen Vorwissens. In: Fritz/Ricken (Hrsg.) Handbuch Rechenschwäche, Beltz Weinheim

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