Anleitung zum Physikpraktikum für Oberstufenlehrpersonen Stösse (ST) Herbstsemester 2016 Physik-Institut der Universität Zürich Inhaltsverzeichnis 3 Stösse (ST) 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ziel des Versuches . . . . . 3.2 Theoretischer Teil . . . . . . . . . 3.3 Sprung auf eine Platte . . . . . . . 3.3.1 Theorie . . . . . . . . . . . 3.3.2 Versuchsanordnung . . . . . 3.3.3 Vorgehen . . . . . . . . . . 3.3.4 Auswertung . . . . . . . . . 3.3.5 Weitere Kurven (qualitative 3.4 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Piezokristalle . . . . . . . . 3.4.2 Kraftsensor . . . . . . . . . 3.4.3 Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betrachtung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.1 3.1 3.1 3.3 3.3 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3 Stösse (ST) 2.5.4 2.5.4.1.3 2.6.2 2.7.3 2.7.5 2.7.5.2 3.1 Vorlesungsabschnitt 2, Mechanik Anwendungen der Newton’schen Prinzipien Kraftstösse Energiesatz Impulssatz Beispiele zum Schwerpunktssatz und Energiesatz Stösse Einleitung Stösse kommen überall dort vor, wo zwei oder mehrere Körper kurzzeitig in Wechselwirkung geraten, so beim Aufprall eines Balls an einer Wand, bei einem Autounfall, bei Absprüngen, Landungen, usw. Bei allen Stössen wird Energie und Impuls, eventuell auch Drehimpuls ausgetauscht. Viele physikalische, chemische und wohl auch biologische Vorgänge beruhen auf Stössen: • Atomare Stösse führen zu thermischen Gleichgewichtszuständen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern. • Der Wärmeaustausch zwischen zwei Körpern ist die Folge von Stössen ihrer Atome entlang der Berührungsfläche. • Stösse zwischen Molekülen führen zu chemischen Reaktionen. • Bei der Absorption von Licht stossen Lichtquanten mit atomaren Gebilden zusammen. • Die ionisierende Wirkung rascher, geladener Teilchen (Elektronen, Protonen, α -Teilchen, π -Mesonen) beruht auf Stossprozessen. • Radioisotope können durch Stösse zwischen geladenen Teilchen oder Neutronen und Atomkernen erzeugt werden. 3.1.1 Ziel des Versuches Da Stösse von grundsätzlicher Bedeutung sind, sollen in diesem Versuch einige ihrer Aspekte diskutiert werden. Wir beschränken uns dabei auf Stösse zwischen zwei makroskopischen Massen (Abbildung 3.1). Dabei geht es um: • den “Kraftstoss” • die Stossdauer und die entsprechenden Kräfte • harte und weiche Sprünge auf eine Platte 3.2 Theoretischer Teil Bei jedem Stoss treten zwischen den beteiligten Massen zeitabhängige Kräfte F⃗ (t) auf. Die Einzelimpulse p⃗i = mi⃗vi der beiden Massen ändern sich unter der Wirkung dieser Kräfte. Solange keine äusseren Kräfte wirken, ändert sich jedoch der totale Impuls p⃗tot = p⃗1 + p⃗2 3.1 (3.1) der beiden Massen nicht, d. h. der Gesamtimpuls bleibt erhalten: ∑ F⃗i = 0 → p⃗tot = konstant (Impulserhaltungssatz) (3.2) i Für die Beschreibung eines Stosses gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten: 1. Man betrachtet nur die eine Masse und untersucht, wie sich ihr Impuls unter der Wirkung der Kraft F⃗ (t) ändert. 2. Man betrachtet die beiden Massen als abgeschlossenes System und beachtet, dass der totale Impuls konstant ist. m1 v1 v2 m1 m2 m2 F2 Vor dem Stoss Einzelimpulse: p⃗1 = m1⃗v1 , p⃗2 = m2⃗v2 1 (t) v´1 F1 m1 m2 v´2 2 (t) Während des Stosses Impulsänderungen: ∆⃗ p1 , ∆⃗ p2 Gesamtimpuls: ∆(⃗ p1 + p⃗2 ) = 0 Kraft auf Kugel 1: F⃗2→1 (t) Kraft auf Kugel 2: F⃗1→2 (t) 3. Newton’sches Prinzip: F⃗1→2 = −F⃗2→1 Nach dem Stoss Einzelimpulse: p⃗1′ = m1⃗v1′ , p⃗2′ = m2⃗v2′ Abbildung 3.1: Einfacher Stossprozess zweier Kugeln. Im vorliegenden Versuch kommt nur der erste Fall vor. Wir betrachten also einen Körper und untersuchen, wie sich sein Impuls unter der Wirkung der Kraft F⃗ (t) ändert. Kraft Fz (t) [N] Abbildung 3.2: Zeitlicher Verlauf eines Kraftstosses in z-Richtung. Mittlere Kraft Fz (t) [N] 0 t 0 t Zeit t [s] Stossdauer 3.2 In der Regel kennt man den zeitlichen Verlauf der Kraft F⃗ (t) nicht. Wir wollen annehmen, dass F⃗ nur während einer kurzen Zeit τ , der Stossdauer wirkt. Man spricht dann auch vom ⃗ S und es gilt: “Kraftstoss” K ∫ τ ⃗ F⃗ (t)dt (3.3) KS = ∆⃗ p= 0 Betrachten wir den zeitlichen Verlauf von Fz (t) (siehe Abbildung 3.2), dann ist die Fläche unter der Kurve gleich der Impulsänderung des Körpers, auf den während des Stosses die Kraft Fz (t) wirkt: ∫ τ ∆pz = Fz (t)dt (3.4) 0 Ausserdem wird die mittlere Kraft betrachtet: ∫ 1 τ F̄z = Fz (t)dt τ 0 (3.5) Die Rechteckfläche F̄z · τ ist so gleich der Fläche unter der Kurve Fz (t). 3.3 3.3.1 Sprung auf eine Platte Theorie Der Sprung aus der Höhe z0 auf eine Platte lässt sich in zwei Schritte zerlegen: 1. Freier Fall, bis die Füsse den Boden berühren. 2. Abbremsen, d. h. Stoss zwischen Platte und Springer. Aus der Energieerhaltung während des freien Falls erhält man die Geschwindigkeit v0 unmittelbar vor der Landung und nach Division durch die Erdbeschleunigung g die dazugehörige Fallzeit tF all : √ v0 tF all = (3.6) v0 = 2g(z0 − z1 ) g z N(t) G = mg Während des Stosses wirken die im nebenstehenden Bild gezeichneten Kräfte. Damit erhält man während des Stosses die Bewegungsgleichung: dpsz = masz = N (t) − mg (3.7) dt Eine Waage, (auch die im Experiment verwendete Platte) zeigt immer die Normalkraft N (t) an: N (t) = masz + mg Abbildung 3.3: Kräfte während des Stosses. (3.8) Am besten lässt sich der ganze Sprung mit Hilfe von graphischen Darstellungen beschreiben (siehe Abbildung 3.4). Aus der Höhe des Schwerpunktes zs (t), der Schwerpunktsgeschwindigkeit vsz (t) und der Schwerpunktsbeschleunigung asz (t) können wir Informationen über die wirkenden Kräfte bekommen. z1 = 0 ist Höhe des Schwerpunktes in Ruhestellung, z0 − z1 die Fallhöhe. 3.3 Für t ≤ t1 = 0 fällt der Springer frei, während des Zeitintervalls t1 ≤ t ≤ t2 wird der Aufprall (Stoss) abgefedert. Höhe zs [m] z0 0.2 0.1 0 Geschwindigkeit vsz [m/s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] 1 0 -1 -2 v0 Beschleunigung a sz [m/s2] 20 10 0 -g t1 t2 Abbildung 3.4: Höhe des Schwerpunkts, Schwerpunktsgeschwindigkeit und -beschleunigung beim Sprung auf eine Platte. Beim Absprung befinden sich die Füsse ca. 30 cm über der Platte, bei t = 0 treffen sie mit einer Geschwindigkeit von ca. 2.5 m/s auf die Platte auf. Der Springer federt den Sprung ab und nimmt eine Endposition mit leicht gebeugten Knien ein. Frage 1: Welche Form hat die Kurve zs (t) für t ≤ t1 ? Die Integration der Gleichung (3.7) liefert ∫ ∆psz = psz (t2 ) − psz (t1 ) = t2 (N − mg)dt (3.9) t1 wobei psz (t2 ) = 0 psz (t1 ) = −mv0 = −m √ (3.10) 2g(z0 − z1 ) Dieser Zusammenhang soll im Experiment überprüft werden. 3.4 (3.11) 3.3.2 Versuchsanordnung In den vier Ecken auf der Unterseite der Platte (Abbildung 3.6) befinden sich Piezokristalle. Bei einer Belastung der Platte werden die Kristalle zusammengedrückt und liefern elektrische Spannungssignale, welche proportional zur Deformation, bzw. zur Belastung sind (siehe Anhang). Normalkraft N(t) [mg] 3 2.5 2 Abbildung 3.5: Die aus der Schwerpunktsbeschleunigung beim Sprung auf eine Platte berechnete Normalkraft (in Einheiten des Gewichts). 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.2 0.4 t1 0.6 0.8 Zeit t [s] Die Signale der vier Kristalle werden addiert und im ladungsempfindlichen Verstärker verstärkt. Die Ausgangssignale werden mit dem Oszilloskop aufgezeichnet und können ausgedruckt werden. Die Bedienung von Verstärker, Oszilloskop (KO) und Drucker wird vom Assistenten erklärt und demonstriert. P= Piezokristall P P Ladung [C] P Verstärker Spannung [V] Drucker P Oszilloskop (KO) Messplattform Abbildung 3.6: Versuchsanordnung. 3.3.3 Vorgehen 1. KO und Verstärker einstellen 2. y-Ablenkung am KO auf 1 V/cm einstellen. 3. Durch Auflegen von Gewichten auf die Platte wird der Zusammenhang zwischen Spannung und Kraft überprüft. 4. Springen Sie aus ca. 50 cm Höhe auf die Platte. Landen Sie auf verschiedene Arten, hart oder weich. 5. Drucken Sie die Kurven für eine quantitative Auswertung aus. 3.5 3.3.4 Auswertung Für die Auswertung wird benützt, dass gemäss der Gleichungen (3.9)-(3.11) für die Impulsänderung ∆psz = −psz (t1 ) = mv0 gilt. Vom auf dem KO-Schirm aufgezeichneten Verlauf von N (t) (Abbildung 3.7), wird das Gewicht mg der Versuchsperson abgezogen (Abbildung 3.8). Die Summe der schraffierten Flächen entspricht dann der Impulsänderung mv0 . Beachten Sie bitte, dass die Kurven auf dem KO-Schirm nicht so schön glatt sein werden! Normalkraft N(t) [mg] 3 "Resultierende" Kraft N(t)-mg 2 [mg] 2.5 1.5 2 1 1.5 0.5 mg 0 0.5 -0.5 0 mg t1 t 2 Zeit t t1 t 2 Zeit t [s] [s] Abbildung 3.8: Gemessene Kurve, nachdem das Gewicht der Versuchsperson abgezogen worden ist. Abbildung 3.7: Mit dem Oszilloskop gemessene Kurve. Überprüfen Sie die Richtigkeit der Gleichung (3.9) anhand einer ausgedruckten Kurve und beantworten Sie folgende Fragen: Frage 2: Wie gross sind die Stosszeiten für harte und weiche Landungen? Frage 3: Wie gross sind die entsprechenden Maxima von N (t)? Frage 4: Vergleichen Sie qualitativ die Resultate der harten und der weichen Landung miteinander: Was ist gleich? Wo liegen die Unterschiede? 3.3.5 Weitere Kurven (qualitative Betrachtung) Skizzieren und erklären Sie für folgende Beispiele das Bild auf dem KO-Schirm: 1. Stellen Sie sich auf die Platte und machen Sie einige Kniebeugen. 2. Gehen Sie an Ort. 3. Stellen Sie die y-Ablenkung auf einen empfindlicheren Bereich und versuchen Sie, ganz ruhig auf der Platte zu stehen. 4. Wie 3) - atmen Sie jetzt aber tief ein und aus. 3.6 3.4 3.4.1 Anhang Piezokristalle Im Jahre 1880 entdeckten die Gebrüder Curie, dass bei gewissen Kristallen unter der Wirkung von Druck und Zug positive und negative Ladungen auf bestimmten Kristallflächen erscheinen. Man nennt dies den piezoelektrischen Effekt. Experimente zeigen, dass die Ladungsvorzeichen bei Vertauschung von Druck und Zug wechseln. Die Ladungsmenge ist der Grösse der mechanischen Belastung proportional. Der piezoelektrische Effekt kann an folgendem Modell erklärt werden: Ein Quarzkristall (SiO2 ) besteht aus schraubenförmig angeordneten Silizium- und Sauerstoffatomen. Die Siliziumatome sind positiv, die Sauerstoffatome negativ geladen. Wir betrachten zur Vereinfachung eine ebene Anordnung von sechs Atomen (Abbildung 3.9a). Wird auf einen Kristall in Richtung der X1 Achse ein Druck ausgeübt, so rückt das Si-Atom 1 zwischen die Sauerstoffatome 2 und 6, das Sauerstoffatom 4 zwischen die Si-Atome 5 und 3. Auf der Oberfläche A wird positive, auf der Oberfläche B negative Ladung entfernt (Abbildung 3.9b). Wird der Kristall in der X1 -Richtung gedehnt, so kehren sich die Vorzeichen der Ladungen auf den Flächen A und B um (Abbildung 3.9c). Dieselben Erscheinungen treten bei Belastungen in der X2 - und in der X3 - Richtung auf. Bei Druck oder Zug senkrecht zur dargestellten Ebene verschieben sich keine Ladungen. Der piezoelektrische Effekt hängt also von der Belastungsrichtung ab. Piezokristalle werden in Technik und Medizin häufig zu Druck- und Kraftmessungen verwendet. 1 X1 1 _ _ _ _ +_ _ _ _ A _ _ 2 6 + _2 _6 5 + X2 + _ 4 X 1 1 + + + ++ + + A X1 3 X3 6 _ _ 2 5 + + 3 _ ++++ ++++B 4 b) a) 5 + + 3 _ _ _ __ _ _ B 4 c) Abbildung 3.9: Der piezoelektrische Effekt – drei Si-Atome (grosse Kreise) und drei Sauerstoffatome (kleine Kreise) angeordnet in einer Ebene des Quartzkristalls: Linkes Bild a) Normalzustand, mittleres Bild b) bei Druckbelastung, rechtes Bild c) bei Zugbelastung. 3.4.2 Kraftsensor Die Ladungsmenge an den Kristallflächen ist proportional zur Kraft zwischen den Kanten. Für eine genaue Messung der Kraft darf also keine Ladung abfliessen. Deshalb muss der Kristall sehr sorgfältig elektrisch isoliert werden (Abbildung 3.10). Ausserdem muss das Messinstrument einen hohen Innenwiderstand haben. In technischen Anwendungen verwendet man speziell entwickelte Verstärker. Das zur Kraft F⃗ proportionale Ausgangssignal kann z.B. mit dem Oszilloskop aufgezeichnet werden (vgl. experimenteller Teil 3.3.4). 3.7 F _ + _ _ _ + _ _ Q Isolationen + + _ + + ++ Abbildung 3.10: Die experimentelle Anordnung beim piezoelektrischen Effekt. _ Bei geeigneter Anordnung der Kristalle können mit einer Messplatte neben der Vertikalkomponente der wirkenden Kräfte auch die Horizontalkomponenten und Drehmomente bezüglich einer vertikalen Achse gemessen werden. In der Biomechanik werden auf diese Art Bewegungsabläufe untersucht, z. B. der Start eines Schnelläufers oder eines Hochspringers, Bewegungen während einer Arbeit, die im Stehen ausgeführt wird, Gehen mit Schienen oder Prothesen usw. Wegen der hohen Empfindlichkeit ist es auch möglich, kleine Verschiebungen des Körperschwerpunktes und damit Gleichgewichtsstörungen (vgl. experimenteller Teil 3.3.5 Punkte 3. und 4.) festzustellen. 3.4.3 Ultraschall Wird an einen Piezokristall eine äussere elektrische Spannung angelegt, so treten Deformationen des Kristalls auf, die proportional zur Spannung sind. Handelt es sich um eine Wechselspannung, so schwingt der Kristall. Diese Schwingungen benützt man zur Ultraschallerzeugung. 3.8
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