数学と数学教育の歴史 数学科教育法 集中講義 石田 正典 東北大学理学部 2016 年 9 月 12 日 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 1 / 20 小倉金之助 小倉金之助 (1885 – 1962) : 1911 年の東北帝国大学理学部数学科創立時の助手で 数学教育史,数学教育の根本問題,数学史研究 などの著書がある. 著書のいくつかは国立国会図書館のホームページで公 開されている. (現在,著作権は著者の死後 50 年で切れるので公開 が可能である. ) 彼はユークリッド幾何の公理に基づく形式論理より, 直観と関数概念の重要性を述べている. 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 2 / 20 数学教育の根本問題 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 3 / 20 数学教育の根本問題 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 4 / 20 エジプト式分数展開 古代エジプトでは紀元前千年以前のパピルスに 1 1 1 1 2 = + + + 29 24 58 174 232 など多くの等式のリストが書かれている.相異なる単 位分数の和となっていることが特徴である. このような展開は 1 通りではない.現代でも,これに 関連した整数論の研究が多くある. 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 5 / 20 古代ギリシャの数学 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 6 / 20 ギリシャの三大作図問題 角の三等分 円と等しい面積の正方形 体積が 2 倍の立方体 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 7 / 20 平方根の作図 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 8 / 20 平方根の作図 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 9 / 20 ギリシャの数学者 紀元前 6 – 3 世紀 ピタゴラス ユークリッド(幾何学原論) アポロニウス(円錐曲線論) アルキメデス(円周率の計算) 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 10 / 20 平面幾何 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 11 / 20 平面幾何の小難問 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 12 / 20 円に内接する正 16 角形 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 13 / 20 円周率の近似値 半径 1 の円に内接する正 n 角形の面積を S n とすると S4 S8 S16 S32 S64 S128 S256 = = = = = = = 2 2.8284271247461900976033774484 3.0614674589207181738276798722 3.1214451522580522855725578956 3.1365484905459392638142580444 3.1403311569547529123171185243 3.1412772509327728680620197708 (S8 以降は近似値) 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 14 / 20 ヨーロッパの数学 17 – 18 世紀 フェルマーの予想 パスカルの三角形 デカルトの解析幾何学 ニュートン,ライプニッツの微積分学 史上最大の数学者オイラー 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 15 / 20 オイラーによる円周率の展開 π = 3.14159265358979323846264338327950 · · · オイラーによる円周率の展開の 1 つに次の式がある。 π 1 1·2 1·2·3 1·2·3·4 =1+ + + + + ··· 2 3 3·5 3·5·7 3·5·7·9 この級数展開は,すべての項が正で,各項と次の項の 関係が簡単という点で最も美しい。この式を使うと M+ のキーのある電卓で円周率が容易に計算できる。 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 16 / 20 近代数学 18 世紀末 – 19 世紀 ガウス アーベル ガロア ワイエルシュトラス リーマン もう誰を挙げるのが適当かわからないぐらい多い. 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 17 / 20 数学教育史 ユークリッドの原論に基づく公理的な平面幾何や立体 幾何が,20 世紀初頭まで日本を含む多くの国の数学の 教育に使われてきた. 近年は平面幾何は少なくなっていたが,新課程数学 A では以前より少し増えている. 先に紹介した小倉金之助の著書ではつぎのように書い ている. 「数学教育は形式陶冶を以て其の大なる目的として居 たのである.ここに形式陶冶とは,数学の教材を借り て精神能力そのものを陶冶せんとすることである. 」 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 18 / 20 文献 [1] 小倉金之助,数学教育の根本問題,イデア書院, 1924 [2] 小倉金之助,数学教育史,一つの文化形態に関する 歴史的研究,岩波書店,1933 [3] 小倉金之助,数学史研究 第 1 輯,岩波書店,1935 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 19 / 20 平面幾何の小難問の証明 石田 正典 (東北大学) 数学と数学教育 東北大学理学部 20 / 20
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