1
a を正の定数とし，放物線 y =
x2
を C1 とする．
4
(1) 点 P が C1 上を動くとき，P と点 Q $2a;
5
a2
¡ 2< の距離の
4
W
最小値を求めよ．
2
a2
+ 2< = 2a2 を C2
(2) Q を中心とする円 (x ¡ 2a)2 + $y ¡
4
とする．P が C1 上を動き，点 R が C2 上を動くとき，P と R
の距離の最小値を求めよ．
（ 東京工業大学 2016 ）
次のように媒介変数表示された xy 平面上の曲線を C とする：
x = 3 cos t ¡ cos 3t
y = 3 sin t ¡ sin 3t
¼
である．
2
dy
dx
(1)
および
を計算し，C の概形を図示せよ．
dt
dt
(2) C と x 軸と y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
ただし 0 5 t 5
（ 東京工業大学 2016 ）
2
4ABC を一辺の長さ 6 の正三角形とする．サイコロを 3 回振
り，出た目を順に X; Y; Z とする．出た目に応じて，点 P，
Q，R をそれぞれ線分 BC，CA，AB 上に
¡
!
X ¡!
BP =
BC;
6
¡!
Y ¡!
CQ =
CA;
6
¡!
Z ¡!
AR =
AB
6
6
数列 fan g を
a1 = 5;
をみたすように取る．
(1) 4PQR が正三角形になる確率を求めよ．
bn =
Q，P を互いに線分で結んでできる図形を T2 ，点 A，R，Q を
互いに線分で結んでできる図形を T3 とする．T1 ; T2 ; T3 の
(n = 1; 2; 3; Ý)
a1 + 2a2 + Ý + nan
1+2+Ý+n
(n = 1; 2; 3; Ý)
と定める．
うち，ちょうど 2 つが正三角形になる確率を求めよ．
る．m の値および S = m となる確率を求めよ．
4an ¡ 9
an ¡ 2
で定める．また数列 fbn g を
(2) 点 B，P，R を互いに線分で結んでできる図形を T1 ，点 C，
(3) 4PQR の面積を S とし ，S のとりうる値の最小値を m とす
an+1 =
(1) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(2) すべての n に対して，不等式 bn 5 3 +
4
が成り立つこ
n+1
とを示せ．
（ 東京工業大学 2016 ）
(3) 極限値 lim bn を求めよ．
n!1
（ 東京工業大学 2015 ）
3
水平な平面 ® の上に半径 r1 の球 S1 と半径 r2 の球 S2 が乗って
おり，S1 と S2 は外接している．
(1) S1 ; S2 が ® と接する点をそれぞれ P1 ，P2 とする．線分 P1 P2
の長さを求めよ．
(2) ® の上に乗っており，S1 と S2 の両方に外接している球すべ
てを考える．それらの球と ® の接点は，1 つの円の上または 1
7
四面体 OABC において，OA = OB = OC = BC = 1，
AB = AC = x とする．頂点 O から平面 ABC に垂線を下
ろし，平面 ABC との交点を H とする．頂点 A から平面 OBC
つの直線の上にあることを示せ．
に垂線を下ろし，平面 OBC との交点を H0 とする．
（ 東京工業大学 2016 ）
4
n を 2 以上の自然数とする．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡!
¡
!
¡
!
(1) OA = a ，OB = b ，OC = c とし，OH = p a + q b +
¡
! ¡¡!
¡
!
¡
!
r c ，OH0 = s b + t c と表す．このとき，p; q; r および
s; t を x の式で表せ．
(1) n が素数または 4 のとき，(n ¡ 1)! は n で割り切れないこと
(2) 四面体 OABC の体積 V を x の式で表せ．また，x が変化す
るときの V の最大値を求めよ．
を示せ．
(2) n が素数でなくかつ 4 でもないとき，(n ¡ 1)! は n で割り切
れることを示せ．
（ 東京工業大学 2016 ）
（ 東京工業大学 2015 ）

平成 28 年熊本地震に対する支援について