年 番号 1 袋の中に白と黒の石がそれぞれ 6 個ずつ入っている.まず A 君が袋の中から 3 個の石を同時に 3 氏名 6 人の学生 a,b,c,d,e,f がいて,学生は 3 つの部屋 X,Y,Z のいずれかの部屋に必ず入る. 取り出し ,新たに白の石 2 個と黒の石 1 個を袋にいれる.次に B 君が袋の中から 3 個の石を同 それぞれの部屋の最大収容人数は,X が 2 人,Y が 3 人,Z が 4 人である.X,Y,Z の部屋に 時に取り出し,新たに白の石 1 個と黒の石 2 個を袋にいれる. 入る人数を (x; y; z) と表す.例えば,X に 1 人,Y に 2 人,Z に 3 人が入るとき,(1; 2; 3) と表す.このとき,次の問いに答えよ. (1) 上記の試行において,A 君が 1 個の白の石と 2 個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ. (2) A 君と B 君による上記の試行の後に袋の中にある石について,白の石と黒の石が同数になる確 率を求めよ. (1) X を空き部屋とし,Y に 2 人,Z に 4 人入るときの,学生の入り方の場合の数を求めよ. (2) X が空き部屋のときの,可能な (0; y; z) の組をすべて求めよ.また,X が空き部屋のときの, 学生の入り方の場合の数を求めよ. (3) A 君と B 君による上記の試行の後に袋の中にある石について,白の石が黒の石より多くなる確 率を求めよ. (3) X に 1 人だけが入るときの,可能な (1; y; z) の組をすべて求めよ.また,X に 1 人だけが入 るときの,学生の入り方の場合の数を求めよ. ( 群馬大学 2016 ) (4) X が満室になり,かつ空き部屋がないときの,可能な (2; y; z) の組をすべて求めよ.また, X が満室になり,かつ空き部屋がないときの,学生の入り方の場合の数を求めよ. (5) a と b が一緒の部屋にならず,かつ空き部屋があるときの,学生の入り方の場合の数を求めよ. ( 立教大学 2016 ) 2 A,B の 2 チームが試合をくり返し 行い,先に 3 勝したチームを優勝とする.1 回の試合で A チームが勝つ確率は 2 1 ,B チームが勝つ確率は で,引き分けはないものとする.このとき, 3 3 次の問に答えよ. 4 数直線上の点 Q は,はじめは原点 x = 0 にあり,さいころを投げるたびに以下のルールに従っ て移動する.Q が x = a にあるとき, (1) 優勝が決まるまでに B チームが少なくとも 1 勝する確率を求めよ. ² 出た目が 1 ならば x = a にとど まる. (2) 3 試合目または 4 試合目で優勝が決まる確率を求めよ. ² 出た目が 2; 3 ならば x = a + 1 へ動く. (3) 1 試合目で A チームが勝ち,A チームが優勝する確率を求めよ. ² 出た目が 4; 5; 6 ならば x = 0 に戻る( a = 0 ならば動かない). ( 山形大学 2016 ) (1) 整数 a = 0 に対して,さいころを 3 回投げたとき,Q が x = a にある確率を求めよ. (2) さいころを n 回投げたとき,Q が x = 0 にある確率を求めよ. (3) さいころを n 回投げたとき,Q が x = 1 にある確率を求めよ. ( 千葉大学 2016 ) 5 7 a; b; c; d; e; f はすべて自然数とする( a > b > c > d > e > f ). A と B は,赤球 2 個と白球 1 個が入った袋をそれぞれ 1 つずつ持っている.次のような試行を 考える. a + f = b + e = c + d = 16 を満たす a; b; c; d; e; f の組 (a; b; c; d; e; f) の個数を N N とする. の値を求めよ. 7 A と B が,それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を 1 つ選び,色を見てからもとの 袋に戻す. ( 自治医科大学 2016 ) 上の試行を n (n = 2) 回繰り返したとき,n 回の試行の中で A と B が取り出した球の色が一致 することが少なくとも 1 回起こるが続けては起こらない確率を Pn とする.このとき,次の各問 に答えよ. (1) 1 回の試行で,A と B が取り出した球の色が一致する確率を求めよ. (2) P2 ; P3 を求めよ. (3) n = 4 のとき, 6 Pn = ある箱に 1 から 5 までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ 1 枚入っている.そこか ら 1 枚カード をひき,数字を確認してから元の箱に戻す.このような操作を繰り返したとき,k 20 5 ¢ 4n¡1 4 Pn¡1 + Pn¡2 + 9 81 9n が成り立つことを示せ. 回目に取り出したカード の数字を Ak とし, ( 宮崎大学 2016 ) Tn = n P k=1 Ak 8 とする.このとき,Tn が奇数となる確率を pn とする.次の問いに答えよ. (1) pn+1 を pn を用いて表せ. 1 から 5 の数字が書かれたカードが 1 枚ずつある.これらから 4 枚を選び,横 1 列に並べる.並 べられたカードに書かれた数字を左から順に a; b; c; d とおく.このとき,次の問に答えよ. (1) カード の並べ方の総数を求めよ. (2) 数列 fpn g の一般項を求めよ. (2) 次のルールのもとで,3 と 4 のカード を捨てる場合は何通りあるかを求めよ. (3) lim pn を求めよ. n!1 ( 高知大学 2016 ) ² a < b < c < d ならば,b と c のカード を捨てる. ² a < b < d < c ならば,b と d のカード を捨てる. ² b < a < c < d ならば,a と c のカード を捨てる. ² b < a < d < c ならば,a と d のカード を捨てる. ² その他は何も捨てない. (3) (2) のルールのもとで,何も捨てない確率を求めよ. ( 佐賀大学 2016 ) 9 サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う. (1) サイコロを 1 回だけ振ることができるときの得点の期待値 E1 を求めよ. (1) p3 ; q1 ; q2 ; q3 を求めよ. (2) pn と qn を求めよ. ( 琉球大学 2016 ) (2) サイコロを 2 回まで振ることができるとき,1 回目に m 以上の目が出たらそこでやめ,m より 小さい目が出たら 2 回目を振ることにする.このときの得点の期待値 E2 (m) を m を用いて表 し,E2 (m) が最大となる m を求めよ. (3) n を 2 以上の自然数,m1 ; Ý; mn¡1 を 6 以下の自然数とする.n 回までサイコロを振ることが できるとき,i 回目に mn¡i 以上の目が出たらそこでやめ,mn¡i より小さい目が出たら i + 1 回 目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし ,n 回サイコロを振ったらそこでやめる. このときの得点の期待値を En (m1 ; Ý; mn¡1 ) とする.以下の問いに答えよ. ‘ E3 (m1 ; m2 ) を E2 (m1 ),m2 を用いて表し ,E3 (m1 ; m2 ) が最大となる m1 ; m2 とその ときの E3 (m1 ; m2 ) の値を求めよ. 11 どの目も出る確率が 1 のさいころを 1 つ用意し,次のように左から順に文字を書く. 6 さいころを投げ,出た目が 1; 2; 3 のときは文字列 AA を書き,4 のときは文字 B を,5 のと きは文字 C を,6 のときは文字 D を書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って, AA,B,C,D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく. たとえば,さいころを 5 回投げ,その出た目が順に 2; 5; 6; 3; 4 であったとすると,得られ る文字列は, ’ n = 4 とする.En¡1 (m1 ; Ý; mn¡2 ) の最大値を en¡1 とすると,En (m1 ; Ý; mn¡1 ) が最 大となるのは,En¡1 (m1 ; Ý; mn¡2 ) が en¡1 となり,かつ mn¡1 が en¡1 以上の最小の自 AACDAAB 然数となるときである.このことを示せ. となる.このとき,左から 4 番目の文字は D,5 番目の文字は A である. ただし,得点が k となる確率を p(k) としたとき, (1) n を正の整数とする.n 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から n 番目の文字 p(1) + 2p(2) + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6) が A となる確率を求めよ. (2) n を 2 以上の整数とする.n 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から n ¡ 1 番目 を得点の期待値とよぶ. の文字が A で,かつ n 番目の文字が B となる確率を求めよ. ( お茶の水女子大学 2016 ) ( 東京大学 2015 ) 10 N を 3 以上の自然数とする. 1 から N までの数字が 1 つずつ書かれた N 枚のカード を袋に入れ, 「 無作為に 1 枚のカード を 取り出し ,そのカード を袋に戻さず次のカード を取り出す」という作業を 3 枚のカード を取り 出すまで繰り返す.取り出された 3 枚のカードに書かれた数の最大値を X とする. また,1 から N までの数字が 1 つずつ書かれた N 枚のカードを袋に入れ, 「 無作為に 1 枚のカー 12 ジョーカーを除く 1 組 52 枚のトランプのカード を 1 列に並べる試行を考える. (1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ. (2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い,4 枚連続しては並ばない確率を求めよ. ド を取り出してはそれに書かれた数を記録し ,袋に戻す」という作業を 3 回行い,記録された 数の最大値を Y とする. n を N 以下の自然数とする.X = n となる確率を pn とし,Y = n となる確率を qn とする. 次の問いに答えよ. ( 北海道大学 2015 )
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