年 番号
1
袋の中に白と黒の石がそれぞれ 6 個ずつ入っている．まず A 君が袋の中から 3 個の石を同時に
3
氏名
6 人の学生 a，b，c，d，e，f がいて，学生は 3 つの部屋 X，Y，Z のいずれかの部屋に必ず入る．
取り出し ，新たに白の石 2 個と黒の石 1 個を袋にいれる．次に B 君が袋の中から 3 個の石を同
それぞれの部屋の最大収容人数は，X が 2 人，Y が 3 人，Z が 4 人である．X，Y，Z の部屋に
時に取り出し，新たに白の石 1 個と黒の石 2 個を袋にいれる．
入る人数を (x; y; z) と表す．例えば，X に 1 人，Y に 2 人，Z に 3 人が入るとき，(1; 2; 3)
と表す．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 上記の試行において，A 君が 1 個の白の石と 2 個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ．
(2) A 君と B 君による上記の試行の後に袋の中にある石について，白の石と黒の石が同数になる確
率を求めよ．
(1) X を空き部屋とし，Y に 2 人，Z に 4 人入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(2) X が空き部屋のときの，可能な (0; y; z) の組をすべて求めよ．また，X が空き部屋のときの，
学生の入り方の場合の数を求めよ．
(3) A 君と B 君による上記の試行の後に袋の中にある石について，白の石が黒の石より多くなる確
率を求めよ．
(3) X に 1 人だけが入るときの，可能な (1; y; z) の組をすべて求めよ．また，X に 1 人だけが入
るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
（ 群馬大学 2016 ）
(4) X が満室になり，かつ空き部屋がないときの，可能な (2; y; z) の組をすべて求めよ．また，
X が満室になり，かつ空き部屋がないときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(5) a と b が一緒の部屋にならず，かつ空き部屋があるときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
（ 立教大学 2016 ）
2
A，B の 2 チームが試合をくり返し 行い，先に 3 勝したチームを優勝とする．1 回の試合で A
チームが勝つ確率は
2
1
，B チームが勝つ確率は
で，引き分けはないものとする．このとき，
3
3
次の問に答えよ．
4
数直線上の点 Q は，はじめは原点 x = 0 にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従っ
て移動する．Q が x = a にあるとき，
(1) 優勝が決まるまでに B チームが少なくとも 1 勝する確率を求めよ．
² 出た目が 1 ならば x = a にとど まる．
(2) 3 試合目または 4 試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
² 出た目が 2; 3 ならば x = a + 1 へ動く．
(3) 1 試合目で A チームが勝ち，A チームが優勝する確率を求めよ．
² 出た目が 4; 5; 6 ならば x = 0 に戻る（ a = 0 ならば動かない）．
（ 山形大学 2016 ）
(1) 整数 a = 0 に対して，さいころを 3 回投げたとき，Q が x = a にある確率を求めよ．
(2) さいころを n 回投げたとき，Q が x = 0 にある確率を求めよ．
(3) さいころを n 回投げたとき，Q が x = 1 にある確率を求めよ．
（ 千葉大学 2016 ）
5
7
a; b; c; d; e; f はすべて自然数とする（ a > b > c > d > e > f ）．
A と B は，赤球 2 個と白球 1 個が入った袋をそれぞれ 1 つずつ持っている．次のような試行を
考える．
a + f = b + e = c + d = 16 を満たす a; b; c; d; e; f の組 (a; b; c; d; e; f) の個数を
N
N とする．
の値を求めよ．
7
A と B が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を 1 つ選び，色を見てからもとの
袋に戻す．
（ 自治医科大学 2016 ）
上の試行を n (n = 2) 回繰り返したとき，n 回の試行の中で A と B が取り出した球の色が一致
することが少なくとも 1 回起こるが続けては起こらない確率を Pn とする．このとき，次の各問
に答えよ．
(1) 1 回の試行で，A と B が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2) P2 ; P3 を求めよ．
(3) n = 4 のとき，
6
Pn =
ある箱に 1 から 5 までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ 1 枚入っている．そこか
ら 1 枚カード をひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，k
20
5 ¢ 4n¡1
4
Pn¡1 +
Pn¡2 +
9
81
9n
が成り立つことを示せ．
回目に取り出したカード の数字を Ak とし，
（ 宮崎大学 2016 ）
Tn =
n
P
k=1
Ak
8
とする．このとき，Tn が奇数となる確率を pn とする．次の問いに答えよ．
(1) pn+1 を pn を用いて表せ．
1 から 5 の数字が書かれたカードが 1 枚ずつある．これらから 4 枚を選び，横 1 列に並べる．並
べられたカードに書かれた数字を左から順に a; b; c; d とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1) カード の並べ方の総数を求めよ．
(2) 数列 fpn g の一般項を求めよ．
(2) 次のルールのもとで，3 と 4 のカード を捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
(3) lim pn を求めよ．
n!1
（ 高知大学 2016 ）
² a < b < c < d ならば，b と c のカード を捨てる．
² a < b < d < c ならば，b と d のカード を捨てる．
² b < a < c < d ならば，a と c のカード を捨てる．
² b < a < d < c ならば，a と d のカード を捨てる．
² その他は何も捨てない．
(3) (2) のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
（ 佐賀大学 2016 ）
9
サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1) サイコロを 1 回だけ振ることができるときの得点の期待値 E1 を求めよ．
(1) p3 ; q1 ; q2 ; q3 を求めよ．
(2) pn と qn を求めよ．
（ 琉球大学 2016 ）
(2) サイコロを 2 回まで振ることができるとき，1 回目に m 以上の目が出たらそこでやめ，m より
小さい目が出たら 2 回目を振ることにする．このときの得点の期待値 E2 (m) を m を用いて表
し，E2 (m) が最大となる m を求めよ．
(3) n を 2 以上の自然数，m1 ; Ý; mn¡1 を 6 以下の自然数とする．n 回までサイコロを振ることが
できるとき，i 回目に mn¡i 以上の目が出たらそこでやめ，mn¡i より小さい目が出たら i + 1 回
目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし ，n 回サイコロを振ったらそこでやめる．
このときの得点の期待値を En (m1 ; Ý; mn¡1 ) とする．以下の問いに答えよ．
‘ E3 (m1 ; m2 ) を E2 (m1 )，m2 を用いて表し ，E3 (m1 ; m2 ) が最大となる m1 ; m2 とその
ときの E3 (m1 ; m2 ) の値を求めよ．
11 どの目も出る確率が
1
のさいころを 1 つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
6
さいころを投げ，出た目が 1; 2; 3 のときは文字列 AA を書き，4 のときは文字 B を，5 のと
きは文字 C を，6 のときは文字 D を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，
AA，B，C，D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを 5 回投げ，その出た目が順に 2; 5; 6; 3; 4 であったとすると，得られ
る文字列は，
’ n = 4 とする．En¡1 (m1 ; Ý; mn¡2 ) の最大値を en¡1 とすると，En (m1 ; Ý; mn¡1 ) が最
大となるのは，En¡1 (m1 ; Ý; mn¡2 ) が en¡1 となり，かつ mn¡1 が en¡1 以上の最小の自
AACDAAB
然数となるときである．このことを示せ．
となる．このとき，左から 4 番目の文字は D，5 番目の文字は A である．
ただし，得点が k となる確率を p(k) としたとき，
(1) n を正の整数とする．n 回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から n 番目の文字
p(1) + 2p(2) + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6)
が A となる確率を求めよ．
(2) n を 2 以上の整数とする．n 回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から n ¡ 1 番目
を得点の期待値とよぶ．
の文字が A で，かつ n 番目の文字が B となる確率を求めよ．
（ お茶の水女子大学 2016 ）
（ 東京大学 2015 ）
10 N を 3 以上の自然数とする．
1 から N までの数字が 1 つずつ書かれた N 枚のカード を袋に入れ，
「 無作為に 1 枚のカード を
取り出し ，そのカード を袋に戻さず次のカード を取り出す」という作業を 3 枚のカード を取り
出すまで繰り返す．取り出された 3 枚のカードに書かれた数の最大値を X とする．
また，1 から N までの数字が 1 つずつ書かれた N 枚のカードを袋に入れ，
「 無作為に 1 枚のカー
12 ジョーカーを除く 1 組 52 枚のトランプのカード を 1 列に並べる試行を考える．
(1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ．
(2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い，4 枚連続しては並ばない確率を求めよ．
ド を取り出してはそれに書かれた数を記録し ，袋に戻す」という作業を 3 回行い，記録された
数の最大値を Y とする．
n を N 以下の自然数とする．X = n となる確率を pn とし，Y = n となる確率を qn とする．
次の問いに答えよ．
（ 北海道大学 2015 ）

平成28年熊本地震における被災者・被災地の支援について

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