12. Ergänzung - Daniel Benker

Ergänzungen 12 (Mathematik f. Biologen, LMU) von Daniel Benker
Lösen von homogenen Differentialgleichungen erster Ordnung
Der leichteste Typ von Differentialgleichungen ist der, in der eine Trennung de
Variablen möglich ist. Zum Beispiel
dx
= −0,5 x + t 2 x
dt
Dass man hier die Variablen x und t trennen kann sieht man nicht sofort.
Allerdings kann man auf der rechten Seite der Gleichung x ausklammern:
dx
= x (−0,5 + t 2 )
dt
Und nun:
dx
= (−0,5 + t 2 )dt
x
Jetzt kann man auf beiden Seiten integrieren:
x1
t
dx 1
2
∫x x = t∫ (−0,5 + t )dt
0
0
1
1
ln( x1 ) − ln( x 0 ) = −0,5t1 + t13 + 0,5t 0 − t 03
3
3
Und schließlich nach x auflösen:
1
1
ln( x1 ) = −0,5t1 + t13 + 0,5t 0 − t 03 + ln( x0 )
3
3
Und wegen x1 = x(t)
x (t ) = e
1
1
− 0 , 5 t1 + t13 + 0 , 5 t0 − t 03 + ln( x0 )
3
3
x (t ) = x0 e
1
1
−0 , 5 t1 + t13 + 0 , 5t0 − t03
3
3

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