Ergebnisse zur Klausur v. WiSe 2015/16

Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
PD Dr. Stefan Klößner
Kompaktlösung der Klausur zur Vorlesung
Ökonometrie WS 2015/16
Aufgabe 3
(a) Modell in formaler Schreibweise:
error 6i = β0 + β1 error 1i + β2 dummy T1i + β3 dummy T2i + ui
error 6 wird erklärt mit Hilfe von error 1 sowie den Dummy-Variablen dummy T1 und
dummy T2.
Der vollständige Regressionsoutput ist gegeben durch:
Call:
lm(formula = error_6 ~ error_1 + dummy_T1 + dummy_T2)
Residuals:
Min
1Q
-35.95276 -4.98730
Median
-0.98730
3Q
4.41591
Max
43.32093
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 4.5962704 0.4376138 10.50303 < 2e-16 ***
error_1
0.5413983 0.0162393 33.33882 < 2e-16 ***
dummy_T1
-0.7745666 0.5857151 -1.32243 0.18624
dummy_T2
0.2380320 0.5856182 0.40646 0.68446
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 8.9697 on 1404 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.443595,Adjusted R-squared: 0.442406
F-statistic: 373.114 on 3 and 1404 DF, p-value: < 2.22e-16
(b) Die Anzahl der Daten beträgt 1408.
Positiv signifikant zu α = 0.1: β0 und β1
Negativ signifikant zu α = 0.1: β2
(c) Perfekte Multikollinearität: Absolutglied lässt sich als Linearkombination der drei Regressoren darstellen.
(d) t-Test:
Hypothesen: H0 : βerror 1 ≤ 0.5
vs.
H1 : βerror 1 > 0.5
Teststatistik:
t=
βberror 1 − 0.5 H0
∼ t1404
σ
bβberror 1
t=
0.54140 − 0.5
= 2.54927
0.01624
kritischer Bereich: K = (t1404,0.95 , ∞) = (1.64594, ∞)
Entscheidung: t ∈ K ⇒
Der Test kommt zu der Entscheidung, dass die in der Aufgabenstellung postulierte Hypothese gültig ist, sprich H1 angenommen werden sollte.
(e) F-Test (Nested Models):
Hypothesen:
H0 :βI(error 1
* dummy T1)
= 0 ∧ βI(error 1
* dummy T2)
=0
* dummy T1)
6= 0 ∨ βI(error 1
* dummy T2)
6= 0
vs.
H1 :βI(error 1
Teststatistik:
F =
(R2 − R02 )/L
H0
∼
F2,1402
2
(1 − R )/(n − (k + 1))
F =
(0.45755 − 0.44360)/2
= 18.03889
(1 − 0.45755)/1402
kritischer Bereich: K = (F2,1402,0.95 , ∞) = (3.00214, ∞)
Entscheidung: t ∈ K ⇒
Der Test kommt zu der Entscheidung, dass die in der Aufgabenstellung postulierte Hypothese gültig ist, sprich H1 angenommen werden sollte.
(f) Geschätzter Zusammenhang zwischen Anfangs- und End-Schätzfehler:
T 1 : error 6 = 4.66995 + 0.48908 · error 1
T 2 : error 6 = 7.00717 + 0.41883 · error 1
T 3 : error 6 = 2.98195 + 0.63574 · error 1
(g) Aufgrund des Ergebnisses aus (e) ist zu erwarten, dass die Nullhypothese (kein Strukturbruch) abgelehnt wird.
(h) F-Test (Chow-Test):
Hypothesen:
H0 :β(Intercept),Zentrum = β(Intercept),Non-Zentrum ∧ βerror 1,Zentrum = βerror 1,Non-Zentrum ∧
βdummy T1,Zentrum = βdummy T1,Non-Zentrum ∧ βdummy T2,Zentrum = βdummy T2,Non-Zentrum ∧
βI(error 1
* dummy T1),Zentrum
= βI(error 1
* dummy T1),Non-Zentrum
βI(error 1
* dummy T2),Zentrum
= βI(error 1
* dummy T2),Non-Zentrum
∧
vs.
H1 :β(Intercept),Zentrum 6= β(Intercept),Non-Zentrum ∨ βerror 1,Zentrum 6= βerror 1,Non-Zentrum ∨
βdummy T1,Zentrum 6= βdummy T1,Non-Zentrum ∨ βdummy T2,Zentrum 6= βdummy T2,Non-Zentrum ∨
βI(error 1
* dummy T1),Zentrum
6= βI(error 1
* dummy T1),Non-Zentrum
βI(error 1
* dummy T2),Zentrum
6= βI(error 1
* dummy T2),Non-Zentrum
∨
Teststatistik:
F =
(RSS0 − (RSSZentrum + RSSNon-Zentrum ))/L
H0
∼
F6,1396
(RSSZentrum + RSSNon-Zentrum ))/((NZentrum + NNon-Zentrum ) − 2 ∗ (k + 1))
F =
(110125.26727 − 108954.88111)/6
= 2.49929
108954.88111/1396
kritischer Bereich: K = (F6,1396,0.95 , ∞) = (2.10507, ∞)
Entscheidung: t ∈ K ⇒
Der Test kommt zu der Entscheidung, dass ein Strukturbruch zwischen beiden Subpopulationen vorliegt, sprich H1 angenommen werden sollte.
Aufgabe 4
(a) Der vollständige Regressionsoutput ist gegeben durch:
Call:
lm(formula = error_6 ~ error_1, subset = which(zentrum == 1 &
dummy_T1 == 1))
Residuals:
Min
1Q Median
-23.64 -4.00 -1.62
3Q
3.97
Max
19.05
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)
3.0003
1.1740
2.56
0.012 *
error_1
0.7248
0.0724
10.00 4.5e-16 ***
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 7 on 86 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.538,Adjusted R-squared: 0.533
F-statistic: 100 on 1 and 86 DF, p-value: 4.45e-16
(b) Der Breusch-Pagan-Test untersucht, ob heteroskedastische Störgrößen vorliegen.
In diesem Fall kann von Heteroskedastie ausgegangen werden.
(c) Die wesentlich höhere Standardabweichung von error 1 im Vergleich zu dem Modell aus
Aufgabteil (a) und die großen p-Werten für die Regressoren sind Zeichen für imperfekte
Multikollinearität.
(d) Es kann nun von homoskedastischen Störgrößen ausgegangen werden.
(e) Unter Verwendung des adjustierten Bestimmtheitsmaßes R2 kommt man zu dem Ergebnis,
dass das beste Modell in Aufgabenteil (e) zu finden ist.
(f)
x0 =
1 10 0 0 0 0 0 0 0
x00 β = 8.30331
σ
be0 = 6.98318
σ
beE = 1.90801
Prognoseintervall für y0 geg. x0 :
[−5.59636, 22.20298]
Prognoseintervall für E(y0 ) geg. x0 :
[4.50551, 12.10111]
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