Poncelet`s Theorem in finite projective planes - ETH E

Diss. ETH No. 23366
Poncelet’s Theorem in finite
projective planes and beyond
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
Katharina Kusejko
MSc Math. ETH Zurich
born on 01.10.1989
citizen of Austria
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Norbert Hungerbühler, advisor
Prof. Dr. Alexander Pott, co-advisor
2016
Zusammenfassung
Die vorliegende Dissertation handelt von Kegelschnitten in endlichen projektiven
Ebenen sowie von Kreisketten in endlichen Möbiusebenen. Die Hauptresultate wurden bereits in [22], [23], [26] und [24] veröffentlicht.
Ein besonderer Fokus liegt auf dem Schließungssatz des französischen Mathematikers
Jean-Victor Poncelet, der 1813 für Kegelschnitte in der reellen projektiven Ebene
eine interessante Beobachtung zu Polygonzügen, dessen Kanten tangential zu einem
Kegelschnitt sind und dessen Ecken auf einem anderen Kegelschnitt liegen, formalisiert und bewiesen hat. Dieses klassische Resultat, welches zu Beginn der These
im Detail erklärt wird, wurde in den letzten 200 Jahren wiederholt in verschiedenen
Teilgebieten der Mathematik - unter anderem in der Analysis, der Geometrie und
der Theorie elliptischer Kurven - aufgegriffen.
Endliche projektive Ebenen, welche über einem endlichen Körper definiert werden,
erfüllen eine endliche Version des Poncelet’schen Satzes. Diese Tatsache wird in mehreren Kapiteln mit Hilfe unterschiedlicher Techniken, darunter kombinatorische, synthetische und algebraische Methoden, bewiesen. Im Falle jener Ebenen, welche nicht
über endlichen Körpern konstruiert werden, ist die Poncelet’sche Schließungseigenschaft nicht zwangsläufig gegeben. Dies wird anhand endlicher projektiver Ebenen
der Ordnung 9 im Detail erläutert. Weiterführende Fragen zum Schließungssatz von
Poncelet, wie etwa ein Poncelet’sches Schließungskriterium, werden für Spezialfälle
von Kegelschnittpaaren betrachtet. Dies liefert unter anderem einen neuen Zugang
zu trigonometrischen Identitäten in endlichen projektiven Ebenen, für welche ein
geometrischer Zugang zur Trigonometrie a priori nicht gegeben ist. Im Vordergrund
des behandelten Spezialfalles stehen Kegelschnitte in Diagonalform, was in der Folge
Fragen zur Diagonalisierbarkeit von Kegelschnittpaaren im Endlichen aufwirft. Mit
Hilfe kombinatorischer Überlegungen werden Bedingungen für die Diagonalisierbarkeit präsentiert und Unterschiede zum reellen Fall erklärt.
Eine dem Poncelet’schen Satz verwandte Aussage ist jene des Schweizer Mathematikers Jakob Steiner, welche von Ketten sich berührender Kreise handelt. Hier wird
eine analoge Aussage für Steiner-Ketten in endlichen Möbiusebenen, welche über
endlichen Körpern konstruiert werden, im Detail studiert. Ähnlich wie im Satz von
Poncelet führen auch hier die Berechnungen eines Schließungskriteriums für Kreisketten zu einer Interpretation trigonometrischer Identitäten in endlichen Ebenen.
Durchgehend werden die jeweiligen Eigenschaften reeller und endlicher Ebenen verglichen, und vor allem erstaunliche Parallelen und kontraintuitive Unterschiede hervorgehoben.
Abstract
This dissertation is mainly about conics in finite projective planes and chains of
circles in finite Möbius planes. The main results are already published in [22], [23],
[26] and [24].
A particular focus lies on Poncelet’s Theorem, a famous result by the French mathematician Jean-Victor Poncelet. In 1813, he made an interesting observation about
two conics in the real projective plane and a polygonal chain with vertices on one
conic and the edges tangent to the other conic. This classical result, which is discussed in detail at the beginning of the thesis, was studied repeatedly in the last
200 years in various areas of mathematics - such as analysis, geometry and in the
theory of elliptic curves.
Finite projective planes defined over a finite field satisfy a finite version of Poncelet’s Theorem. This is proven in several chapters of this thesis by using different
mathematical tools, such as combinatorial, synthetic and algebraic methods. In the
case of finite projective planes not defined over finite fields, the finite version of
Poncelet’s Theorem is proven to be wrong. This is shown by examining the finite
projective planes of order 9. Further questions related to Poncelet’s Theorem, such
as a criterion for a polygonal chain to close up, are discussed for special cases of
conics. This leads to a new approach of trigonometric identities in finite projective
planes, for which a geometric interpretation of trigonometry is a priori not given.
A particular focus lies on conics in diagonal form and therefore questions about the
diagonalisation of conics in finite projective planes are discussed. Conditions on
the simultaneous diagonalisation of conic pairs are presented by using combinatorial
methods. These conditions are then compared to the real case.
A result related to Poncelet’s Theorem deals with chains of touching circles and is
due to the Swiss mathematician Jacob Steiner. In this dissertation, we discuss a
similar statement for Steiner chains in finite Möbius planes constructed over finite
fields. Again, by investigating a criterion for the chain of circles to close, we get an
interpretation of trigonometric identities in finite Möbius planes.
Throughout, the properties of real and finite planes are compared, with an emphasis
on surprising parallels and counter-intuitive differences.

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