Sachrechnen/Größen WS 14/15- 1.5 Modellieren Maximilian Geier – Institut für Mathematik, Landau – Universität Koblenz-Landau Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellieren & Sachrechnen - werden mal als Gegensätze - mal als mehr oder weniger identisch - und mal wird Modellieren als Teil des Sachrechnens wahrgenommen „gegensätzlich“–Sicht: Mathematische Inhalte bestimmen Entwicklung der Aufgaben. So entstehen eingekleidete Aufgaben. Das ist Sachrechnen Modellieren ist… wenn man umgekehrt vorgeht: Ein Problem in der Realität soll mit mathematischen Methoden gelöst werden Griesel definiert: Modellieren ist die Tätigkeit, durch die ein mathematisches Modell zu einem Anwendungsproblem aufgestellt und bearbeitet wird 2 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Definitionen Greefrath: Modellbildung oder Modellieren ist die Bearbeitung von – in der Regel außermathematischen – Fragestellungen durch die Einbettung in innermathematische Kontexte Griesel: Modellieren ist die Tätigkeit, durch die ein mathematisches Modell zu einem Anwendungsproblem aufgestellt und bearbeitet wird Schipper: Im Sinne des Modellierens dienen Sachaufgaben nicht mehr nur der Förderung der Rechenfähigkeit, auch nicht mehr nur der Umwelterschließung durch ihre rechnerische Durchdringung. Im Mittelpunkt der unterrichtlichen Bemühungen steht vielmehr der Prozess der Lösung von Problemaufgaben. 3 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Fermi-Aufgaben 4 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Fermi-Aufgaben • nach Enrico Fermi (1901-1954, Kernphysiker, Nobelpreisträger) • Aufgabe: Abschätzung für ein Problem, zu dem zunächst praktisch keine Daten verfügbar • sie beschreiben realitätsnahe Sachprobleme, sind offen und erscheinen auf den ersten Blick manchmal unlösbar • Fermi-Aufgaben fördern neben Schätz-Kompetenzen auch Modellierungskompetenzen und zielen auf Umwelterschließung Umwelt • Schüler setzen sich mit einer Sache auseinander und nutzen dabei Mathematik als Werkzeug • Ziel: Umwelterschließung 5 Mathematik Individuum Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Fermi-Aufgaben Wie viele Klavierstimmer gib es in Chicago? Annahmen: • Ungefähr 3 Millionen Leute leben in Chicago • Ungefähr zwei Personen leben durchschnittlich in einem Haushalt • Ungefähr in jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier • Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt • Es dauert etwa zwei Stunden, ein Klavier zu stimmen, inklusive Fahrzeit • Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und arbeitet 40 Wochen pro Jahr Daraus folgt: • 75.000mal muss in Chicago pro Jahr ein Klavier gestimmt werden • Ein Klavierstimmer kann 800 Klaviere pro Jahr stimmen • Es müsste es etwa 100 Klavierstimmer in Chicago geben 6 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Was ist ein Mathematisches Modell? Verschiedene Definitionen isolierte Wirklichkeit …ein vereinfachtes Bild eines Teils der Welt. Dazu wird der zu betrachtende Teil der Wirklichkeit isoliert und seine Verbindungen zur Welt kontrolliert. (Leuders&Maaß,2005) Vereinfachung …eine vereinfachende, nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigende Darstellung der Realität. (Henn&Maaß,2003) Anwendung von Mathematik Entsprechung …eine Darstellung eines Sachverhaltes, auf die mathematische Methoden angewandt werden können, um ein mathematisches Resultat zu erhalten. (Zais&Grund,1991) …jede vollständige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen, die darauf ausgelegt ist… seinem Prototyp zu entsprechen. Dieser Prototyp kann ein physikalisches, biologisches, soziales, psychologisches oder konzeptionelles Gebilde sein, vielleicht sogar ein anderes 7 mathematisches Modell. (Davis&Hersh,1986) Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Was ist ein Mathematisches Modell? • es ersetzt ein anderes, weniger gut beherrschbares System - wesentliche Strukturen bleiben erhalten und werden verdeutlicht • es ist zu einer Situation ist niemals eindeutig - verschiedene Ausschnitte je nach Fragestellung/Problem - unterschiedliche Modellierende - Einfluss von Aufwand, Mittel, Effizienz • es ist nur begrenzt wahrheitsgetreu - denn die komplexe Realität kann nicht vollständig übertragen werden - diese Eingrenzung ist aber auch erwünscht 8 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Blum unterscheidet vier Phasen des Modellbildungsprozesses: 1) Reale Situation 2) Reales Modell 3) Mathematisches Modell 4) Mathematisches Resultat Diese finden sich in allen Modellkreisläufen wieder 9 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen 10 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen Prismavolumen Formel → Lösung 11 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen des Sandes Realität Mathematik Formel → Lösung Prismavolumen 12 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Reale Situation Reales Modell Realität Mathematik Mathematisches Resultat Mathematisches Modell 13 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Eine Übersicht über verschiedene Modellkreisläufe finden Sie in G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe, 2010 14 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Empirische Ergebnisse zum theoretischen Modell Borromeo-Ferri beschreibt das Situationsmodell als mentale Repräsentation der Situation: - Vereinfachung - individuelle Präferenz (eine empirisch gefundene Phase) Empirisch gewonnene Daten ergänzen und bestätigen theoretische Ergebnisse es wurde auch gezeigt: - es wird zwischen verschiedenen Phasen gesprungen (ohne Rücksicht auf den Kreislauf) - eine klare Trennung zwischen Realmodell und Mathematischem Modell ist schwierig 15 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Modellkreislauf Modellbildung beim Sachrechnen bei Franke& Schipper (2001) 16 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Modellieren ist eine allgemeine Kompetenz, die in den Bildungsstandards genannt wird. 17 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Modellieren ist eine allgemeine Kompetenz, die in den Bildungsstandards genannt wird. Andererseits ist Modellierung ein komplexer Vorgang, deshalb: Betrachtung von Teilkompetenzen Begriffsklärung: Zwischenschritte: Zustände (Situation, Modelle, Resultate) Teilprozesse: Prozesse, die beim Übergang von einem Zwischenschritt zum nächsten ablaufen Teilkompetenzen: Kompetenzen zur Bewältigung von Teilprozessen 18 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Schülerverhalten Teilkompetenz trennt wichtige und unwichtige Informationen einer Realsituation Vereinfachen übersetzt Realsituation in z.B. Term, Gleichung, Diagramm etc… Mathematisieren Arbeitet mit Term, Gleichung, Diagramm etc… Rechnen Bezieht im Modell gewonnene Informationen auf die Realsituation Interpretieren Überprüft die im Modell gewonnenen Informationen an der Realsituation / vergleicht und bewertet verschiedene math. Modelle für die Realsituation Validieren Beurteilt kritisch das verwendete math. Modell Beurteilen Ordnet einem math. Modell eine passende Realsituation zu Realisieren 19 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Mathematisieren Mathematische Modelle beim Sachrechnen • • • • • • Rechenaufgaben/Gleichungen Skizzen Tabellen sonstige Diagramme grafische Darstellungen einzelne Zahlen oder Zahlen in einer bestimmten Anordnung 20 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Realisieren 2x + y = 1000 -x/3 yy == ½ x 21 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Realisieren 22 Sachrechnen/Größen WS 14/151.5 Modellieren Teilkompetenzen des Modellierens Lösung Rechnen Mathematisieren Mathematik Realität Modell Realisieren Vereinfachen Interpretieren Validieren Beurteilen Situation Modell 23
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