センター試験 de 確率演習（75KB）

センター試験 de 確率演習
確率は初等的で易しいとされていますが，言い方を換え
ると，こうやれば必ず解けるという明確な解法(理論体系)
がないことを意味します。そのため，目新しい問題に対して
その場で何とかする学力がつねに問われることになります。
そこで，そうした状況に対処する感覚を養うために，旧課
程時代のセンター試験の確率問題を精選して，演習ファイル
を作成しました。センター試験の問題を対象に選んだのは，技
巧が通用しない素朴な設定の問題であることがその理由です。
また，旧課程時代のものにしたのは，２次試験対策に通じる
ボリュームを有していることと，現時点でのセンター試験対
策の邪魔にならないようにするためです。
問題は，数え上げタイプのものから演算タイプのものへ，
軽めのものから重ためのものへ，という順に並べてあります。
うまく活用して，実際に役立つ学力をつけて下さい。
センター試験 de 確率演習
1
袋の中に，1 から 6 までの数字が書いてある球が，2 個ずつ合計 12 個ある。
この中から 3 個の球を同時に取り出す。取り出した球の数字について考える。
(1) 三つの数の和が 5 である確率は
サ
である。
シス
(2) 三つの数のうち最も大きい数が 4 である確率は
(3) 三つの数の積が偶数である確率は
チツ
セ
である。
ソタ
である。
テト
(92 年本試〔 2 〕)
— 1 —
センター試験 de 確率演習
2
1 から 25 までの整数がひとつずつ書いてあるカードが 25 枚ある。これをよく
きって，1 枚ずつ 2 回ぬきとる。最初にぬきとったカードをもとに戻してよくきっ
てから次のカードをぬきとる場合を戻す場合といい，最初のカードを戻さず
に次のカードをぬきとる場合を戻さない場合ということにする。
最初にぬいたカードにかいてある整数を a とし，次にぬいたカードに書いてあ
る整数を b とする。
(1) 戻す場合， a + b = 9 となる確率は
ア
である。
イウエ
オ
(2) 戻さない場合， a + b = 9 となる確率は
ク
(3) 戻す場合， 550 < ab < 600 となる確率は
タチツ
である。
ケコサ
(4) 戻さない場合， 550 < ab < 600 となる確率は
(5) 戻す場合， a < 2b となる確率は
である。
カキ
シ
である。
スセソ
である。
テトナ
(6) 戻さない場合， a < 2b となる確率は
ニヌ
である。
ネノ
(96 年本試)
— 2 —
センター試験 de 確率演習
3
(1) 2 個のさいころを振って出た目の数の積について，一の位の数が n である
確率を考える。これは n = 5 のとき
n=
カ
ア
イウ
, n = 8 のとき
エ
オ
,
のとき 0 である。
(2) 3 個のさいころを振って出た目の数の積が 24 となる確率は
コサ
ある。また， 3 で割り切れる確率は
キ
で
クケ
である。
シス
(3) 4 個のさいころを振って出た目の数の積が素数となる確率は
である。また， 4 で割り切れる確率は
ツテ
セ
ソタチ
である。
トナ
(93 年追試)
— 3 —
センター試験 de 確率演習
4
スイッチを入れると赤色または青色で点滅する電灯がある。最初の発色が赤
1
1
, 青である確率も
とする。 2 回目以降は，赤色につづい
である確率は
2
2
1
2
て赤に発色する確率は
, 青に発色する確率は
, また青色につづいて赤
3
3
3
2
に発色する確率は
であるとする。
, 青に発色する確率は
5
5
(1) 2 回目の発色が赤である確率は
ア
である。
イウ
(2) 3 回発色するとき，赤が 1 回，青が 2 回である確率は
(3) 5 回発色するとき，二つの色が交互に発色する確率は
エオ
である。
カキ
ク
である。
ケコ
(92 年本試〔 1 〕)
— 4 —
センター試験 de 確率演習
5
赤い玉，白い玉，青い玉がそれぞれ 3 個ずつ入った袋がある。
赤い玉には 1 , 1 , 2 , 白い玉には 1 , 2 , 2 , 青い玉には 2 , 2 , 2 という
数字がそれぞれ一つずつ書いてある。
この袋の中から玉を 1 個ずつ 3 回取り出すことを考える。ただし，赤い玉を取
り出したときは袋の中に戻し，白い玉と青い玉のときには戻さないことにする。
(1) 3 回とも赤い玉を取り出す確率は
3 回とも青い玉を取り出す確率は
ア
である。
イウ
エ
である。
オカ
取り出した玉の色が赤，青，青の順になる確率は
キ
である。
クケ
取り出した玉の色が青，青，赤の順になる確率は
コ
である。
サシ
(2) 2 回目に取り出した玉に書いてある数字が 1 である確率は
スセ
である。
ソタ
また，取り出した玉に書いてある数字が 3 回とも 1 である確率は
チツテ
である。
トナニヌ
(94 年本試)
— 5 —
センター試験 de 確率演習
6
テーブルの上に，1 から 5 までの数字が書いてある札が 1 枚ずつあり，5 人の
人が順に 1 回だけサイコロをふる。出た目と同じ数字の札であれば，その札の数
をその人の得点とし，その札をテーブルの上から取り除く。同じ数字の札がなけ
れば 6 を得点とする。
(1) 最初の人の得点の期待値は
ア
である。
イ
ウエ
(2) 3 番目の人の得点が 1 である確率は
は
クケ
オカキ
であり，また 6 である確率
である。
コサシ
(3) 5 番目の人が得点したとき，テーブルの上の札が全部なくなる確率は
ス
である。
セソタ
(4) 5 人の得点がすべて異なる確率は
チツ
である。
テト
(5) 5 人の得点の合計が 29 になる確率は
ナニ
である。
ヌネノハ
(92 年追試)
— 6 —
センター試験 de 確率演習
7
A, B 2 人が硬貨を 1 枚ずつもち，同時に投げて，表が出れば 1 点，裏が出れ
ば 0 点を各自の得点として，これを何回か行って合計点を競うゲームをする。
(1) 1 回目に A, B の得点が等しい確率は
ア
である。
イ
(2) 1 回目の A, B の得点が等しく， 2 回目が終わったときの A, B の合計点
も等しくなる確率は
ウ
である。
エ
(3) 2 回目が終わったとき A, B の合計点が等しい確率は
2 回目で初めて合計点が等しくなる確率は
キ
オ
であり，
カ
である。
ク
(4) 3 回目が終わったとき A, B の合計点が等しい確率は
3 回目で初めて A, B の合計点が等しくなる確率は
シ
ケ
であり，
コサ
である。
スセ
(5) 4 回目が終わったとき A, B の合計点が等しい確率は
ソタ
である。
チツテ
(95 年本試)
— 7 —
センター試験 de 確率演習
8
座標平面上で連立不等式
− 2 x 4 , |y| 2
の表す領域を T とする。最初，点 P の位置は原点とする。二種類の硬貨 A, B
を同時に投げて表が出るか裏が出るかに従って，次のように P の位置を決める
試行をする。
点 P が T の点である場合
A と B が共に表のとき，x 座標と y 座標を共に 1 ずつ増す。
A が表，B が裏のとき，x 座標を 1 増し，y 座標を 1 減らす。
A が裏，B が表のとき，x 座標を 1 減らし，y 座標を 1 増す。
A と B が裏のとき，x 座標と y 座標を共に 1 ずつ減らす。
点 P が T の外部にある場合は動かさない。
(1) 2 回の試行で P が原点に戻る確率は
ア
である。
イ
ウ
(2) 2 回の試行後に P が T の周上にある確率は
(3) 3 回の試行後に P が T の点である確率は
オカ
(6) 4 回の試行後に P が x 軸上にある確率は
である。
キク
ケ
(4) 4 回の試行で P がはじめて原点に戻る確率は
(5) 4 回の試行後に P が T の外部にある確率は
である。
エ
である。
コサ
シス
である。
セソ
タチ
である。
ツテ
(96 年追試)
— 8 —
センター試験 de 確率演習解答
1
(1) 和が 5 となる組合せは
(1, 1, 3), (1, 2, 2)
それぞれの取り出し方は 2 通りずつあるから，求める確率は
1
2+2
サ
=
シス
12 C3
55
(2) 最大数が 4 ということは， 5, 6 の球は取り出さず， 4 の球を少なく
とも 1 つ取り出すということであるから，その確率は
9
56 − 20
セ
8 C3 − 6 C3
=
=
220
ソタ
12 C3
55
(3) 積が偶数 ⇐⇒ 少なくとも 1 つが偶数
⇐⇒ すべてが奇数の余事象
であるから，求める確率は
20
=
1−
=1−
C
220
12 3
6 C3
10
11
チツ
テト
— 9 —
センター試験 de 確率演習解答
2
(1) a + b = 9 となるのは
(a, b) = (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1)
の場合であるから，戻す場合の a + b = 9 となる確率は
8
8
ア
=
252
イウエ
625
(2) 戻さない場合の a + b = 9 となる確率は
1
8
オ
=
25 × 24
カキ
75
(3) 550 < ab < 600 となるのは
(a, b) = (25, 23), (24, 24), (24, 23), (23, 25), (23, 24)
の場合であるから，戻す場合の 550 < ab < 600 となる確率は
1
5
ク
=
252
ケコサ
125
(4) a = b に注意して，戻さない場合の 550 < ab < 600 となる確率は
1
4
シ
=
25 × 24
スセソ
150
(5) a < 2b となるのは
1 b 13 のとき 1 a 2b − 1
14 b 25 のとき 1 a 25
戻す場合の a < 2b となる場合の数は
13
13
× (1 + 25) + 25 × 12 = 469
(2b − 1) + 25 × (25 − 13) =
2
b=1
通りあるから，
戻す場合の a < 2b となる確率は
469
625
(6) a = b に注意して，戻さない場合の a < 2b となる確率は
37
469 − 25
ニヌ
=
25 × 24
ネノ
50
— 10 —
センター試験 de 確率演習解答
3
(1) n = 5 となるのは 5 と奇数の積の場合で，
(1, 5), (3, 5), (5, 5), (5, 3), (5, 1)
の 5 通りである。よって， n = 5 となる確率は
5
5
ア
=
62
イウ
36
一の位が 8 である整数のうち 2 個のさいころの目の積として表せるのは
(4, 2), (2, 4) および (6, 3), (3, 6)
の 4 通りである。よって， n = 8 となる確率は
1
4
エ
=
2
6
オ
9
1×n = n (1 n 6), 2×4 = 8, 3×3 = 9, 2×5 = 10 より 7 以外はすべて
起こり得る。 7, 17, 27 はいずれも二つのさいころの目の積では表せないから，
確率が 0 となるのは n =
7
のときだけである。
(カ)
(2) 3 数の積が 24 となる組合せは
{1, 4, 6}, {2, 2, 6}, {2, 3, 4}
であり， 63 通りの出方のうち，このような組合せについてはそれぞれ 6, 3, 6
通りある。よって，積が 24 となる確率は
5
6+3+6
キ
=
63
クケ
72
3 が素数であるから，3 で割り切れるのは少なくとも 1 つの目が 3 または 6 で
あることと同値であり，その確率は
19
63 − 43
コサ
=
63
シス
27
(3) 素因数分解を考えると
4 数の積が素数 ⇐⇒ 1 つが素数で残りすべてが 1
であるから，その組合せは {1, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 3}, {1, 1, 1, 5} であり，
4 数の積が素数となる確率は
1
4×3
セ
=
64
ソタチ
108
4 数の積が 4 で割り切れないのは
4 つがすべて奇数または 1 つだけが 2 または 6 で残りが奇数
となることである。よって， 4 数の積が 4 で割り切れる確率は
37
24 × 3 − (3 + 8)
64 − (34 + 4 C1 × 2 × 33 )
ツテ
=
=
64
24 × 3
トナ
48
— 11 —
センター試験 de 確率演習解答
4
(1) 赤赤，青赤と発色する場合に分けて，2 回目の発色が赤である確率を求める
と
7
1
1
3
1
ア
× + ×
=
2
3
2
5
イウ
15
(2) 3 回の発色で赤が 1 回，青が 2 回となるのは
赤青青，青赤青，青青赤
の 3 つの場合があり，それぞれの確率の和を求めて
2
2
1
3
2
1
2
3
1
× × + × × + × ×
=
2
3
5
2
5
3
2
5
5
(3) 赤青赤青赤，青赤青赤青の場合に分けて
2
3
2
3
1
3
2
3
2
1
× × × × + × × × ×
=
2
3
5
3
5
2
5
3
5
3
— 12 —
34
75
エオ
カキ
4
25
ク
ケコ
センター試験 de 確率演習解答
5
(1) 3 回とも赤い玉を取り出す確率は
3 3
1
ア
=
9
イウ
27
3 回とも青い玉を取り出す確率は
1
2
1
3
× ×
=
9
8
7
84
エ
オカ
取り出した玉の色が赤，青，青の順になる確率は
1
3
2
3
キ
× ×
=
9
9
8
クケ
36
取り出した玉の色が青，青，赤の順になる確率は
1
2
3
3
コ
× ×
=
9
8
7
サシ
28
(2) 1 回に取り出す玉が
( i ) 赤い玉の場合
(ii) 1 と書かれた白い玉の場合
(iii) その他の場合
に分けて考えて， 2 回目に 1 の玉を取り出す確率を求めると
25
3
1
2
5
3
8 + 2 + 15
3
× + × + ×
=
=
9
9
9
8
9
8
72
72
スセ
ソタ
1 と書かれた白い玉が何回目に取り出されるかで場合を分け， 3 回とも 1 と書
かれた赤い玉を取り出す場合と合わせて， 3 回とも 1 の玉を取り出す確率は
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
× × + × × + × × + × ×
9
8
8
9
9
8
9
9
9
9
9
9
81 + 72 + 64 + 128
=
93 × 24
115
チツテ
=
トナニヌ
3888
— 13 —
センター試験 de 確率演習解答
6
(1) 最初の人の得点の期待値は
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ×
1
=
6
7
2
ア
イ
(2) 3 番目の人の得点が 1 となるのは， 3 人目ではじめて 1 の目が出る場合であ
るから，その確率は
25
5
ウエ
5
1
× ×
=
6
6
6
オカキ
216
3 番目の人の得点が 6 になるのは， 6 の目が出るか 2 番目までに出た目と同じ
目が出る場合である。 3 番目に出る目が 6 の場合とそうでない場合に分けて
5 2 1
36 + (36 − 25) × 5
1
+ 1−
× ×5 =
6
6
6
63
91
クケ
=
コサシ
216
(3) 5 番目の人で札が全部なくなるのは， 5 人が 1 から 5 までの相異なる目を出
す場合であるから，確率は
5
5
5!
ス
= 2
=
65
2 × 34
セソタ
324
(4) 4 人の 5 以下の異なる目を出し， 1 人が 6 の目を出す確率は
25
5 × 5!
=
5
6
324
5 人が 5 以下の異なる 4 つの目を出す確率は
50
5 × 5 C 2 × 4 P3
=
5
6
324
(3) と以上をあわせて， 5 人の得点がすべて異なる確率は
20
25
50
80
5
チツ
+
+
=
=
324
324
324
324
テト
81
(5) 5 人の得点合計が 29 になるのは， 1 人が 5 点で 4 人が 6 点となる場合であ
り，それは 5 と 6 の目以外は出ないで 5 の目が必ず出る場合であるから，その
確率は
31
25 − 1
ナニ
=
65
ヌネノハ
7776
— 14 —
センター試験 de 確率演習解答
7
(1) 1 回目に A, B の得点が等しくなるのは，ともに表が出るまたはともに
裏が出る場合であるから，確率は
1 2 1 2
1
ア
+
=
2
2
イ
2
(2) 1 回目も 2 回目も A, B の得点が等しくなる確率は
1 2
1
ウ
=
2
エ
4
(3) 2 回の合計点が 0 で一致する確率， 1 で一致する確率， 2 で一致する確率は
それぞれ
1 2
1 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
, 2
×
=
×2
= ,
×
=
2
2
16
2
2
4
2
2
16
であるから， 2 回の合計点が等しい確率は
3
1
1
1
オ
+ +
=
16
4
16
カ
8
2 回目で初めて合計点が等しくなるのは，
A が表裏と出て B が裏表と出るか，またはその逆
の場合であるから，その確率は
1 2 1 2
1
キ
×
×2=
2
2
ク
8
(4) 3 回の合計点が k (k = 0, 1, 2, 3) で一致する確率は
1 3 2
(3 Ck )2
=
3 Ck
2
82
であるから， 3 回の合計点が等しい確率は
32
32
12
1+9+9+1
12
=
+
+
+
=
2
2
2
2
8
8
8
8
64
5
16
ケ
コサ
3 回目で初めて合計点が等しくなるのは，
( i ) 一方が表裏裏，他方が裏裏表と出る
(ii) 一方が表表裏，他方が裏表表と出る
のいずれかの場合であるから，その確率は
1 3 1 3
1
シ
×
× (2 + 2) =
2
2
スセ
16
(5) (4) と同様に考えて， 4 回の合計点が等しい確率は
(4 C0 )2 + (4 C1 )2 + (4 C2 )2 + (4 C3 )2 + (4 C4 )2
=
(24 )2
— 15 —
35
128
ソタ
チツテ
センター試験 de 確率演習解答
8
(1) 2 回目に原点に戻るのは，1 回目に移動した経路を戻る場合であるから，
1
ア
2 回目で原点に戻る確率は
イ
4
(2) 2 回の試行で到達し得る点のうち， T の周上にあるのは
(−2, 2), (0, 2), (2, 2), (−2, 0), (−2, −2), (0, −2), (2, −2)
であり， 2 回の移動でその点に到達する経路の数は
(0, 2), (−2, 0), (0, −2)
· · · · · · 2 通り
(−2, 2), (2, 2), (−2, −2), (2, −2)
· · · · · · 1 通り
である。
2 回の試行における根元事象の確率は
1 2
4
の周上にある確率は
1 2
10
=
× (2 × 3 + 1 × 4) =
4
16
(3) 3 回の試行における根元事象の確率は
であるから， 2 回の試行後に T
5
8
ウ
エ
1 3
である。
4
2 回の試行で到達し得る点は， (2) で考えて点のほかに 2 点
(0, 0) : 2 回の移動経路は 4 通り
(2, 0) : 2 回の移動経路は 2 通り
がある。以上の各点に対して， T の点に移動する方向は
(0, 2), (−2, 0), (0, −2), (2, 2), (2, −2) · · · · · · 2 通り
(−2, 2), (−2, −2)
· · · · · · 1 通り
(0, 0), (2, 0)
· · · · · · 4 通り
であるから， 3 回の試行後 T 内にある確率は
1 3
× {(2 × 2) × 3 + (1 × 2) × 2 + (1 × 1) × 2 + (4 × 4) + (2 × 4)}
4
21
42
オカ
12 + 4 + 2 + 16 + 8
=
=
=
43
64
キク
32
(4) 2 回の試行で到達し得る原点以外の 8 点について場合分けして， 4 回の試行
ではじめて原点に戻る確率は
1 4
5
20
ケ
× (22 × 4 + 12 × 4) = 4 =
4
4
コサ
64
— 16 —
センター試験 de 確率演習解答
(5) 4 回で T の外部にあるのは，2 回めに T の周上，3 回めに T の外部にある
ときであり，(3) の考察も参考にして，4 回の試行後に T の外部にある確率は
1 3
× {(2 × 2) × 3 + (1 × 2) × 2 + (1 × 3) × 2}
4
11
シス
12 + 4 + 6
=
=
43
セソ
32
(6) 2 回の試行で到達し得る 9 点から， 2 回の移動で x 軸上の点に移るのは
(0, 2), (−2, 0), (0, −2)
· · · · · · 4 通り
(2, 2), (2, −2)
· · · · · · 4 通り
(−2, 2), (−2, −2)
· · · · · · 2 通り
(0, 0), (2, 0)
· · · · · · 8 通り
であるから， 4 回の試行後に x 軸上にある確率は
1 4
× {(2 × 4) × 3 + (1 × 4) × 2 + (1 × 2) × 2 + 4 × 8 + 2 × 8}
4
21
84
タチ
24 + 8 + 4 + 32 + 16
= 3 =
=
44
4
ツテ
64
— 17 —

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