複素関数論 講義１５ 手法を三つに分類 （３）① ∫ 2π 0 F (sin θ , cos θ )dθ ② F ( x, y ) :x,y の有理関数 = = θ , y cos θ x sin ③ sin θ −1 z−z z+z = , cos θ 2i 2 −1 −1 dz dθ = iz −1 z − z z + z dz ∫ z =1 F ( 2i , 2 ) iz を留数定理で計算 第15回 まとめ重要事項の復 習 問. 実積分 虚軸 I =∫ +∞ −∞ の値を、複素関数 1 dx 2 x +1 1 f ( z) = 2 z +1 右図のように下半平面をまわった経路に ついて複素積分することで求めたい。C = C0 +CR とするとき、以下の問に順 に答え よ。ただし CR は半径 R > 1 の半円である。 (3) 半円 CR を偏角 を用いてパラメータ表 示し、 を θ の積分で表せ。 ∫ CR f ( z )dz R -R 実軸 C0 CR ∫ CR f ( z )dz = ∫ CR z = Re ∫ iθ f dz = ∫ f ( z (θ )) z ′(θ )dθ b CR π R -R b CR ∫ 虚軸 1 dz 2 z +1 f dz = ∫ a CR a 1 2 2 iθ Re 実軸 C0 iθ iR e dθ +1 1 iθ e = θ iR d i θ 2 2 ∫2π R e + 1 −π ∫Re 1 2 2 iθ 0 iθ iR e dθ +1 （4） Rlim →∞ ∫C ∫ CR f ( z )dz = 0 R 2π f dz ≤ 2π ∫π を示せ f ( z (θ )) z ′(θ ) dθ 1 iθ iR e dθ ∫π= 2 2 iθ R e +1 2π ∫π 2π R πR d θ 0 ≤ 2 = → 2 R − 1 π∫ R −1 z1 + z2 ≥ z1 − z2 1 2 2 iθ Re +1 Rdθ
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