1
次の問いに答えよ．
(1) 次の式を展開せよ．
‘ (x2 + 9)(x ¡ 3)(x + 3)
’ (x ¡ 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
(2) 次の定積分を求めよ．
Z
6
0
x2 ¡ 4x dx
(3) 6 人の生徒の身長を調べたところ，それぞれ
170;
161;
181;
172;
169;
167 (cm)
であった．このとき 6 人の身長の標準偏差を求めよ．
（ 釧路公立大学 2016 ）
2
次の問いに答えよ．
p
(1) x = 1 + 2 のとき，次の式の値を求めよ．
‘ x2 ¡ 2x ¡ 1
’ x4 ¡ 4x3 + 7x2 ¡ 6x + 2
(2) A = fx j 2 < x 5 9g，B = fx j k ¡ 4 5 x 5 k + 6g（ k は定数）とするとき，A ½ B となる k の値の
範囲を求めよ．
(3) 実数 x; y が (x + 1)2 + (y ¡ 2)2 = 2 を満たすとき，x + y の最小値と最大値，およびそのときの x; y
の値を求めよ．
（ 釧路公立大学 2016 ）
3
次の問いに答えよ．
(1) 次の指数方程式を解け．
3x+1 + 32¡x = 12
(2) f(x) = x3 ¡ 4x2 ¡ 2x + 5 とする．以下の問いに答えよ．
‘ 曲線 y = f(x) 上の点 (a; f(a)) における接線の傾きを，a を用いて表せ．
’ 曲線 y = f(x) 上の 2 点 (a; f(a))，(a + 1; f(a + 1)) における接線が平行になるとき，a の値を
求めよ．
（ 釧路公立大学 2016 ）
4
次の問いに答えよ．
(1) 大中小 3 つのさいころを投げるとき，出る 3 つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2) 1 から 25 までの整数が 1 つずつ書かれた 25 枚のカードがある．以下の問いに答えよ．
‘ 2 枚のカード をもとに戻さず順に取り出すとき，2 枚目が 5 の倍数になる確率を求めよ．
’ 2 枚のカード を同時に取り出すとき，取り出した 2 枚のカード の整数の和が 5 の倍数になる確率を求
めよ．
（ 釧路公立大学 2016 ）
5
箱の中に 1 から 10 までの自然数が 1 つずつ書かれた 10 枚のカードが入っている．この箱の中からカード
を同時に 3 枚取り出し ，取り出されたカード の数字を小さいものから順に X; Y; Z とする．以下の問い
に答えよ．
(1) X が 4 以下である確率を求めよ．
(2) Y が 4 以下である確率を求めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
6
関数 f(x) = 1 ¡ ax(1 ¡ x) ¡ 1 について，以下の問いに答えよ．ただし，a は正の実数とする．
(1) ax(1 ¡ x) ¡ 1 が常に負になるための a の条件を求めよ．
(2) a = 6 のとき，y = f(x) のグラフを描け．
(3) 関数 f(x) の最大値を M(a) とする．a がすべての正の実数値をとって変化するとき，点 (a; M(a)) を
座標平面上に図示せよ．
(4) 直線 y = x と y = f(x) のグラフが 3 つの共有点をもつときの a の値を求めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
7
数列 fan g が以下の漸化式をみたすとする．
a1 = ¡4;
an+1 =
1
3
a +
2 n
2
(n = 1; 2; 3; Ý)
また，実数 x の多項式 Pn (x) を
Pn (x) = a1 x + Ý + an xn
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) fan g の一般項を求めよ．
(2) Pn (x) を x ¡ 1 で割ったときの余りを求めよ．
(3) Pn (x) を x ¡ 4 で割ったときの余りが ¡24 になるように，n の値を定めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
8
a; b を実数とする．関数 f(x) = x3 ¡ 3a2 x + 2b について，以下の問いに答えよ．
(1) f(x) が単調に増加するとき，a についての条件を求めよ．
(2) y = f(x) のグラフが x 軸と異なる 3 点で交わるための条件を a と b を用いて表せ．
(3) a; b が (2) で求めた条件をみたすとき，点 (a; b) が存在する領域を座標平面上に図示せよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
9
n を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1) 三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
2 cos ® sin ¯ = sin(® + ¯) ¡ sin(® ¡ ¯)
(2) 数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
2 sin
n
µ P
µ
1
cos lµ = sin #n + ; µ ¡ sin
2 l=1
2
2
(3) m を整数とする．µ Ë 2m¼ のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条
件は調べなくてよい．
n
P
l=1
cos lµ 5
1
µ
%1 + sin
2
2
¡1
=
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
10 関数 y = e¡x で表される曲線を C とする．また，t は 0 < t < 2 をみたす実数とし ，x = t における曲線
C の接線を ` とする．以下の問いに答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) y 軸，曲線 C および接線 ` で囲まれた部分の面積を S1 (t)，x 軸，直線 x = 3，曲線 C および接線 ` で囲
まれた部分の面積を S2 (t) とする．S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
(3) (2) で求めた S1 (t) + S2 (t) の最小値を求めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
11 a を 1 以上の実数，b を実数，i を虚数単位とし，複素数 z を z = a + bi とする．また，複素数 w を w =
1
z
とする．以下の問いに答えよ．
(1) 複素数 z が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．また，iz が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．
(2) x; y を実数とし，w = x + yi とおくとき，a を x および y を用いて表せ．
(3) w が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
12 In =
Z
0
¼
4
tann x dx (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．このとき，次の問いに答えよ．
¼
4
(2) lim In を求めよ．
(1) tan x 5 x + 1 ¡
#0 5 x 5
¼
; が成り立つことを示せ．
4
n!1
(3) In + In+2 の値を n を用いて表せ．
(4) (3) までの結果を用いて，無限級数
1 (¡1)n+1
P
の和を求めよ．
2n
n=1
（ 旭川医科大学 2016 ）
13 原点 O を中心とする単位円周上に A(¡1; 0)，B(1; 0)，および y > 0 を満たす動点 C(x; y) がある．
ÎBAC = µ とするとき，次の問いに答えよ．ただし，0 < µ <
¼
とする．
2
(1) 4ABC の面積を µ を用いて表せ．
(2) 4ABC の内接円 O1 の半径 r1 を µ を用いて表せ．
(3) x 軸，辺 AC の延長線，および辺 BC とそれぞれ接する円 O2 を考える．x 軸上の接点を D，辺 AC の C
側の延長上の接点を E，そして辺 BC 上の接点を F とする．
‘ AD の長さを µ を用いて表せ．
’ 円 O2 の半径 r2 を µ を用いて表せ．
“ 円 O1 の中心を I，円 O2 の中心を J とする．
r2
= 2 となるとき，4OIJ の面積を求めよ．
r1
（ 旭川医科大学 2016 ）
14 a を正の実数とする．点 P は曲線 Ca : y = eax 上を，点 Q は直線 y = x をそれぞれ動く．このとき，次
の問いに答えよ．
(1) 曲線 Ca と直線 y = x が共有点をもたないような a の値の範囲を求めよ．
(2) (1) で求めた範囲にある a に対して，線分 PQ の長さの最小値を d(a) とする．PQ の長さが d(a) となる
曲線 Ca 上の点を Pa とする．
‘ d(a) を求めよ．
’ 点 Pa における曲線 Ca の接線の傾きを求めよ．
“ a が (1) で求めた範囲を動くときの点 Pa の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
(3) d(a) の最大値と，そのときの a の値を求めよ．
（ 旭川医科大学 2016 ）
15 A の袋には赤玉 5 個，白玉 1 個が入っている．B の袋には赤玉 2 個，白玉 2 個が入っている．この 2 つの
袋は見た目では区別できないものとする．このとき，次の確率を求めよ．
(1) 2 つの袋からそれぞれ 2 個ずつ，合計 4 個の玉を取り出すとき，赤玉が 3 個以上である確率
(2) ど ちらか一方の袋を選んで 1 個の玉を取り出すとき，それが赤玉である確率
(3) どちらか一方の袋を選んで 2 個の玉を取り出すとき，1 個でも白玉があれば「袋 B を選んだ」と判断する．
袋 A を選んで取り出したときに「袋 B を選んだ」と判断してしまう確率
（ 旭川医科大学 2016 ）

【セガゲームス】熊本地震における被災地への支援について