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(画像は Maxima を用いて作成)
1.


 x′ = 2x + y

 y ′ = x + 2y
( )
( )
1
1
解の基本系… et
, e3t
1
−1
平衡点 (0, 0) の種類: 不安定結節点
Page 2
2.


 x′ = x + 4y

 y′ = x + y
解の基本系… e−t
( )
)
3t 2
,e
1
−1
(
2
平衡点 (0, 0) の種類: 鞍点
Page 3
3.


 x′ = x − 2y

 y ′ = 2x − 4y
( ))
( ) ( )(
1
2
0·t 2
−3t
解の基本系… e
,
=e
1
2
1
}
{ ( )
2 t∈R
平衡点の集合 = t
1
(係数行列 A が正則でない場合)
Page 4
4.


 x′ = x − 2y

 y′ = x − y
(
) (
)
2 cos t
2 sin t
解の基本系…
,
cos t + sin t
sin t − cos t
平衡点 (0, 0) の種類: 渦心点
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5.


 x′ = x − 5y

 y ′ = x − 3y
)
)
(
(
cos
t
sin
t
5
5
e−t
と e−t
2 cos t + sin t
2 sin t − cos t
が解の基本系
平衡点 (0, 0) の種類: 安定渦状点
Page 6
6.


 x′ = 3x − 2y

 y ′ = 2x − y
)
( ) (
1
+
2t
1
解の基本系… et
, et
2t
1
平衡点 (0, 0) の種類: 不安定非固結有節点
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7.


 x′ = x − xy

 y ′ = xy − y
ロトカ・ヴォルテラ方程式
… 非線形 連立微分方程式の例
平衡点は (0, 0), (1, 1)
解曲線は、平衡点 (1, 1) の周囲をまわる閉曲線
(生態系の安定化作用)

ロトカ・ボルテラの方程式