138 r Lösungen: Vektoren ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎛ –4 ⎞ 2 − 2 ⎟ = ⎜ 0⎟ b) AB = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 − ( −7) ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16. a) AB = ⎛⎜ −73−− 41⎞⎟ = ⎛⎜ –43⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 17. a) Mit B(b1 | b2) und AB = ⎜⎛ bb1 −− 41⎟⎞ = ⎛⎜ 23 ⎞⎟ erhält man: ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ b1 – 4 = 3 ⇔ b1 = 7 bzw. b2 – 1 = 2 ⇔ b2 = 3 und somit B(7 | 3). ⎛ b1 − 3 b) Mit B(b1 | b2 | b3) und AB = ⎜ b 2 − 2 ⎞ ⎟ ⎜ b − ( −3) ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 0⎞ = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ folgt: ⎝ 1⎠ b1 – 3 = 0 ⇔ b1 = 3 bzw. b2 – 2 = –2 ⇔ b2 = 0 bzw. b3 + 3 = 1 ⇔ b3 = –2 und damit B(3 | 0 | –2). c) Mit A(a1 | a2) und AB = ⎛⎜ −13 −− aa1 ⎞⎟ = ⎛⎜ 15 ⎞⎟ folgt: ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 3 – a1 = 1 ⇔ a1 = 2 bzw. –1 – a2 = 5 ⇔ a2 = – 6 und damit A(2 | – 6). ⎛ 1 − a1 ⎞ ⎛ 1⎞ d) Mit A(a1 | a2 | a3) und AB = ⎜ −3 − a 2 ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ erhält man: ⎜ −4 − a ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ −1 ⎠ 1 – a1 = 1 ⇔ a1 = 0 bzw. –3 – a2 = 2 ⇔ a2 = –5 bzw. – 4 – a3 = –1 ⇔ a3 = –3 und als Ergebnis A(0 | –5 | –3). 18. a) a + b = ⎛⎜ 14 ⎞⎟ + ⎛⎜ −31⎞⎟ = ⎛⎜ 41+− 31⎞⎟ = ⎛⎜ 70 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ 1 + 3⎞ ⎛ 4 ⎞ b) a − c = ⎛⎜ 14 ⎞⎟ − ⎛⎜ −−31 ⎞⎟ = ⎛⎜ 41 −− ((−−3) = = 1) ⎟ ⎜ 4 + 1⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) a + c − b = ⎛⎜ 14 ⎞⎟ + ⎛⎜ −−31⎞⎟ − ⎛⎜ −31⎞⎟ = ⎛⎜ 41 −− 13 −+ 31⎞⎟ = ⎛⎜ −01⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ = ⎛ 2 − 9 ⎞ = ⎛ −7 ⎞ d) 2a + 3c = 2 ⋅ ⎛⎜ 14 ⎞⎟ + 3 ⋅ ⎛⎜ −−31 ⎞⎟ = ⎛⎜ 22⋅⋅ 41 ++ 33 ⋅⋅ ((−−3) 1) ⎟ ⎜ 8 − 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e) 2b − c + 3a = 2 ⋅ ⎛⎜ −31⎞⎟ − ⎛⎜ −−31 ⎞⎟ + 3 ⋅ ⎛⎜ 14 ⎞⎟ = ⎛⎜ −62++13++123 ⎞⎟ = ⎛⎜194 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −2 + 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 5 + 3⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 19. a) a + c = ⎜ 1⎟ + ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 1 − 2 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −2 − 1 − 3 ⎞ ⎛ − 6 ⎞ b) a − c + b = ⎜⎜ 1⎟⎟ − ⎜⎜ −2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 + 2 + 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 5 − 3 + 1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ −2 + 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −2 ⎞ c) a + 2c = ⎜⎜ 1⎟⎟ + 2 ⋅ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5 + 6⎠ ⎝ 11⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
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