応用解析学１・第 15 回 (2016 年 7 月 16 日)
§15. ユークリッド空間の部分多様体
前節では、陰関数定理は方程式の解やそれによって定まる関数を調べるための道具として有
用であることを説明した。C r -級の方程式 f (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yq ) = 0 を満たす点 p0 に対し
∂fi
て、行列 ( ∂y
(p0 ))1≤i,j≤q が正則であれば、p0 の近くでその方程式を y1 , . . . , yq に関して解く
j
ことができ、しかもその解が x1 , . . . , xn の C r -級関数になるのであった。この事実は、幾何学
的には、その方程式が定める Rn+q 内の図形が、p0 の近くでは x1 , . . . , xn のみを変数としてパ
ラメータづけられる (つまり、x1 , . . . , xn を変数とするある写像のグラフとして表わされる) こ
とであると捉えられる。ここでは、このような視点で方程式が定める図形を調べる。
この節では、特に断らない限り r は 1 以上の整数、または、∞ を表わすものとする。
● 15 - 1 : 逆像
f : A −→ B を写像とするとき、B の部分集合 T から A の部分集合
f −1 (T ) := { a ∈ A | f (a) ∈ T }
(15 - 1 a)
が定まる。これを f による T の逆像 (inverse image) という。f −1 (T ) は f で写すと T に属す
るような A の元全体からなる集合である。T ⊂ B が b0 ∈ B だけからなる集合のとき、f −1 (T )
をしばしば f −1 (b0 ) と表わす：
f −1 (b0 ) := { a ∈ A | f (a) = b0 }.
(15 - 1 b)
f の終域の任意の部分集合 T に対して、逆像 f −1 (T ) は定義されるが、f −1 単独では意味た
ないことに注意。唯一の例外は、f が全単射のときであり、この場合には f −1 は単独で逆写像
という意味を持つ。
演習 15 - 1 関数 f : R −→ R を次で定義する：
f (x) = |x + 1|
(1)
f −1 (2)
および
f −1 (−2)
(x ∈ R)
を求めよ。
(2) f (f −1 ([−1, 1])) を求め、f (f −1 ([−1, 1])) ̸= [−1, 1] となることを確かめよ。
● 15 - 2 : 写像の正則値
U を Rn の開集合とし、f : U −→ Rq を C 1 -級写像とする。点 a ∈ U が f の正則点 (regular
point) であるとは、rank(Ja (f )) = q となるときをいう。点 c ∈ Rq が f の正則値 (regular
value) であるとは、すべての点 a ∈ f −1 (c) が f の正則点であるときをいう。
定義より、f −1 (c) = ∅ であるような点 c ∈ Rq は f の正則値である。
例 15 - 1
a, b > 0 として、関数 f : R2 −→ R を
( )
( x )
f
= ax2 + by 2
y
によって定義する。f は
C ∞ -級 (したがって、C 1 -級) である。x
( )
x
=
における f のヤコビ
y
行列は Jx (f ) = (2ax 2by) であり、
rank (2ax 2by) = 1 ⇐⇒ (x, y) ̸= (0, 0)
であるから、0 でない c ∈ R は f の正則値である。c < 0 のとき f −1 (c) = ∅ であり、c > 0 の
とき、f −1 (c) は楕円である。
□
– 113 –
応用解析学１・第 15 回 (2016 年 7 月 16 日)
 
( x )
3
演習 15 - 2 関数 f : R −→ R を f y  = x2 + y 2 + z 2 によって定義する。
z
(1) c = −1, 0, 1 のそれぞれについて、c が f の正則値か否かを調べよ。
(2) c = −1, 0, 1 のそれぞれについて、f −1 (c) がどんな図形かを、図を用いて説明せよ。
● 15 - 3 : 部分多様体
ここでは、C r -級写像の正則値の逆像がどのような構造を持っているのかを調べる。次の結
果がその鍵である。この結果と系 15- 3 は陰関数定理のもう１つの見方を与えている。
定理 15 - 2
{( ) }
x n, q ∈ N
=
x ∈ Rn , y ∈ Rq とみなす。f : D −→ Rq を Rn+q の開
y
r
集合 D 上で定義された C -級写像とする。p0 ∈ f −1 (0) が f の正則点ならば、以下の条件
とし、Rn+q
を満たす Rn+q の開集合 U, V と C r -級微分同相写像 φ : U −→ V が存在する。
( )
( )
( x )
x
⃝
1 p0 ∈ V ⊂ D, ⃝
2 (f ◦ φ)
= y for all
∈ U.
y
y
(証明)
仮定により、rank(Jp0 (f )) = q であるから、Jp0 (f ) の列ベクトルのうち q 個は一次独立で
ある。第 i1 列、· · · 、第 iq 列の組が一次独立であるとする。このとき、σ : Rn+q −→ Rn+q を
σ(en+1 ) = ei1 , . . . , σ(en+q ) = eiq を満たす線形同型写像 (実際には成分の入れ替えで作られる
写像) とする。すると、f ◦ σ|σ−1 (D) の σ −1 (p0 ) におけるヤコビ行列の後ろの q 列は一次独立
となる。写像 F : σ −1 (D) −→ Rn+q を
(
)
x
F (p) =
(f ◦ σ)(p)
( )
(
)
x
p=
∈ σ −1 (D)
y
によって定義する。F は C r -級である。陰関数定理 (定理 14 - 6) の証明と同様に、F |O : O −→
F (O) が C r -級微分同相となるような σ −1 (p0 ) ∈ O ⊂ σ −1 (D) を満たす Rn+q の開集合 O が存
在することがわかる。今、写像 π : Rn+q −→ Rq を
( )
( x )
π
=y
(x ∈ Rn , y ∈ Rq )
y
によって定義される射影とすると、任意の p ∈ σ −1 (D) に対して
(π ◦ F )(p) = (f ◦ σ)(p)
が成り立つ。よって、(π ◦ F )|O = (f ◦ σ)|O が成り立つ。これは π|F (O) = f ◦ σ ◦ (F |O )−1 :
F (O) −→ Rq と書き換えることができる。U := F (O), V := σ(O) とおくと U, V は Rn+q
の開集合であり、φ := σ ◦ (F |O )−1 とおくと、これは U から V への C r -級微分同相写像に
なっている。⃝
1 が満たされることは、σ −1 (p0 ) ∈ O ⊂ σ −1 (D) より、⃝
2 が満たされることは、
π|F (O) = f ◦ σ ◦ (F |O )−1 = f ◦ φ よりわかる。
□
注意：上の定理は、点 p0 ∈ f −1 (0) での f のヤコビ行列の階数が終域の次元と等しければ、
その点の近くでは、適当な座標変換を (定義域に) 施すことにより、f は射影とみなされ得る、
ということを主張している。これは、線形写像 (連立一次方程式) に関する以下の事実の C r -級
写像への拡張と思える。f : Rn −→ Rm を (m, n)-行列 A から定まる線形写像とする。もし、
rank A = m ならば、A に列基本変形だけを施して (O In ) という形の行列にすることができ
– 114 –
応用解析学１・第 15 回 (2016 年 7 月 16 日)
る。ここで、In は n 次単位行列、O は零行列である。これは AQ = (O In ) となる n 次正則
行列 Q が存在することと同値である。これを線形写像の言葉で書き直すと、⃝
2 と同じ等式が得
られる。但し、この場合の φ は Q から定まる Rn 上の線形同型写像である。
系 15 - 3
f : D −→ Rq を Rn+q の開集合 D 上で定義された C r -級写像とする。c ∈ Rq が f の正則
値ならば、任意の p0 ∈ f −1 (c) に対して以下の条件を満たす Rn+q の開集合 U, V と C r -級
微分同相写像 φ : U −→ V が存在する：
1 p0 ∈ V ⊂ D,
●
2 f −1 (c) ∩ V = φ(U ∩ (Rn × {0})).
●
2 の意味を補足する。
系の証明を与える前に、系の条件●
2 は、点 p0 の近くでの f −1 (c) の様子が φ(U ∩(Rn ×
条件●
{0})) のようになっていることを主張している。φ は
q
R
級微分同相写像であるから、このことは、f −1 (c) がその
ことを意味する。U は単に Rn+q の開集合であるが、後
U
で説明するように、原点を中心とする ε-近傍 U (0; ε) に
取り替えることができる。このように考えると、f −1 (c)
が
f -(c)
p0
各点の近くで U ∩(Rn ×{0}) と「同じ」状況になっている
Rn+q
V
Cr-
ϕ
V ∩f -(c)
n
R
0
の中に含まれている様子は、その各点の近くで
U ∩(Rn×{0})
眺めると、U (0; ε) の中に含まれている Rn × {0} の部分と同じになっていることがわかる。単
純な言い方をすれば Rn+q の中に「きれいに」入っているということである。次元が高いとわ
かりにくいので、n = q = 1 や n = 2, q = 1 の場合に考えてみるとよい。
(系 15 - 3 の証明)
写像 f˜ : D −→ Rq を f˜(p) = f (p) − c (p ∈ D) によって定義する。f˜ は C r -級であり、
p0 ∈ f −1 (c) = f˜−1 (0) が成り立つ。c ∈ Rq は f の正則値なので、0 ∈ Rq は f˜ の正則値であ
る。よって、定理 15- 2 より、以下の条件を満たす Rn+q の開集合 U, V と C r -級微分同相写像
φ : U −→ V が存在する。
⃝
1 p0 ∈ V ⊂ D,
( )
( )
( x )
x
˜
⃝
= y for all
∈ U.
2 (f ◦ φ)
y
y
このとき、⃝
2 から f˜−1 (0) ∩ V = φ(U ∩ (Rn × {0})) であることが確かめられる。
□
点 p ∈ Rm に対し、p を含む Rm の開集合のことを Rm における p の開近傍 (open neigh-
borhood of p in Rm ) という。
定義 15 - 4
M を Rm の部分集合とし、n を 0 ≤ n ≤ m を満たす整数とする。次の条件が成り立つと
き、M を Rm の n 次元 C r -級部分多様体 (submanifold) と呼ぶ：
任意の p ∈ M に対して、Rm における p の開近傍 V と Rm の開集合 U と C r -級微分同相
写像 h : V −→ U であって、h(M ∩ V ) = U ∩ (Rn × {0}) を満たすものが存在する。
注意 1. U ∩ (Rn × {0}) は Rn の開集合であるから、n 次元部分多様体は各点において Rn の
開集合と微分同相な近傍をとることができる、ユークリッド空間内の図形であると言える (後述
の例 15- 6 や演習 15- 3 を参照)。
– 115 –
応用解析学１・第 15 回 (2016 年 7 月 16 日)
注意 2. 定義 15- 4 のような C r -級微分同相写像 h が存在すれば、次の条件を満たす p の開近
傍 W と実数 ε > 0 と C r -級写像 k : W −→ Rm が存在する：
1 k(p) = 0, □
2 k(W ) = U (0; ε), □
3 kはW
□
から k(W ) への C r -級微分同相写像
実際、l : Rm −→ Rm を l(x) = x − h(p) によって定義される C ∞ -級微分同相写像とする。
合成 l ◦ h : V −→ Rm は C r -級で、(l ◦ h)(p) = 0 を満たす。(l ◦ h)(V ) は 0 を含む Rm の開集
合なので、U (0; ε) ⊂ (l ◦ h)(V ) となる ε > 0 が存在する。W := (l ◦ h)−1 (U (0; ε)), k := l ◦ h|W
とおけば、これらが □
1,□
2,□
3 を満たすことが確かめられる。
したがって、C r -級微分同相写像 h として、h(p) = 0, h(V ) = U (0; ε) を満たしているもの
を取ることができる。
系 15 - 3 は部分多様体の概念を用いて次のように表現することができる。
定理 15 - 5
f : D −→ Rq を Rm の開集合 D 上で定義された C r -級写像とする。c ∈ Rq が f の正則値
ならば、f −1 (c) は Rm の (m − q) 次元 C r -級部分多様体である。
例 15 - 6 1 ∈ R は関数 f : Rn+1 −→ R, f (x) = ∥x∥2 の正則値なので、n 次元球面
Sn = { x ∈ Rn+1 | ∥x∥ = 1 }
は Rn+1 の n 次元 C ∞ -級部分多様体である。
演習 15 - 3 写像 f : (R2 − {0}) × R −→ R を
(√
)2
f (x, y, z) =
x2 + y 2 − 2 + z 2
(
)
(x, y, z) ∈ R2 − {0}) × R
によって定める。1 は f の正則値であることを示し、T2 := f −1 (1) が 2 次元 C ∞ -級部分多様
体であることを示せ。
注意：T2 はトーラスと呼ばれる図形である。実際、T2 = f −1 (1) 上の点 (x, y, z) に対して
√
cos φ =
x2 + y 2 − 2, sin φ = z (φ ∈ R) とおくと、(cos φ + 2)2 = x2 + y 2 より x =
(cos φ + 2) cos θ, y = (cos φ + 2) sin θ (θ ∈ R) と表わすことができる。このことから、
(
)
T2 = { (cos φ + 2) cos θ, (cos φ + 2) sin θ, sin φ | θ, φ ∈ R }
と表わされることがわかる。この表示をもとに R3 内に T2 を描くと、下図右のようになるこ
とがわかる。
S2
T2
– 116 –
No.15
応用解析学１自習問題
ユークリッド空間の部分多様体
演習問題 15. R3 の部分集合
{ 
M :=
x
y  ∈ R3 x2 z − y 2 = 0
z
2016 年 7 月 16 日
逆像、正則値、部分多様体、球面
}
について以下の問いに答えよ。
(1) M の概形を (x, y, z)-座標空間内に描け。
 
1
(2) 点 0 ∈ M のまわりで、図形 M は R3 の座標関数 x, y, z のうちのどの２つの変数の
0
関数のグラフとして表わされるか？さらに、そのような 2 変数関数 ϕ を具体的に求めよ。
}
{ 
0
(3) M − 0 ∈ M z ∈ R は R3 の C ∞ -級部分多様体であることを示せ。
z
ヒント：(1) M の z 軸に垂直な平面 z = c による切口と x 軸に垂直な平面 x = a による切口
を調べる。M は Whitney の傘と呼ばれる曲面である。
応用解析学１通信
[No.15]
2016 年 7 月 16 日発行
■ 第 13 回学習内容のチェックについて
Q2 の 3 番目の枠の解答の出来が悪かったので説明します。
Q2 の最後の文章は開写像定理から導かれる結果を説明しています。そこには、「単射な C r 級写像」というキーワードが含まれています。開写像定理の説明が書かれている付近において
この言葉が登場するのはどこなのか、探してみると系 13 - 5 にあることに気づきます。その系を
読み、単射な C r -級写像 f がどんな条件を満たしていれば、どんなことが成り立つのか、それ
ぞれ 3 番目と 4 番目の枠内に書いてください。
■ 第 13 回学習内容のまとめを書くためのヒント
第 13 回のまとめを書くためのヒントを提供しますので、これを参考に修正してください。
• まず、微分可能な 1 変数実数値関数 f が点 a で f ′ (a) ̸= 0 を満たせばどんなことが言え
るのか、§13 の冒頭 2 行分に書かれていることを参考に説明する。
• 次に、「この事実は写像に対して次のように拡張され、逆関数定理と呼ばれる。」と書いて
から、その詳しい内容を書く。
• 次に、逆関数定理についての注意すべき点として、f 自身が逆写像を持つことまでは保証
しないことを述べ、その実例を挙げる。
• 次に、「もう 1 つ注意すべきことは」とつないで、C r -級写像 f : U −→ Rn は単射であっ
ても、逆写像 f −1 : f (U ) −→ Rn は C r -級とは限らないことを述べる。
• 最後に、
「しかし、」とつないで、f がどんな条件を満たせば逆写像 f −1 が C r -級になるの
かを述べる。
■ 前回のプリントの訂正
たびたび申し訳ありません。p.106, 例 14 - 2 に誤りがあります。以下のように訂正します。
(これらは講義中に説明した箇所です。pdf ファイル版は訂正したものを掲載しています。)
√
(誤) 関数 ϕ : (−2, ∞) −→ R, ϕ(x) = x x + 2
√
−→ (正) 関数 ϕ : (−∞, −2) −→ R, ϕ(x) = x −x − 2
■ 本日返却分の学習内容のチェックとまとめの再提出について
本日までに返却した「学習内容のチェックとまとめのシート」に「要再提出」の印が押され
ている分については、19 日 (火) 午後 6 時までに必ず再提出する必要があります。本日受け取っ
た課題は 19 日 (火) の午後１時から 6 時までの間に返却します。必ず取りにきて「要再提出」
分がないかどうかを確認してください。もし、
「要再提出」分がある場合には、22 日 (金) 午後
6 時までに提出し、必ずその場で O.K. をもらってください。
応用解析学１定期試験について
2016 年 7 月 16 日
• 実施日時：2016 年７月 23 日（土）第 2 時限（11 時 30 分∼12 時 30 分、60 分）
• 実施教室：2104
• 机の両端に離れて着席してください。
• 試験当日は学生証を持参し、着席と同時に写真が見えるように机に置いてください (学生
証を忘れると、受験することができません！)。
• 試験中の携帯電話の使用は認めません (時計代わりの使用も不可)。試験開始前に電源を切
り、かばんの中にしまってください。
• ノート、教科書、参考書、辞書、電卓類の持ち込みは不可。
• 試験内容：(1) 連鎖定理、(2) 逆関数定理、(3) 陰関数定理、(4) 項目間の関連づけ問題
次の条件を満たしていることを前提に、100 点満点で採点します (前提が満たされていな
い場合には、たとえ定期試験で 60 点相当であったとしても不可になります)。
• 単位取得のための前提条件：
• 本日の授業終了の時点で「学習内容のチェックとまとめのシート」の未提出回数が４回
以下で、かつ、
「関連図作成シート」の未提出回数が４回以下である必要があります。
• 本日までに返却した「学習内容のチェックとまとめのシート」に「要再提出」の印が
押されている分については、19 日 (火) 午後 6 時までに必ず再提出する必要がありま
す。もし、未提出の「学習内容のチェックとまとめのシート」と「関連図作成シート」
があれば、19 日 (火) 午後 6 時までに必ず提出し、指示を受けてください。
• 本日受け取った課題は 19 日 (火) の午後１時から 6 時までの間に返却します。必ず取
りにきて「要再提出」分がないかどうかを確認しに来てください。もし、
「要再提出」
分がある場合には、22 日 (金) 午後 6 時までに提出し、必ずその場で O.K. をもらっ
てください。
• 成績算出方法：
• 上記の「単位取得のための前提条件」が 22 日 (金) 午後 6 時の時点でクリアされてい
る場合、(定期試験の成績) ＋ (学習内容のチェックの得点) ＋ (関連図作成シートの得
点) ＋ (学習内容のまとめの得点) ＋ (演習問題の得点) の合計を計算し、その値が最終
成績になります。但し、小数点以下の数字は切り上げ (0.5 → 1)、100 を超えた場合
は 100 を最終成績とします。演習問題の答案の未提出回数が 8 回未満の場合には合計
が 60 に満たなくても合格としますが、そうでない場合にはその合計が最終成績にな
ります。
• 「学習内容のチェックとまとめのシート」は、7 月 22 日 (金) 午後 6 時の時点で１枚で
も未提出あるいは要再提出のシートが残っていると不可になります。

3位 3位