fn2 = fn ,
fn Ui = Ui fn = 0(i = 1, ...n − 1) の証明
・fn2 = fn
n = 1 のとき f12 = f1 は成り立つ。
n = n-1 が成り立つと仮定する。
fn2 = (fn−1 − ∆∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 )(fn−1 −
n
2
= fn−1
−
= fn−1 −
= fn−1 −
∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 )
∆n
∆2n−1
∆n−1
2
2
2
fn−1 Un−1 fn−1
− ∆∆n−1
f
U
f
+
fn−1 Un−1 fn−1
Un−1 fn−1
n−1
n−1
n−1
∆n
∆2n
n
2
∆
2 ∆∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 + ∆n−1
2 fn−1 Un−1 fn−1 Un−1 fn−1
n
n
∆2n−1
∆n−1
2 ∆n fn−1 Un−1 fn−1 + ∆2 fn−1 (Un−1 fn−1 )2
n
∆n−1
f
U
f
n−1 n−1 n−1
∆n
= fn−1 −
= fn
よって fn2 = fn が成り立つ。
・fn Ui = Ui fn = 0
n = 1 のとき f1 U1 = U1 f1 = 0 は成り立つ。
n = n-1 が成り立つと仮定する。
i = 1,...,n-2 に対して
fn Ui = (fn−1 − ∆∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 )Ui
n
∆n−1
= fn−1 Ui − ∆n fn−1 Un−1 fn−1 Ui = 0
fn−1 Un−1 fn−1 )
Ui fn = Ui (fn−1 − ∆∆n−1
n
∆n−1
= Ui fn−1 − ∆n Ui fn−1 Un−1 fn−1 = 0
となる。また、i = n-1 に対して
fn Un−1 = (fn−1 − ∆∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 )Un−1
n
∆n−1
= fn−1 Un−1 − ∆n fn−1 Un−1 fn−1 Un−1
(fn−1 Un−1 )2
= fn−1 Un−1 − ∆∆n−1
n
=0
Un−1 fn = Un−1 (fn−1 − ∆∆n−1
fn−1 Un−1 fn−1 )
n
∆n−1
= Un−1 fn−1 − ∆n Un−1 fn−1 Un−1 fn−1
= Un−1 fn−1 − ∆∆n−1
(Un−1 fn−1 )2
n
=0
よって fn Ui = Ui fn = 0 が成り立つ。

1 p.333. 【定義 13.1–消費過程，ポートフォリオ過程，富過程 l.3–l.4. 誤 ⃝