1
4
次の各問いに答えよ．
次の各問いに答えよ．
(1) 整式 P(x) を 0 でない整式 Q(x) で割った余りを R(x) とおく．方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0
(1) 整式 P(x) を 0 でない整式 Q(x) で割った余りを R(x) とおく．方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0
の共通解は方程式 Q(x) = 0 と R(x) = 0 の共通解であることを示せ．また逆に方程式 Q(x) = 0
の共通解は方程式 Q(x) = 0 と R(x) = 0 の共通解であることを示せ．また逆に方程式 Q(x) = 0
と R(x) = 0 の共通解は方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解であることを示せ．
と R(x) = 0 の共通解は方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解であることを示せ．
(2) 整式 P(x); Q(x) を
P(x) = x4 + 2x3 + x2 ¡ 1;
(2) 整式 P(x); Q(x) を
Q(x) = x3 + 2x2 ¡ 1
P(x) = x4 + 2x3 + x2 ¡ 1;
とおく．方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解をすべて求めよ．
Q(x) = x3 + 2x2 ¡ 1
とおく．方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解をすべて求めよ．
（ 鹿児島大学 2016 ）
2
数列 fan g を a1 = a2 = 1，an+2 = an+1 + an (n = 1; 2; 3; Ý) によって定める．また ® を
5
1
を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．
®
an+1
数列 fbn g を bn =
で定める．bn+1 を bn を用いて表せ．
an
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn = 1 となることを示せ．
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn+1 ¡ ® 5
b ¡ ® となることを示せ．
® n
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn ¡ ® 5 n となることを示せ．
®
®=1+
(1)
(2)
(3)
(4)
（ 鹿児島大学 2016 ）
数列 fan g を a1 = a2 = 1，an+2 = an+1 + an (n = 1; 2; 3; Ý) によって定める．また ® を
1
を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．
®
an+1
数列 fbn g を bn =
で定める．bn+1 を bn を用いて表せ．
an
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn = 1 となることを示せ．
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn+1 ¡ ® 5
b ¡ ® となることを示せ．
® n
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn ¡ ® 5 n となることを示せ．
®
®=1+
(1)
(2)
(3)
(4)
（ 鹿児島大学 2016 ）
（ 鹿児島大学 2016 ）
3
次の各問いに答えよ．
(1) 1 個のさいころを 10 回投げるとき，1 または 2 の目が出る回数 X の期待値 E(X) と標準偏差
6
¾(X) を求めよ．
関数 f(x) = (log x)2 ¡ log x (x > 0) を考える．次の各問いに答えよ．
(1) f(x) = 0 を満たす x をすべて求めよ．
2
(2) 確率変数 X の確率密度関数が f(x) =
x (0 5 x 5 5) で与えられているとき，X の期待
25
値 E(X) と分散 V(X) を求めよ．
(2) 導関数 f0 (x) および 2 次導関数 f00 (x) をそれぞれ求めよ．また関数 y = f(x) のグラフの概
形を描け．ただし関数 y = f(x) の増減，凹凸，極限 lim f(x)， lim f(x) を明示すること．
x!0
(3) 2 つの事象 A; B について，A と B が独立なら A と B も独立であることを示せ．ただし A は
x!1
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
A の余事象を表す．
（ 鹿児島大学 2016 ）
（ 鹿児島大学 2016 ）
-1-
7
次の各問いに答えよ．
(1) 1 個のさいころを 10 回投げるとき，1 または 2 の目が出る回数 X の期待値 E(X) と標準偏差
¾(X) を求めよ．
(2) 確率変数 X の確率密度関数が f(x) =
2
x (0 5 x 5 5) で与えられているとき，X の期待
25
値 E(X) と分散 V(X) を求めよ．
(3) 2 つの事象 A; B について，A と B が独立なら A と B も独立であることを示せ．ただし A は
A の余事象を表す．
（ 鹿児島大学 2016 ）
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3位 3位