理系総合問題（ 60KB）

平成 28年度特色入試問題
《総合人間学部》
理系総合問題
1
0
0点満点
（注意）
1
. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで関かないこと。
2
. 問題は全部で 4題ある（ 1ページから 4ページ）。
3
. 解答冊子は全部で 2m
t
ある。それぞれの解答冊子は表紙のほかに 6ベージ， 8ページある。
4 試験開始後，それぞれの解答冊子の表紙所定欄に受験番号・氏名をはっきり記入すること。
表紙には，これら以外のことを書いてはならない。
5 解答は問題ごとに指定された解答冊子の解答用ベージに審くこと。ただし，続き方をはっきり
笥じ解答附子の下番き用ベージに解答の続きを惑いてもよい。この場合に限って下泰き
示して j
用ベージに警かれているものを解答の一部として採点する。それ以外の場合，下志き用ベージ
は採点の対象としない。
6 解答のための下番き，計算などは，下番き用ページに議くこと。
7
. 解答に関係のないことを詩いた答案は無効にすることがある。
8 解答冊子は，どのページも切り離してはならない。
9
. 問題冊子は持ち帰ってもよいが，解答冊子は持ち帰つてはならない。
I
nを自然数とする。複素数 z
が単位円
l
z
l=1を一周するとき，
J
(
z
)=z一
一と zn+I
n+l
(
2
0点
）
が錨く曲線の長さを求めよ。
I
I
関数 J
(
x）は 2回微分可能であり， J
(
O
)>0>f
'
(
O）かっすべての zに対し
f
"
(
x）く Oを満たすとする。
(
3
0点
）
問l J
（
）
日 =0を満たす正の数日がただ lつ存在することを示せ。
問 2 曲線 u=f
(
x）の点（
t
,
J
(
t
)
)(
0豆t壬α
）における曲線の接線と
X
i
j
i
f
l
J，およ
び u軸で閉まれた三角形の国積を S
(
t）とするとき， S
(
t）の最小値を与える
点が区間（0
,a）内にただ lつ存在することを示せ。
-1ー
直下の文章を読んで問 1∼5に答えよ。
(
2
5点
）
ある大学の物理学の教授の研究室に，その教授の講義単位を落とした大
学 4年生が，卒業単位が足りず相談に訪れたときのこと。教授は大学生に
コーヒーを出し，大学生の自の前でミノレクを加えた。
大学生「先生。私は，コーヒーはブラックしか飲みません。」
教授
fならば先に言いたまえ。」
大学生「すみません。ただ，このまま放置したらコ」ヒーとミルクが分離
することはないのでしょうか。」
教授
「さては君，授業で、エントロピーの話を開いていなかったな。それ
では，そのまま待っていて一体いつになればブラックコーヒーを飲
めるのか，少々粗っぽいが以下の単純化した問題に答えることで考
察してみたまえ。エントロピーを知らなくても考えられるはずだ。 J
間 1 コーヒーとミルクが，それぞれ単純な粒子 A と粒子 Bからなると仮
定する。ただし，ここではどの粒子も互いに区別できると考える。
また，多数のコ」ヒー粒子 Aの中に少数のミルク粒子 Bが混じって
いるとする。粒子 B どうしは互いに衝突することはないが，粒子 A
との衝突で運動が変化し，容器の中のあらゆる場所に等確率で存在
しうると考えてよい。なお，簡単のために容器は立方体であるとす
る
。
まず粒子 Bの数が 4個の場合を考える。粒子 B の位置を容器の左半
分または右半分で区別するとき，粒子 Bの全配置数 L 粒子 Bがす
べて右半分にだけ分離して分布する確率を求めよ。
間 2 間 1において，粒子 Bの速さはり＝ 100m/s とし，また，粒子 Bは
立方体の容器の一辺と同程度の距離￡ =1cm進む聞に，粒子 A と
1回衝突して運動の向きがランダムに変化すると仮定する。このと
-2ー
き，平均して % の時間ごとに粒子 Bの lつの配置が実現するもの
として，立方体の左右に一様に分布していた 4個の粒子 Bが，右半
分だけに分布するまでにかかる平均的な時間を求めよ。
問 3 問 2で粒子 Bの数が 40個，さらに 100個になった場合，一様に分
布した後，布半分にだけ分布するまでにかかる平均的な時間を、そ
れぞれ年単位で概算せよ。
問4
上記の単純化した議論から類推すると，コーヒーにミルクを入れて
かきまぜた後，何もせずに再び分離して元の状態に戻ることはある
だろうか。理由とともに答えよ。
問5
このように単純化した議論は，現実と異なる可能性がある。そのよ
うな点あるいは他にも考慮すべき点があるならば，それらを指摘せ
よ
。
-3ー
I
V 下の文章を読んで問 1,
2に答えよ。
(
2
5点
）
現在知られている生物の中で，ヒトは最も高い知能をもち，体に比してき
わめて大きな脳をもっ。これらのヒトの特徴は，ヒトの祖先が直立二足歩行
を始めたことに起因すると考えられている。これまでに知られている真の直
立ニ足歩行ができる生物はヒトを含む人類のみである。
もし将来，ヒト以上に高度な知能をもっ仮想的な生物が地球上に現れたと
すると，やはり巨大な脳をもっ可能性が高いと考えられるが，直立ニ足歩行
をしているとは限らないだろう。
問 1 歩行様式の変化がヒトの高い知能の発達と脳の痘大化を促した理由
について，複数の視点から答えよ。
間2
ヒトより高度な知能をもっ仮想、生物が直立二足歩行をしていないと
すると，それは現在知られている生物の中で，どの生物の子孫で，ど
のような生態で，どのような環境に生息していると予想されるか。そ
の仮想l
生物を図示し、その図および、そのように予想する理由を説明
せよ。
-4

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