Computer Vision

Aperture problemを解決しよう（続き３）
画像ノイズの影響を減らし、安定した解を得るために、
動きを計算したい画素を中心とする 5x5の画素の動きが
全部同じとすれば、下記の25個の方程式が得られる
 I x ( p1 )u  I y ( p1 )v   I ( p1 )
 I ( p )u  I ( p )v   I ( p )
 x 2
y
2
2



 I x ( p25 )u  I y ( p25 )v   I ( p25 )
ここで、
I

 I x  x

I
I y 

y
Aperture problemを解決しよう（続き４）
2個の未知数u,vが25個の方程式を満たすことはできない。
ここで、u,vが与えられたときの各方程式の2乗誤差の和を考
えよう。
E (u, v )   I x ( pi )u  I y ( pi )v  I ( pi ) 2
25
i 1
Eを最小になるu,vは、以下の条件式を満たす必要がある。
 E
 u  0
 E

0
 u
Aperture problemを解決しよう（続き５）
E (u, v )   I x ( pi )u  I y ( pi )v  I ( pi ) 2
25
i 1
Eを最小にする条件式を展開すると、
25
 E
 u  2 I x ( pi )u  I y ( pi )v  I ( pi ) I x ( pi )  0
i 1
 E
25

 2 I x ( pi )u  I y ( pi )v  I ( pi ) I y ( pi )  0
 u
i 1
Aperture problemを解決しよう（続き６）
E
 0 を次のように書き換えることができる。
u
 I x ( p1 )u  I y ( p1 )v  I ( p1 ) 
E


 2I x ( p1 )  I x ( p25 )


u
 I x ( p25 )u  I y ( p25 )v  I ( p25 )
 I x ( p1 ) 
E
 2  


u
 I x ( p25 )
T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  



 u  
   
   0
 

v 
 



I
(
p
)
I
(
p
)

I
(
p
)


x
25
y
25
25





Aperture problemを解決しよう（続き７）
 E
0

従って、 u
は次のようになる。
 E

0
 u
 I x ( p1 ) 
E
 2  


u
 I x ( p25 )
T
 I y ( p1 ) 
E


 2  
v
 I y ( p25 )
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  



 u  
   
   0
 

v 
 



I
(
p
)
I
(
p
)

I
(
p
)


x
25
y
25
25





T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  



 u  

   

 
0


v
 



I ( p25 ) 
  I x ( p25 ) I y ( p25 )
Aperture problemを解決しよう（続き８）
 I x ( p1 ) 
E
 2  


u
 I x ( p25 )
T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  



 u  

   

 
0


v
 



I ( p25 ) 
  I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  



 u  

   

 
0


v
 



I ( p25 ) 
  I x ( p25 ) I y ( p25 )
 I y ( p1 ) 
E


 2  
v
 I y ( p25 )
この2個の式を合併すると、次のようになる。
 I x ( p1 ) I y ( p1 ) 


2 
 
 I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  


  0
 u  
   
    
 
   0
v 
 



I
(
p
)
I
(
p
)

I
(
p
)


x
25
y
25
25





Aperture problemを解決しよう（続き９）
 I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
 I ( p1 ) 
u 


A 
 , X   , B    


v

 I x ( p25 ) I y ( p25 )
 I ( p25 )
とすると、方程式
 I x ( p1 ) I y ( p1 ) 


2 
 
 I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
  I x ( p1 ) I y ( p1 ) 
I ( p1 )  


  0
 u  

   

 
 


v
0
 





I
(
p
)
I
(
p
)

I
(
p
)


x
25
y
25
25





次のようになる。
AT AX  AT B
Aperture problemを解決しよう（続き１０）
AT AX  AT B を展開すると、
 25
2
  I x ( pi ) 
 25 i 1
 I ( p )I ( p )
x
i
y
i

i 1

 25

I x ( pi ) I y ( pi )
I x ( pi )I ( pi )



u
 
i 1
i 1




25
25


2  v 
 I ( p )I ( p )
I y ( pi ) 


y
i
i


i 1

 i 1
25
問題を解ける条件
 25
2
  I x ( pi ) 
 25 i 1
 I ( p )I ( p )
x
i
y
i

i 1

 25

I x ( pi ) I y ( pi )
I x ( pi )I ( pi )



u
 
i 1
i 1




25
25


2  v 
 I ( p )I ( p )
I y ( pi ) 


y
i
i


i 1

 i 1
25
解ける場合
T
A
A の逆行列は存在する
•
• A T A はある程度大きい
T
⇒ A Aの二つの固有値 l1と l2 微小ではない
T
• A A の良い状態： l1/ l2 は極端に大きくない
（l1 は大きいほうの固有値)
これは良い画像特徴である条件
ATAの固有ベクトル
(x,y) がエッジ上にあるとすると、ATAは?
• エッジ上の点に勾配は強くて、方向も揃っている
• エッジから離れる勾配は弱い
•
は固有値
と対応している固有ベクトルである
• ATAのもう一個の固有ベクトルは?
– Nは
と垂直のベクトルとする
– N は0の固有値と対応する固有ベクトルである。
– ATAの固有ベクトルはエッジの方向と強度に依存する
Edge
AT A 
– 勾配は大きいが、一様である
– large l1, small l2
Low texture region
– 勾配は小さい
– small l1, small l2
High textured region
– gradients are different, large magnitudes
– large l1, large l2
考察
オプティカルフローの推定問題は二つの画像間の問題です
が、
• 一枚の画像を見るだけで、解の安定性がわかる!
• それはどの画素が追跡しやすく、どの画素が追跡しに
くいかを教えてくれる
– 特徴追跡を行うときに大変役立つ...

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