F(s) - Indico

電子回路
放射線計測エレクトロニクスの信号処理の為の
アナログ電子回路の基礎
第五回
村上浩之
Jun.09. 2010
目次（３）
• 回路の基礎
– ２端子回路
• 有能電力
– ４端子回路
– 伝達関数とインパルス応答関数
– ラプラス変換
– 等価回路
• 帰還増幅回路
Jun.09. 2010
２端子回路網
鳳・テブナンの定理（等価電圧源の定理）
1

Zo

任意の回路網を含むBlack box回路で


Zo
Vo
Vo
開放端電圧 Vo

開放端インピーダンス Z o
1
Back
box

2






Vo




Z I
I
2

が判れば(a)の回路は(b)の回路と
等価である。


1
Zo

2
(b)
(a)




Vo
端子１−２間に Z なる
インピーダンスを接続すれば
流れる電流は

Zo  Z
 

 V
I  o 
Zo  Z

V  IZ

となる。

端子１−２間の電圧は V  I Z
となる。

Jun.09. 2010
 


２端子回路網
ノートンの定理（等価電流源の定理）
1
1
Black
box
●




Is ≡
Yo
Is
2
Yo
●
2





(a)の様な短絡電流 I s 
と開放端アドミタンス Yo
が判ればBlack box (a)の
回路網は(b)の回路と

等価で在る。 
1

●



I s Yo
Y
●
2


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

V

Is

Y o Y
端子１−２間に Y
なるアドミタンスを 
接続すれば電圧 V
が現れる。




２端子回路網
電圧源回路と電流源回路の等価変換
1


1

V  Z L IL
Zo


ZL
Vo

＝


Is
Yo




Yo


 1 Zo
ZL
2
(b)


電圧源回路(a)と電流源回路(b)は接続した同じ負荷インピーダンス Z L
に等しい電圧と電流を供給する事が出来、両者は等価に交換出来る。

Jun.09. 2010

V  Z L IL

2




(a)


２端子回路網
等価電圧源回路網と等価電流源回路網は等価

IL


Zo


V  Z L IL

Vo 




ZL
Is
Yo

Yo


 1 Zo


IL






同じ負荷インピーダンスに対して同じ電圧を生じさせる
等価電圧源２端子回路網と等価電流源２端子回路網は
等価で互いに交換する事が出来る。
Jun.09. 2010

V  Z L IL



ZL
２端子回路網
有能電力
開放電圧VO 、内部インピーダンスZO、
短絡電流ISの信号源に負荷インピーダ
ンスZLを接続した時出力電圧VLと電流IL
は次の様になる。
信号源
IL
ZO
VO
VL
ZL
ZL
VL 
VO
ZO  Z L
信号源からZLに取り出される
電力PLは次の様になる。
ZL
2
PL  VL  IL 
V
O
(ZO  Z L ) 2
2
Z
2
O  ZL


I
S
(ZO  Z L ) 2
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VO
IL 
ZO  Z L
Z Z
 O L  IS
ZO  Z L
ZO=Zlのとき電力PLは
最大電力Pmになる。
Pmを有能電力という。
1VO2 1
Pm 
 ZO IS2
4 ZO 4
ZO

 IS
ZO  Z L
4端子回路網
I2
I1
V1
 .  . .  . 
V.1 A. B. V.2 

C D

I1 
 
I2 

.
基本行列
.
.
.
A
D.B C.  1
.
1
回路網
1’
.  . 
.   .
Y12 V1 
I.1  Y11
.
.
.





I2  Y21 Y22V2 

アドミッタンス行列
2
2’
V2
. . 
 .   .
V.1  Z.11 Z.12 I.1 

V2 
 
Z 21 Z 22

I2 

インピーダンス行列
.  . 
 .   .
h12 I1 
V.1 h11
.
.
.





I2  h21 h22V2

ハイブリッド行列
A  (V1/V2 )
I20


出力端子を開放した時の電圧V
1とV2の比
B  (V1/I2 )V20
出力を短絡した時のV1とI2の比：短絡伝達インピーダンス
C  (I1/V2 )I 2  0
出力端子を開放した時のI1とV2の比：開放伝達アドミッタンス
D  (I1/I2 )V2  0
出力端子を短絡した時の電流I1とI2の比
.
.
.
.
.
.
.
Jun.09. 2010
.
.
４端子回路網
４端子回路網
FETの等価回路

信号源
I1




V1


ZG

〜 VO



電圧増幅率は



ZO

I 2  gm V 1
V2


 gm Z L

となる。
V2

ZL



入力信号と出力信号がラプラス変換した周波数領域の場合は

V 2  G(s)V 1

G(s)
となり
を伝達関数という。



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入力信号 V1 がインパルス信号（δ(t)関数）のとき
出力信号はインパルス応答 h(t) となる。


V 2  Z L I 2
V1


４端子回路網
伝達関数の縦続接続
入力
X(s)
G1(s)
G0(s)
G2(s)
G3(s)
G0(s)
但し、G0(s)=1で入力インピーダンス∞Ω
出力インピーダンス 0Ωとする
G0(s)
増幅率１の緩衝増幅器
G1(s),G2(2),G3(s),・・・GN(s)は伝達関数がGN(s)の増幅器
G(s)を全体の伝達関数とすると G(s)=G1(s)×G2(s)×G3(s)×・・・×GN(s)
出力信号Y(s)は
Y(s)＝G(s)X(s)
となる。
インパルス応答 h(t) は X(s) が 1 のとき（X(t)=δ(t)のとき）の出力の応答で
h(t)  L1Y(s)  L-1 G(s)
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出力
Y(s)
伝達関数の特性
増幅器の入力信号と出力信号の関係を特徴付けるもので入力信号が電圧か電流、
出力信号が電圧か電流でその組み合わせで伝達関数が特徴付けられる。
入力信号
出力信号
伝達関数の特性
／電圧
増幅器の特徴
電圧
電圧
電圧
電圧
電流
電流／電圧
トランスコンダクタンス
増幅器
電流
電圧
電圧／電流
トランスインピーダンス
増幅器
電流
電流
電流／電流
電流増幅器
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電圧増幅器
ラプラス変換
時間 t の関数ｆ（ｔ）のラプラス変換 F(s) は
F(s)  L  f (t) 


f (t)est dt
0
Sはラプラス演算子と言われ
複素数 S=σ+jω （但し σ ωは実数）
積分が求まるには lim f (t)est  0
t 
を満足する s を
選べば良い

F(s) のラプラス逆変換 f(s) は
c  j

1
f (t)  L1F(s) 
F(s)e st ds

2j c j
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但し、 t＜0 で f(t)=0
t≧0 で f(t) は連続
ラプラス変換・逆変換の例
f (t)
df (t)
dt
sF(s)  f (0 )
t






f (t)u(t)
f (t  a)u(t  a)

u(t) 
u(t  a)

 (t) 
F(s)eas

1
s
1 as
e
s
n
At
at
e 
A
ba


 a  at
1 t te
 2 
R

j L

n!
sn 1
1
s a



1
jC
1

F(s)
t n1 at
e 
(n 1)!
1

(eat  ebt )
F(s)


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
F(s) G(s)
f (  t)  g( )d
0

1
F(s)
s
f (t)dt 
0
t
f (t)
F(s)
 
1
(s  a) n
1
(s  a)(s  b)
s
(s  a) 3
R
sL
1
sC
ラプラス変換領域での等価回路
R
伝達関数は
V1(s)
C
V2(s)
G(s) 
1 sC
1
1 RC


R 1 sC sRC 1 s 1 RC
となる。
入力信号がステップ関数のとき

v1(t)  u(t)
1 RC 1
V2 (s)  G(s)V1 (s) 
s 1 RC s


ラプラス逆変換をすると出力波形は
v 2(t) = L1 V2 (s)  1 e
となる。
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
t
RC
ラプラス変換領域での等価回路の例
CR １階微分・RC N階積分波形整形回路
＋１倍
緩衝増幅器
CR微分
１段目
Ｖi
C
R
R
＋１倍
緩衝増幅器
RC積分
１段目
R
C
1
Vi (s) 
s
RC積分
N段目
C
入力信号が
ステップ関数
とすると
ラプラス変換をした
入力信号Viは
全体の伝達
関数G(s)は
 1 N
s
1 RC
1 RC
s
G(s) 


  
s  1 RC s  1 RC
s  
1 RC RC  s  1 RC N 1
Vo s  G(s) Vi

ステップ関数が入力端に
加わった時の出力信号

波形Vo(t)は
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出力信号Voは
Vo
N
t



1
t
Vo t   L1Vo s    e RC
N! RC 
となる。
帰還増幅器

+

G

Vi
Vo



F


G を増幅器の開利得（オープンループ利得）、


入力信号電圧 Vi と出力信号電圧
 Vo の

F を帰還率として

F 倍を加算して増幅器の入力に加えると
    
Vo  GVi F Vo 






 

帰還増幅器の閉利得（クローズドループ利得）を
G f とすると
   
G f  Vo Vi  G 1 F G




 




 
 
0  F G  1 のとき正帰還増幅器、 F G  0 のとき負帰還増幅器、 F G 1 発振
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
帰還増幅器の増幅率
   
G f  Vo Vi  G 1 F G






帰還増幅回路の閉ループ利得は
となるが帰還量の大きさと極性は増幅回路の特性を決めている。
 
FG 0
の時、閉ループ利得
 


G f は開ループ利得 G より小さくなる

 F G 1 であれば閉ループ利得は

    
G f Vo Vi  G 1 F G 1 F









となり、 G f は G に依存せずに
F の逆数で極性が反転した利得となる。

F は一般的には線形な受動素子で構成するので利得は受動素子のみの特性で決められる
 



0  F 
G  1 の時は分母が１より小さくなり G f は G より大きくなる。

 


F G 1 の時は分母が 0 となり閉ループ利得 G f は無限大になり発振する。

 
 
F G 1 を通過するので発振する。
G は最初はゼロなので F G 1の場合は必ず

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
帰還増幅器の種類
1. 電圧直列帰還
– 出力電圧に比例した帰還電圧を入力へ直列に帰還する。
2. 電流直列帰還
– 出力電流に比例した帰還電圧を入力へ直列に帰還する。
3. 電圧並列帰還
–
出力電圧に比例した帰還電流を入力へ並列に帰還する。
4. 電流並列帰還
– 出力電流に比例した帰還電流を入力へ並列に帰還する。
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電圧直列帰還


Ii
Io



Vi
Vi

G







F Vo


F
出力電圧に比例した帰還電圧を入力へ
直列に帰還する。

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
Vo
電圧並列帰還

Ii
Ii






G
Vo


F
出力電圧に比例した帰還電流を
入力へ並列に帰還する。

Jun.09. 2010
Io

 F Vo




電流直列帰還

Io


Vi
Vi


G
Vo


 


F Io

F


出力電流に比例した帰還電圧を
入力へ直列に帰還する。

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電流並列帰還


Ii
Ii


 
 F Io


G
Vo

F

出力電流に比例した帰還電流を入力へ
並列に帰還する。

Jun.09. 2010
Io




電圧直列帰還増幅器の例



G


F Vo
Vi
Vo



F





Vi
Vo 

F
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


Z1 Z 2

Z2

Vi
電圧並列帰還増幅回路の例

G が大きければ
Vi  
Vo


Vi
G 
 F Vo
G


1 を仮想接地と言う。


Zi 
Vi


Ii

Vo  
 


FG

Ii

F
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
1
F


  Z f Ii




1
0

F
Ii





Vo

が R のとき電流ー電圧変換器

F が C のとき電流積分器（電荷増幅器）

F
が L のとき電流微分器
Jun.09. 2010

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