左点がカバーされる

全探索を忘れるな
まずは何をさておき「全通り試す」計算の計算量を確認
凸関数じゃないですか (最大値/最小値を求める問題)
最大値/最小値は凸関数なら賢さ不要で数値的に三分探索できる
目的関数を固定する (最大値/最小値を最小/最大化する問題)
「最小値 x にできる？」という問題なら簡単に yes/no 答えられる？
ならば x を全探索。単調ならば二分探索。
前から順に固定する (辞書順最小を求める問題)
「1文字目をaにしたら解がある？ない？」を繰返し１文字ずつ決める
黙ってグラフにしてみよう
探索→状態空間がグラフ。グループ分け→最小カット。整数→mod N で N 点グラフ
二部グラフではないですか
特に二部グラフにならないか注意深く観察しよう。チェス盤白黒など
条件反転してみよう
「○○を満たす物は何個？」 → 「○○を満たさないものは何個？」
期待値ならば線形性
n4
604 ≒ 1300万
1304/4!≒1000万
n5
255 ≒ 1000万
705/5!≒1400万
巨大なメモ化はmapにしない!
Σ nk
Σ<404≒2000万
≒ nk+1 / k+1
配列にすると20倍は速い
3n
315 ≒ 1500万
問題を分解 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)
小さいところで規則を探す (数学ゲー)
小さい入力を全探索して眺める
無根拠決めつけ全探索
C
2n n
実はこのケースだけ考えれば十分なのでは？と決めつけ突撃
するときは、計算時間の許す限り他のケースも調べるコードを書く
26C13
≒ 1000万
≒ 2n / √n
二部グラフ
ツリー
n次元グリッドの縦横隣接関係
2次元グリッドのセル
最小辺カバー
任意
最大マッチング
二部グラフ
DAG
二部グラフ
最小独立Pathカバー
推移律
最小点カバー
任意
最大独立点集合
最大マッチ
（最大独立辺集合）
P
二部グラフ：P
max E’ ⊂ E where
∀e1, e2 ∈ E’. e1 disjoint e2
一般：O(V4) 等らしい
Proof: 交代路の一般化とか
二部グラフ： O(VE)
Proof: 左から右に最大フローを流す。
NP-Hard
最小点カバー
二部グラフ：P
min V’ ⊂ V where
∀e ∈ E. e intersect V’
最大マッチ ≦ 最小点カバー
V2
V1
Proof: 最大マッチに含まれる辺集合を覆うには
最低でも、それだけの点が必要
【二部グラフ】 [König1931]
最大マッチ＝最小点カバー
V0
V0
V0 = マッチング E’ に含まれない左点集合から
交代路によるBFSをする（奇数ステップではE’以外
の辺、偶数ではE’の辺で進む）。E’ のうち交代路に
含まれた辺では右点、else左点を取ると点カバー。
Proof:
・ E’の辺は明らかにカバーされる。
・奇数長交代路があると反転して最大マッチを伸
ばせるので交代路は偶数長。カバーされる。
・入らない辺は、V0 の構成より左点がマッチング
に含まれている。そのマッチング辺が交代路に含
まれない→左点がカバーされる。含まれる→今の
辺の行き先は交代路の右点。カバーされる。
NP-Hard
最大独立点集合
二部グラフ：P
max V’ ⊂ V where
∀e ∈ E. e ⊈ V’
|V| - 最小点カバー
＝最大独立点集合
Proof:
点カバー＝全ての辺で、どっちかの端は押さえる
独立点集合＝全ての辺で、両方押える事はない
よって最小点カバーの補集合をとれば、
最大独立点集合。
P
最小辺カバー
二部グラフ：P
min E’ ⊂ E where
∀v ∈ V. v intersect E’
(or, in short, min E’ where V=∪E’ )
Meaningful only when no isolated vertex
最小辺カバー
＝最大マッチ＋残り頂点数
＝ |V| - 最大マッチ
Proof:
つまり最大マッチを計算して、あぶれた頂点それ
ぞれについて一つずつ辺を足す。
≦ は自明。
≧。極小辺カバー E’ をとり、E’ に限定した最大マッ
チを M とする。点を覆う貢献を数えると
|M|*2 + |E’-M| ＝ |V| 。よって |E’|=|V|-|M|。
よって |E’| が全体の最大マッチを含む時最適。
最小独立Pathカバー
NP-Hard
(有向グラフ ; 無向でも二重化するだけ)
DAG：P
min P ⊂ P(V) where
V = disjoint union of P
and ∀p∈P. p is a path
[Gallai & Migram 1960]
最小Pathカバー
≦ 最小独立Pathカバー
≦ 最大独立点集合
【推移律のあるグラフ】
最小Pathカバー＝MIS
Proof: ≧がすぐ言える。
独立なの全部別でカバーするしか内。
Proof:
Pathの最後の頂点の集合を ter(P) と書く。
「ter(P) が極小なら |ter(P)| 個のMISを取れる」
を |V| に関する帰納法で示す。
- ter(P) が独立なら証明完。
- ter(P) が独立でない、 v2-> v1 だったとする。
v1を削ったグラフでのP’=P–v1も極小な事を示す
（そうすれば帰納法より|P’|のMISが取れる）
v1の直前以外が減ったもっと小さいPathカバーが
あったとするとPの極小性に反する。v1が減ったと
するとv2にv1を繋げられるのでやはり反する
NP-Hard
最小独立Pathカバー
強制二部グラフ化（src/dst 分離）
G = (V, E)
 G’ = (V∪V’, {(v,u’) | (v,u)∈E})
DAG：P
min P ⊂ P(V) where
V = disjoint union of P
and ∀p∈P. p is a path
|V| - 最小独立Pathカバー
≦ 強制二部の最大マッチ
【DAG】
|V| - 最小独立Pathカバー
＝強制二部の最大マッチ
Proof:
最大マッチを求めて属す辺をすべてとる。
マッチに関われなかった頂点を単独でパスと
して入れる。すると独立Pathカバーである。
・マッチングなので枝分かれ合流はできない
・ DAGなので、サイクルもできない。∴独立Path
・カバーなのは構成より。
サイズは → の議論より。
Proof:
独立Pathカバーの辺を全部突っ込むとマッチング
である。（独立Pathなので枝分かれや合流なし。）
k本の独立PathカバーPの頂点数は k+|P| =|V| な
ので、|V| - k のマッチングがこれで得られる。

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