Resolution study
impact of the relative movement
細かい計算は修論に提示するとして、ここではMuTrにおける運
動量分解能の定義とその量を概算し、Alignmentの必要性を明
示する。
運度量測定の概要
μ
l1
図１：MuTr内におけるミューオンの飛跡
l2
muon tracker 内ではmuon magnet による磁場の存在により、ミューオンは円周方
向（ azimuthal direction ）に曲げられる。私たちはミューオンの運動量を sagitta と
いう st1 と st3 のヒット点を直線に結んだ際の st2 における内分点と st2 での実際
のヒット点との差分を表す量を用いる事で同定する。図２は、ミューオンの描く曲線
を表している。station１,２,３のヒット点をそれぞれ A(x１), B(x２), C(x３) としている。
sagitta は線分BCである。
A： hit on station1
B： hit on station2
C： hit on statin3
O：線分ACの中点
P： 線分ACと線分OBとの交点
S： 線分ACと station2 との交点
r ：曲率半径
station１
A
station ２
E
station ３
D
B
P
S
Δd
r
C
θ１
θ２
r
O
図２：MuTr内におけるsagittaの定義
図１にあるように、l1とはst1とst2の間の距離であり、l２はst2,st３間の距離である。
ミューオンは円周方向に曲がるので、ベクトルBSはその円周方向の成分で定義される。
それ故、私たちは３次元成分のベクトルの内、円周方向のみを考えるとsagittaは以下
の式の様にスカラー量として定義される。
sagitta º BS
1
=
{l2 (x1 - x2 ) + l1 (x3 - x2 )}
l1 + l2
ºs
また、幾何学的にガンバッて計算すると以下の式まで辿り着く。
l1l2
s=
2r
また、MuTr内でのミューオンの運動量（ptrとして定義）と曲率半径との間には以下の
様な関係式が成り立つ。
ptr = 0.3Br
ここで言う、Bとは磁場の強さである。
上記の２つの式より、sgitta とptrの関係は以下の様になる、
l1l2 æ 0.3B ö
s= ç
÷
2 è ptr ø
または、
l1l2 æ 0.3B ö
ptr =
ç
÷
2 è s ø
つまり、sasitta s の量が分かればMuTr内でのミューオンの運動量 ptr が求まる。
Considering Energy Loss
ptr とはMuTr内でのミューオンの運動量であり、本来のミューオンの運動量はハドロ
ン吸収材の中でエナジーロスをしている。したがって本来のミューオンのエネルギーを
Eとし、nosecone と central magnet におけるエネルギーロスをそれぞれΔE１、ΔE２と
すると、
E = Etr + DE1 + DE2
p2 + mm2 = ptr2 + mm2 + DE1 + DE2
Muon Trackerの中では、吸収材の効果によってミューオンは典型的に２GeV以
上の運動量を持っているとされる。なので、MuTr外でのエネルギーロスは以下
の式のようになる。それ故、近似的にミューオンの質量は無視する事が出来る。
DE º DE1 + DE2 » 1GeV
したがって、ミューオンの運動量 p は
p = ptr + DE
l1l2 æ 0.3B ö
p=
ç
÷ + DE
2 è s ø
Single muon momentum resolution
p = ptr + DE
この式より、MuTrの運動量分解能を誤差伝搬の式に従って以
下のように見積もった。また、運動量 p に対する相対誤差を分解
能と定義するため、全体を p を割っている
2
2
æ ¶p ö
æ s p ö æ ¶p ö æ s ptr ö
÷ ç
÷
÷ + åç
ç ÷ =ç
è p ø è ¶ptr ø è p ø
i è ¶DEi ø
2
2
æ s ptr ö
æ sDEi ö
=ç
÷ + åç
÷
p ø
è p ø
i è
2
2
æ sDEi ö
ç
÷
è p ø
2
2
æ ptr ö æ s ptr ö
æ sDEi ö
=ç ÷ ç
÷ + åç
÷
p
p
p
è ø è tr ø
ø
i è
2
2
æ p - DE ö
=ç
÷
è p ø
2
2
æs p ö
s
DEi
ç tr ÷ + å
p2
è ptr ø
i
2
σptr: the momentum resolution of MuTr
σEi: fluctuations of energy loss due to
energy straggling
MuTr分解能 エネルギーロスの不確定性
要点
Muon Arm に於けるミューオンの運動量 p の定義
p = ptr + DE
Muon Tracker に於けるミューオンの運動量 ptr の定義とsagitta
l1l2 æ 0.3B ö
ptr =
ç
÷
2 è s ø
s=
1
{l2 (x1 - x2 ) + l1 (x3 - x2 )}
l1 + l2
Muon Tracker に於けるミューオンの運動量分解能
æ s p ö æ p - DE ö æ s ptr ö
s 2 DEi
÷ +å 2
ç ÷ =ç
÷ ç
p
è p ø è p ø è ptr ø
i
2
2
2
Momentum resolution of the muon tracker
この項の概算
æ p - DE ö
ç
÷
è p ø
2
æs p ö
ç tr ÷
è ptr ø
Tracker内の運動量はsagittaを用いて以下の式で表せる。
2
l1l2 æ 0.3B ö
ptr =
ç
÷
2 è s ø
したがって、そのMuTr内の運動量分解能は以下の様に算出させる。
negligible
negligible
sagitta erorr
以後、MuTrの運動量分解能はsagittaの誤差のみに
依存すると考え話を展開する。
この項を無視していいの
かという疑問に対しては、
確信はないが。。ここでは
正確に磁場マップが測ら
れてるとする。
the resolution of sagitta
以前に述べたように sagitta は各 station でのHit positionを用いて以下の
式で定義される。
s=
1
{l2 (x1 - x2 ) + l1 (x3 - x2 )}
l1 + l2
従って、sagittaの分解能は以下の式で表す事が出来る。
negligible
negligible
したがって、sagittaの分解能は各stationに於ける円周方向の位置分解
能によって決定される。
the position resolution of each station
station１の位置分解能 ＝ cthode strip chamber の分解能のみ
s x1 = s strip1
station２の位置分解能 ＝ cthode strip chamber の分解能 ＋ station間のAlignment
s x2 = s strip2 + s relative
ここで、３つのstation間での動きによる分解
能への影響をすべてstation２への分解の中
へまとめた。
station３の位置分解能 = cthode strip chamber の分解能 ＋ st2での多重散乱
s x3 = s strip3 + s ms
station３での位置分解能はstation２での多
重散乱による広がりの効果を受ける。
multiple scattering fluctuation
ここでは、station2 に於ける多重散乱による影響について考える。
multiple scattering は次の式で定義されている。
station2 での放射長は元々のデザイン状は 0.1%であるが、その後ノイズ対策のため
チェンバー表面にアルミホイルを 貼っている。この追加により現在ではトータルの放
射長は 0.2%となっている。
再検討の余地あり！！
この項で発散する。
Momentum resolution of the muon tracker
以上のような効果を考慮して、sagittaの分解能の定義式を表すと以下の結果となる。
2
2
2
2
æ s s ö æ l2 ö æ s strip1 ö æ s strip2 ö æ s relative ö æ l1 ö æ s strip3 ö æ l1 ö æ s ms ö
ç ÷ =ç ÷ ç
÷ +ç ÷ ç
÷
÷ +ç
÷ +ç
÷ +ç ÷ ç
è s ø èLø è s ø è s ø è s ø èLø è s ø èLø è s ø
2
2
2
2
2
つまり、
sagittaの決定精度 ＝ each chamber resolution + Alignment + 多重散乱
ここで、各chamberのデザイン位置分解能は100μmであるから、各stationに於ける位
置分解能は以下のようになる。
ここ再検討の余地あり！！
だって100μmないだろ
この項の概算
å
i
s DEi
2
p2
Energy straggling
DE º DE1 + DE2 » 1GeV
nose cone
moun magnet
Energy straggling of the Nose Cone
Energy straggling of the Central Magnet
Energy straggling
つまり、こう成ります
次、まとめます！！
！！超要点！！
æ s p ö æ p - DE ö æ s ptr ö
s 2 DEi
÷ +å 2
ç ÷ =ç
÷ ç
p
è p ø è p ø è ptr ø
i
2
2
2
æ s ptr ö æ s s ö2
ç
÷ =ç ÷
è p ø è s ø
2
2
2
2
2
2
2
æ s s ö æ l2 ö æ s strip1 ö æ s strip2 ö æ s relative ö æ l1 ö æ s strip3 ö æ l1 ö æ s ms ö
ç ÷ =ç ÷ ç
÷ +ç ÷ ç
÷
÷ +ç
÷ +ç
÷ +ç ÷ ç
è s ø èLø è s ø è s ø è s ø èLø è s ø èLø è s ø
2
2
DE = DE1 + DE2 = 936.6 / cosq[MeV ]
æ ¶p ö
åç ¶DE ÷
iø
i è
2
2
æ sDEi ö æ 6.50 ´10-4 ö æ 1.35´10-3 öæ 0.2514[GeV ] ö
÷+ç
÷ç1ç
÷ =ç
÷
p
cos
q
cos
q
pcosq ø
è
ø è
ø è
øè
2
各項のエネルギー領域による振る舞い
æ s p ö æ p - DE ö
ç ÷ =ç
÷
è pø è p ø
2
2
2
æs p ö
s
DEi
tr
ç
÷ +å 2
p
è ptr ø
i
2
この項の存在により低エネルギー領域ではMuTrの分解能は目立たない。
逆に、エネルギー損失の変動が支配的となる。
この計算における sagitta の運動量依存性
North Arm
0.72[T・m]
theta = 15°
横軸: p
この計算における sagitta の運動量依存性 (pt=25GeV~40GeV)
North Arm
0.72[T・m]
theta = 15°
横軸: p
Momentum Resolution North Arm
Set Parameter
・ each chamber resolution : 1００μm ！！と仮定
ミューオンが飛んだ角度は15°
Momentum Resolution North Arm
Set Parameter
・ each chamber resolution : 1００μm ！！
ミューオンが飛んだ角度は15°
高運動量領域では
station 間の相対位置の精度が
支配的になる
Momentum Resolution North Arm
Set Parameter
・ each chamber resolution : 1００μm ！！と仮定
ミューオンが飛んだ角度は15°
低運動量領域では
station 間の相対位置の精度
によるインパクトは少ない
Momentum Resolution North Arm
Set Parameter
・ each chamber resolution : ２００μm ！！と仮定
ミューオンが飛んだ角度は15°
Momentum Resolution North Arm
Set Parameter
・ each chamber resolution : ３００μm ！！と仮定
ミューオンが飛んだ角度は15°
chamberの位置分解能が結構効くと
いう事ですね。
実際の chamber 位置分解ってどんなもんなのか？
仮想 MuTrに実際のノイズレベルを
ぶっ込むとchamberの位置分解能
は・・
150〜170μmらしいっすね。
実際の運動量分解ってどんなもんなのか？
cosmic data からのSimulation結果によると運動量分解能は pt 40GeVで２５％
てか、なんで高エネルギー領域で分解能さってんの？あれ、あれ、あれ、まぁいいや。
という事で、chamberの位置分解能を1７０μmと仮定し実測値と比べる。
Pt 40GeVで２５％とかだったから、位置分解能以外に運動量分解能を悪くしてる要素
を全てAlignmentだとすると最大200μmズレてる可能性がある。
summary
Muon Armにおいて、
運動量分解能は内部でのエネルギー欠損分の不確定性とMuTrのsagittaの決定
精度によって決定される。
また、sagitta の決定精度はMuTrの各gapでの位置分解能と多重散乱、 そして
station間のAlignmentの精度に依存する。
高運動量領域ではstation間の相対位置の変化が運動量分解能を悪化させる支
配的な原因となる。
実験で求められた運動量分解能は、MuTrのベストパフォーマンスを仮定した際の
それより１０％程度悪い。この影響の１つがmiss alignmentであると仮定すると最大
で200μmのmiss Alignment が内在する可能性がある。
しかし現状はphysics run中に、このstation間Alignmentの精度を評価するための
ツールはない。
次の章の予告ってか、これから述べる研究方針
この研究により、
MuTrのmiss alignment を見積もる独立した２つの手法OASysとZero field
residual解析を比べる事で以下の項目を検証する。
・ そもそのOASysがMuTrの動きに感度があるのか？
・ MuTrは実験期間中にどの程度、変形・変位しているのか？
また、シュミレーションから求まった運動量分解能から現状におけるalignment
精度に上限を掛ける事が本研究の目的である。
それなのに
ラヴァーズは何故ッ
なぜ目の前の絶望の絶望に目を向けず
破滅へ突き進もうとするのか
やはりこの世界は
救う価値などなのか
僕はとても悲しい。
みんな出来る子だというのに
「黒点」だ。
「黒点」が潜んでいる。
Good Vibration ！！
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