講演ファイル

湯川記念財団・木村利栄理論物理学賞記念講演於京都大学基礎物理学研究所 2011年1月19日
量子重力理論とホログラフィー原理
高柳匡
東京大学数物連携宇宙研究機構 (IPMU)
内容
①
②
③
④
ホログラフィー原理とは
ホログラフィーの最も簡単な例：２次元超弦理論とタキオン場
ホログラフィーとエンタングルメント：量子情報の幾何学化
結論と今後の展望
① ホログラフィー原理とは
重力理論の量子化（量子重力理論）は、理論物理の最大の
問題の一つ。理論的な興味のみならず、たとえば、宇宙がビッ
クバンなどを通してどのように無から生まれたか理解する上で
必要不可欠。
量子重力理論の最有力候補 ⇒ 超弦理論 (Superstring)
成功例：ブラックホールのエントロピーの微視的導出
[Strominger-Vafa 96’,…]
この時、超対称性が重要な役割 ⇒ 静的(Static) な背景
しかしながら、現在でも時間に依存する（ダイナミカルな）時空
の超弦理論による記述は、特別な例を除いてよく理解されてい
ない。例えば、宇宙創成や、ドジッター時空の量子重力理論が
どのようなものか分かっていない。
この理由は、
(1) 超弦理論が非摂動的に定式化されていない。
(2) 超弦理論の摂動計算も、曲がった時空では、技術的に困難。
この問題点を大きく改善するアイデアが、ホログラフィー原理で
ある。これを用いると、量子重力の計算を我々のよく知っている
量子多体系の計算に置き換えることができると期待される。
ホログラフィー原理とは
重力理論において、多くの物質を十分小さな空間に詰め込んで
行くと、ある質量に達したところで重力崩壊してブラックホール
になる。
大量の物質
ブラックホール
地平線
ブラックホールは、その中の状態を外にいる観測者が知ること
ができない。光ですら、地平線から外に出ることが不可能。
ブラックホールの内部には隠された情報がある。
＝ブラックホールのエントロピー
ブラックホールのエントロピーは、Bekenstein-Hawkingの
面積公式で与えられる。（熱力学とのアナロジー）
S BH
Area(地平線)

4G N
このような考察から、重力理論において、与えられた領域Ａ内の
エントロピーの上限が、
Area( A)
S ( A) 
4G N
と求められる。（∂Aは、Aの境界部分）
この不等式をエントロピーバウンドと呼ぶ。（Boussoバウンド）
従って重力理論では、ある領域内のエントロピーは、高々表面積
に比例する。 cf. 場の量子論、もっと一般に量子多体系では、エント
ロピーは体積に比例する。
重力理論の自由度は、体積ではなく、面積に比例する。
このようにしてホログラフィー原理が提案された。[‘t Hooft 93’, Susskind 94’]
M d 1
Boundary
ホログラフィー原理
(d+2)次元の（量子）重力理論 on M
＝ (d+1)次元の非重力理論（～量子多体系） on ∂M
M d 2
Bulk
非摂動的に定義された
計算可能な理論
超弦理論におけるホログラフィー
このように、ホログラフィー原理は、量子重力の非摂動的な定
式化を与えると期待される。その具体的な例は、超弦理論の
様々な場合を考察することで得られる。超弦理論においては、
ホログラフィー＝開弦と閉弦の双対性（の極限）
open-closed duality
と解釈される。
開弦
⇒
ゲージ理論（非重力）
閉弦
⇒
重力理論
ＤpブレインＮ枚
＝(p+1)次元の
とても重い板
閉弦
ブレインを重力理論の背景
と思う＝時空が曲がる
さらに、ブレイン近傍を拡大
ブレイン上の
低エネルギー有効理論
開弦
(p+1)次元のSU(N)ゲージ理論
=
曲がった空間における
超弦理論
② ホログラフィーの最も簡単な例：２次元超弦理論
ホログラフィーの成り立つ最も簡単な例は、時空の次元が２次
元の超弦理論である。２次元では、重力がダイナミカルではな
いが、他にスカラー場なども付随するので、全体としてダイナミ
クスを持った系になる。
この理論は、２次元Type 0超弦理論と呼ばれ、非摂動的に安
定で、厳密に解けるダイナミカルな量子重力理論として貴重な
模型である。このホログラフィック双対は、行列量子力学で与え
られる。
[Toumbas-高柳 03’, Douglas-Klebanov-Kutasov-Maldacena-Martinec-Seiberg 03’]
２次元Type 0超弦理論
通常、超弦理論の時空の次元（臨界次元）は、１０次元である。
しかし、ディラトンを空間座標に依存させる（linear dilaton)と臨
界次元を変わる。非臨界弦理論とも呼ぶ。[Polyakov81’…]
世界面の超対称性N=1を仮定する（ cˆ  1 String とも呼ばれる)。
弦の世界面上の場：
( X , ) 
cˆ  1
( , )
cˆ  9
時間方向
空間方向
（リュービル理論）
0
0
1
弦理論の結合定数： g s  e 2  　が大きいと発散して
しまう。
そこでリュービルポテンシャルを導入して次の世界面の作用を
考える。
1
2
2

S
dz
d

[
D

D



e
].


2
波は反射される
弱結合
ポテンシャルの壁
φ
強結合
GSO projectionの取り方で、Type 0AとType0Bの二種類の超弦
理論が定義できる。それぞれのmassless場は以下の通り。
Type 0A 理論
NSNS セクター：  NS
RRセクター： (C(1) , C( 2) )
⇒ massless スカラー場
⇒ ２種類のRRベクトル場
（ダイナミカルな自由度なし）
Type 0B 理論
NSNS セクター：  NS
RRセクター：  R
⇒ massless スカラー場
⇒ RR スカラー場
両者は、T-dualityで関係付き、以下では主に0B理論を考える。
ホログラフィック双対：Type0B行列模型
(1+1)次元のType0超弦理論＝(0+1)次元の‘ゲージ理論’
（行列模型）



S 0 B   dt Tr ( Dt M )  U (M ) ,

2
行列M　(t )は、 N  Nのエルミート行列であ
る。
共変微分を、 Dt M   t M  i[ At , M ], とすると、
U ( N )ゲージ対称性 : M  gMg 1 を有する。
また、特にポテンシャ
ルは、次のようにとる
：
U ( M )   M 2  逆調和振動子型
(0 A理論は、 Mを複素行列として、
U ( N１ )  U ( N２ )ゲージ対称性。）
ゲージ対称性を用いて、Ｍを対角化する。
gMg
1
 1






2






n 
この時、Ｎ粒子の自由なフェルミオン系と等価になる。
 2

H  i 1 
 U (i )  ,
 i






(

,

,....,

)

(



)

1
2
N
i
j


i

j


従って、非摂動的に厳密に解くことができる。
N
自由な多体フェルミオン系なので、フェルミ面ができる。
フェルミ面上の波の散乱振幅＝２次元超弦理論のＳ行列
が確かめられる。
E
スカラー場＝
フェルミ面上の波

E  
フェルミ面
cf. ２次元Bosonic弦理論 ⇒ 非摂動的に不安定
ホログラフィーとタキオン場
では、タイプゼロ行列模型は、どのように超弦理論のホログラフィー
から理解できるだろうか？
タイプゼロ行列模型＝Ｎ個のD0ブレインと解釈できる！
一般に、超弦理論には通常の安定なＤブレインのほかに
不安定なＤブレイン（brane-antibraneとnon-BPS brane)が存在する。
２次元のType0B超弦理論のD0ブレインも、不安定ブレインである。
そのようなＤブレイン上には、タキオン場Ｔが存在し、有効作用には、
タキオンポテンシャルU(T)が存在する。
[bosonic 2D string: Mcgreevy-Verlinde 03’]
1 2
U (T )   ' T .
2
⇒Type 0 行列模型
タキオン凝縮
U (T )
不安定なブレイン
タキオン凝縮による崩壊
（Rolling Tachyon)
T
ブレインが消滅
して真空になる
通常の１０次元の超弦理論でも不安定なブレインは存在する。その場合のタ
キオン凝縮は、時間に依存する背景で実際に解析できる系として貴重であ
り、宇宙論(インフレーション）への応用も行われてきた。
タキオン場有効作用の計算： Sen-Zwiebach 99’ (Cubic SFT)
Kutasov-Marino-Moore 00’ (non-BPS D-brane BSFT)
寺嶋-上杉-高柳 00’ (brane-antibrane BSFT)
Rolling Tachyon：
Sen 02’ (Open String)
Strominger-高柳 03’ (Closed String)
③ ホログラフィーとエンタングルメント：量子情報の幾何学化
２次元量子重力のホログラフィーは、厳密に解析できるので理
想的だが、トイ・モデルである。現実的には、より高次元の
ホログラフィーが必要。
その代表的な例が、超弦理論におけるAdS/CFT対応である。
Type IIB超弦理論におけるD3ブレインを考える。[Maldacena 97’]
開弦
N D3
４次元 N=4 超対称性ゲージ理論
⇒ 共形場理論(CFT)
等価
閉弦
5
AdS

S
Type IIB 超弦理論 on
5
AdS/CFT
(d+2)次元反ドジッター(AdS)
空間上の（量子）重力理論

(d+1)次元空間上の
共形場理論(CFT)
（ラージN ゲージ理論）
dz 2  dt 2  i 1 dxi2
d
2
2

R
AdS空間: ds AdS
( d  2)
AdS
境界
UV cutoff
z>a
z
2
.
AdS空間
z
長さのスケール
UV ⇒ (繰りこみ群) ⇒ IR
ホログラフィーで最も重要な点は、二つの等価の理論で、次元
が変わることである。そこで次のような疑問が生じる。
Question
(d+1)次元の共形場理論のある領域Ａの情報は、
(d+2)次元のAdS重力理論のどの部分に対応するのか？
A
?
議論を明確にするために、次のような量を考える。
空間をAとBに分けたとする。そのとき、観測者は、Bに関する情
報を得ることができないとする。その場合に、生じる情報の不確
定性は、エントロピーとして見積もれる。
このようなエントロピーは、量子多体系において、
エンタングルメント・エントロピーと呼ばれる。
H  H A  HB
S A  Tr[  A log  A ],
 A  Tr B [  tot ] .
B
A
CFTの時間一定面
簡単な例 : スピン1/2を持つ二つの粒子系（2 qubit)

1
(i)  
 
A
2
A
  
B

B

Not Entangled
?

?
(ii)         
A
?
B
A
B
/
S A  0.
2
Entangled
SA  log 2
エンタングルメント・エントロピーの面積則
場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ
ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の
面積則が知られている（aは正規化のための格子間隔）。
Area(A)
 ( d 3)
SA ~
 O(a
).
d 1
a
[Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’]
これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。
地平線
BH
??
観測者
重力理論的な解釈が
あるのでは。
ホログラフィック・エンタングルメントエントロピー [笠-高柳 06’]
漸近的にAdSd+2に近づく空間
ＵＶ固定点を持つd+1次元の場の理論
この場合には、
Area( A )
SA 
.
( d  2)
4GN
ここで、 A は、d+2次元時空中のd次元の最小曲面
で、境界が部分系Aの境界と一致するもの。
(時間方向を省略した)
N
B
最小曲面  A
A
AdSd  2 (Poincare座標)
z
直感的解釈
B ???  A
A
観測者
 A があたかもブラックホールのホライズンであるかのよう
に振る舞い、Ｂの情報を中に隠している。
コメント
幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると
とても容易である。
Area( A )
Area( A ) ~ R 
 .......
d 1
a
 A  A
d
なぜならば、AdSの計量は、境界付近（紫外領域）で発散する
からである。
具体的計算
d+2次元のAdS空間の場合に、ホログラフィックな公式を用いると、
次の2つの場合にエントロピーを解析的に計算できる。
(a) 帯状
Ld 1
A
(b) 球殻
B
l
A
A
B
l
面積則の紫外発散
球殻の場合
d 3
  l  d 1
l
 
SA 
p

p
 
 1 
3
( d  2)
2GN (d / 2)   a 
a
 d /2Rd


l
 pd 1  a   pd (if d  even) 

 

 
2
 p  l   q log l  (if d  odd)

 d  2  a 
a
 

,
where p1  (d  1) 1 , p3  (d  2) /[2(d  3)],....
..... q  (1) ( d 1) / 2 (d  2)!! /(d  1)!!
カットオフに依らない定数
 奇数次元の共形場理論の自由度
ｃ関数として性質を有す
[Sinha-Myers 10’]
.
 セントラルチャージに比例
4D CFT の計算との一致が最近
確かめられた。
[Theisen et.al. 09’, Casini et.al., Solodukhin 10’]
閉じ込め・非閉じ込め相転移への応用
IRで閉じ込めが起こるゲージ理論の重力双対を考える。その
一つ良い例は、AdSソリトンと呼ばれる背景であり、PureなSU(N)ゲージ
理論と（近似的に）AdS/CFTによって双対になることが知られている。
その背景でエンタングルメント・エントロピーを考えてみる。[Witten 98’]
AdS Soliton
IR
z
B A
Cap off:
Mass gap
UV
l
最小曲面
２種類の最小曲面が競合するので相転移が起こる。
[西岡-高柳 06’, Klebanov-Kutasov-Murugan 07’]
r=r0
Sfinite
l
l
Disconnected Surfaces
閉じ込め・非閉じ込め
相転移
Minimal Surface
l
格子ゲージ理論の結果（４次元ＹＭ）
[SU(3): Nakagawa-Nakamura-Motoki-Zakharov 0911.2596]
相転移
[SU(2): Buividovich-Polikarpov 0802.4247]
相転移
[See for other calculations of EE in lattice gauge
theory: Velytsky 0801.4111, 0809.4502;
Buividovich-Polikarpov 0806.3376, 0811.3824]
最近の話題：強結合系の熱化現象への応用
量子多体系を励起した場合に起こる熱化現象は、相互作用が重要なので、
直接的な解析は困難。しかしAdS/CFT対応を用いると、ブラックホールの生
成過程として古典的に記述することができる。
エンタングルメント・エントロピー＝粗視化したエントロピー
＝生成されたブラックホールの大きさ
[宇賀神-高柳 10’]
Vaidya時空を用いた解析
ds 2  (r 2  m(v))dv 2  2drdv  r 2 dx 2
m(v)
SA
v
t*
Linear growth 時
間
発
展
t
[Arrastia-Aparicio-Lopez 10’ (also Albash-Johnson 10’, de Boer et.al 10’)]
BH
実空間繰りこみ群(Entanglement Renormalization)とAdS/CFT
［Vidal et.al. 06’ Swingle 09’]
粗視化
一次元空間
エンタングルメント・
エントロピーの計算
④ 結論と今後の展望
• ホログラフィー原理は、現在でも理解されていないの量子重力の問
題を解決する上で、最も重要な鍵となると期待される。
• ホログラフィーの最もシンプルな例が、２次元Type0超弦理論の行列
模型による記述である。低次元であるが、非摂動的に安定で厳密に
解ける貴重な模型である。量子重力のダイナミクスも計算されてきた。
• ２次元超弦理論では、ダイナミカルに系を励起してもブラックホール
は生成されない。しかし、２次元超重力理論の近似では生成する
ことが知られている[CGHS BH 92’]。
⇒行列量子力学が可解系だからか？
弦理論の補正がとても大きいので超重力理論を信頼できない。
[最近の 3 dim. SL(n) Chern-Simons + matter ⇔ 2D W-minimal model ではどう
か？ Gaberdiel-Gopakumar 10’]
• エンタングルメント・エントロピー(EE)は、AdS/CFTのような高次元の
ホログラフィーにおいて、量子多体系の量子情報がどのように重
力背景に蓄積されているか明らかにする。
• またEEは、物性物理でも最近、重要な役割を果たし、盛んに研究
されている。我々のホログラフィックな計算は、強結合の量子凝縮
系におけるエンタングルメント・エントロピーに対して強力な予言を
与える。
• AdS/CFTよりも一般のホログラフィーを理解する上でも役に立つ。
例えば、平坦な時空の重力に関してホログラフィーが成り立つと
すると、それと双対な非重力理論は、非局所的な場の理論になり、
基底状態が強くエンタングルしていることが分かる。 [李-高柳 10’]
今後の展望
(1) ドジッター時空や初期宇宙のホログラフィー
⇒エンタングルメント・エントロピーでプローブ？
行列量子力学におけるアナロジー？
(2)ブラックホールの情報問題の解決
⇒ブラックホールと輻射の量子エンタングルメント？
(3)AdS/CFT対応の物性物理への応用
⇒ランダム系の記述？
ご清聴どうもありがとうございました。
エンタングルメント・エントロピーの基本的性質
(i)
Aと Bの間に相互作用がなく独立
(ii)
全体系が純粋状態の場合
S A  SB  0 .
S A  SB .
熱力学エントロピーと違って示量的ではない！
(iii) 有限温度では、一般に
S A  SB
である。
特に高温極限では、
S A  S B  熱力学的エントロピー
（iｖ) 強劣加法性（Strong Subadditivity)
[Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book 00’]
S A B  C  S B  S A B  S B  C .
ある種の凸性(Concavity)を表す
C
B
A
コメント(3) 強劣加法性のAdS/CFTによる証明
[07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT]
A
B
C
A
= B
C
A
 B
A
B
C
A
= B
C
A
B
C
C

 S A B  S B  C  S A B  C  S B
 S A B  S B  C  S A  S C
この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。
強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。

Download Report