COMBINATIONS(1) 堺谷光 EX.2.1 センター・フォワードができる ５人 右の12人から、センター1人、 フォワード2人、ガード2人を 選ぶ選び方は何通り？ ガードができる ６人 なんでもできる 1人（X） 場合分けをして考える 1. Xがセンターをする場合 センター → 1通り フォワード → ガード → 通り 通り 通り 通り EX.2.1 センター・フォワードができる ５人 右の12人から、センター1人、 フォワード2人、ガード2人を 選ぶ選び方は何通り？ ガードができる ６人 なんでもできる 1人（X） 2. Xがフォワードをする場合 センター → ５通り フォワード → ４通り ガード → 通り 通り EX.2.1 センター・フォワードができる ５人 右の12人から、センター1人、 フォワード2人、ガード2人を 選ぶ選び方は何通り？ ガードができる ６人 なんでもできる 1人（X） 3. Xがガードをする場合 センター → ５通り フォワード → ガード 通り → ６通り 通り EX.2.1 センター・フォワードができる ５人 右の12人から、センター1人、 フォワード2人、ガード2人を 選ぶ選び方は何通り？ ガードができる ６人 なんでもできる 1人（X） 4. Xが選ばれない場合 センター → ５通り フォワード → ガード → 通り 通り 通り EX.2.1 センター・フォワードができる ５人 右の12人から、センター1人、 フォワード2人、ガード2人を 選ぶ選び方は何通り？ ガードができる ６人 なんでもできる 1人（X） 1. Xがセンターをする場合 → １５０通り 2. Xがフォワードをする場合 → ３００通り 3. Xがガードをする場合 → １８０通り 4. Xが選ばれない場合 → ４５０通り 通り EX.2.2 円形のテーブルに25人の人が座っている。 ここからランダムに3人を選ぶとき、そのうち少なくと も2人が隣り合っている確率は？ まずn人として考える 3人の選び方の総数は 1人目の選び方が n 通り 2人目の選び方が n-1 通り 3人目の選び方が n-2 通り → 通り A,B,Cの３人をABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBAの６回数えてい る → 通り EX.2.2 円形のテーブルに25人の人が座っている。 ここからランダムに3人を選ぶとき、そのうち少なくと も2人が隣り合っている確率は？ 少なくとも2人が隣り合う場合の数を求める First Solutions 3人とも隣り合う場合とちょうど2人隣り合う 場合に分けて考える。 3人とも隣り合う場合 → n通り ちょうど2人隣り合う場合 隣り合う2人の選び方 → n 通り 残り1人の選び方 → n-4通り } → n(n-4)通り 通り EX.2.2 円形のテーブルに25人の人が座っている。 ここからランダムに3人を選ぶとき、そのうち少なくと も2人が隣り合っている確率は？ Second Solutions 隣り合う2人の選び方 → ｎ 通り 残り1人の選び方 → ｎ-2通り 通り 3人隣り合っている場合を2度数えている のでその分を引く 通り EX.2.2 円形のテーブルに25人の人が座っている。 ここからランダムに3人を選ぶとき、そのうち少なくと も2人が隣り合っている確率は？ Third Solutions 隣り合う2人の選び方 → ｎ 通り 残り1人の選び方 → ｎ-3通り 通り EX.2.2 円形のテーブルに25人の人が座っている。 ここからランダムに3人を選ぶとき、そのうち少なくと も2人が隣り合っている確率は？ 求める確率は n=25を代入すると、 定理 2.1 n, k は n≧k を満たす正の数であるとする。 n個からk個を選ぶ組み合わせの数は である。 は や と書かれることもある。 EX.2.3 以下の条件で男子5人、女子9人を一列に並べたい。 何通りの並べ方があるか。 ・男子は左から背の高い順 ・女子は左から背の低い順 男子が入る５ヶ所を選ぶ 自動的にすべて決まる 通り 1 2 1 3 2 4 5 5 3 6 4 7 4 8 3 9 5 1 6 2 2 7 3 8 4 1 5 9 EX.2.4 立方体の頂点のうち3つを選ぶ。その3点でできる 三角形が正三角形である確率は？ 3点の選び方の総数 通り 正三角形になるためにはすべての辺が 正方形の対角線でなければならない ひとつの頂点から3本の対角線 →どの2本を選んでも1つの正三角形 ができる 通り 同じ正三角形を３回ずつ数えている EX.2.4 立方体の頂点のうち3つを選ぶ。その3点でできる 三角形が正三角形である確率は？ 3点の選び方の総数 通り 正三角形になるのは 通り 求める確率は EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 通り ではない 3点が一直線上に並んでいる場合がある →全体(1140通り)から一直線上に並ぶ場合を引く 一直線上に並ぶのはどんなパターンがあるか EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 (ⅰ) (ⅱ) (ⅳ) (ⅲ) (ⅴ) EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 (ⅰ) 1本の直線について 4本あるので 通り 通り EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 (ⅱ) 1本の直線について 通り (ⅲ) 9本あるので 通り EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 (ⅳ) 1本の直線について 通り (ⅴ) 8本あるので 通り EX.2.5 下図の20個の点から3つの点を選んでできる 3角形はいくつあるか。 3点の選び方は全体で 通り そのうち三角形ができないのは 通り 三角形ができるのは 通り EX.2.6 210人をすべて人数が異なる20個のグループに 分けるとき、分け方は何通りあるか。 なので 1人、2人、……、20人の20個のグループに分ける。 …… 通り 定理 2.2 は正の数で n≧ n個から ただし を満たすとする。 個を選ぶ場合の数は COMBINATIONS(1) 堺谷光
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