双対問題とその解法

第七回
双対問題とその解法
2003.5.8
山梨大学
1
内容と目標
 内容：
１．双対問題
２．双対問題のシンプレックス方法
 目標：
１．双対問題を復習する
２．自分で双対問題を作る
３．シンプレックス方法で双対問題を解析する
2003.5.8
山梨大学
2
LP問題のシンプレックス法
 LP問題の解法


標準のシンプレックス法：Max. f(x) ＜ー＞ g(x)c
２段階法: 1) Max. f(x) ＜ー＞ g(x) , =, c
2) Min. f(x) ＜ー＞ g(x) c
3) Min. f(x) ＜ー＞ g(x) , =, c
 目的関数ｆ(x)


標準： Max. f(x)
最小値問題： Min. f(x)
Min. f(x) ー＞Max. f0(x)
ただし、f0(x) = -f(x)
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Max. f’(x)=-i
3
制約条件の処理
 最小不等式： g(x)c
スラック変数： g(x)+λ=c
 等式： g(x)=c
人為変数： g(x) + μ= c
 最大不等式: g(x)c
スラック変数と人為変数を利用する
g(x)ーλ＋ μ =c
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山梨大学
4
最小値問題ー原問題
 目的関数：
Min. f = 2x1 + 19x2 + 7x3
(1)
 制約条件：
x1+12x2+6x3 ≧ 4
(2)
2x1+18x2+4x3 ≧ 3
(3)
x1, x2, x3≧0
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5
二段階法
制約条件：
x1+12x2+6x3 -λ1
2x1+18x2+4x3
+μ1
-λ2
＝4
+μ2 ＝ 3
(4)
目的関数：
f0 = - 2x1 - 19x2 - 7x3
f’ = -μ1 -μ2
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山梨大学
(5)
(6)
6
二段階法のシンプレックス表
c
ステップ
-2
-19
-7
0
基底
x１
x2
x3
λ１
λ2
1
2
2
-3
-1/3
1/9
-1
0
0
1
-1
0
0
-1
0
1
2/3
-1/18
-1/9 0 25/9
1/3 0 -10/3
-1/10 0 1
2/15 1 0
1
-1
-1
2
-1
-19
μ1
μ2
f0
f’
μ1
x2
-7
-19
f0
f’
x3
x2
3
f0
f’
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1/6
0
12 6
18 4
19 7
-30 -10
0 10/3
1 2/9
0
0
0
0
山梨大学
0
0
1
1
-2/3
-3/10 1/5
1/15 -1/10
5/6
0
1/2
0
0
定数
θ
4
3
0
-7
1/3
1/6
2
1/6
3/5
3/4
-19/6
-2
3/5
1/30
-29/6
0
7
双対問題：最小化ー＞最大化
以上の例の最小化問題の不等号制約式
(2)、(3)に対し、非負のy1 , y2を対応させ
る。そして(2)×y1+(3)×y2を計算すると
(y1+2y2)x1+(12y1+18y2)x2+(6y1+4y2)x3
≧ 4y1+3y2
(7)
となる。
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8
制約条件の変化
ここで
y1 + 2y2 ≦ 2
12y1+18y2 ≦ 19
(8)
6y1 + 4y2 ≦ 7
と仮定すると、式(7)は
2x1+19x2+7x3 ≧ 4y1+3y2
となる。
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9
新しい最大値問題？
変数x1, x2, x3は、上述最小化問題の制
約条件下2x1+19x2+7x3の最小化に関連し
たが、新しく導入された変数y1, y2も何
かの最適化問題に関連しているようであ
る。新しい変数に与えられた条件、つま
り式(8)と非負条件下で4y1+3y2の最大化
問題を考えてみる。
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標準LP問題
目的関数：
Max. f = 4y1+3y2
(9)
制約条件：
y1 + 2y2 ≦ 2
12y1+18y2 ≦ 19
(10)
6y1+ 4y2 ≦ 7
y1 , y2 ≧ 0
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標準LP問題のシンプレックス表
4
3
0
基底
y1
y2
λ1
λ1
λ2
λ3
1
12
6
2
18
4
1
f
-4
-3
2
0
0
4
λ1
λ3
y1
f
0
0
1
0
4/3
10
2/3
-1/3
1
0
0
0
3
0
3
4
λ1
y2
y1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
f
0
0
0
ステップ
1
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c
0
0
0
0
λ2
0
λ3
定数
1
1
2
19
7
θ
2
11/7
7/6
0
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0
1
0
0
-1/6
-2
1/6
2/3
5/6
5
7/6
14/3
-1/7
0
1/10 -1/5
0
2/7
1/6
1/2
5/6
0
3/5
5/8
1/2
7/4
29/6
12
結果の説明
(i) 基底変数はλ1、y1、y2で、非基底変数はλ2 、
λ3である。
(ii) 最適基底解は
y1 =5/6, y2 =1/2, λ1 =1/6, f=29/6
である。
この解は例(1)に示した原問題の最大値と全く
同じになる。しかし、計算は簡単になった。
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課
目的関数：
制約条件
題
Min. f = 4x1 + 5x2
(1)
x1+3x2 ≧ 4
2x1+ x2 ≧ 3
x1 , x2 ≧0
(2)
要求：
1). シンプレックス法を用いて解け。
2). 上記の線形計画問題の双対問題を作れ。
3). 双対問題をシンプレックス法で解け。
4). 原問題のスラック変数・最適解と双対問題のスラッ
ク変数・最適解を比較せよ。
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課題の解答
1). 最適解はx1=1, x2=1, f=9.
3). 双対問題の最適解はy1=6/5, y2=7/5,f’=9.
2003.5.8
山梨大学
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