Power Point

Kauffman bracket 多項式 を
計算するアルゴリズムとその実装
谷 研究室 村上 雅彦
Masahiko MURAKAMI
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
2
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
3
結び目
結び目とはゴムのように伸び縮みする1本の輪
のようなもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
4
結び目理論の概要
結び目が絡まった輪を切らずにほどくことがで
きるかどうか?というようなことなどを考える
?
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
5
絡み目,結び目
(n成分の)絡み目⇒
R3内に埋め込まれた互いに素なn個の単純閉
折線
結び目⇒1成分の絡み目
注
意!
曲線ではなく
折線
(2成分の)絡み目
2003年2月13日
3
R
平成14年度卒業研究発表会
結び目
6
正則射影,ダイアグラム
正則射影⇒
絡み目を平面に射影した図で、多重点が横
断的に交わっている2重点のみのもの
ダイアグラム⇒
正則射影の各2重点にもとの絡み目におけ
る交差の上下の情報を加えたもの
正則射影
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
ダイアグラム
7
絡み目の同型
結び目
同じ結び目
R3
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
8
自明な結び目
自明な結び目⇒
2次元ユークリッド空間内に埋め込まれた1本
の単純閉曲線と同型な結び目
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
9
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
10
結び目理論の基本問題
2つの結び目が同型であるかを判定する問題
コンピュータを使って解けないか?
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
11
絡み目の表現
3次元座標のリスト
(2成分の)絡み目
2003年2月13日
R3
座標は整数
平成14年度卒業研究発表会
12
2つの絡み目は同型か?
2つの絡み目が与えられたときそれらが同型で
あるかの判定はとても難しい
不変量を導入
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
13
不変量とは
絡み目から対応付けられる数学的な量
(数や多項式など)
同型な絡み目からは同じ量が対応付け可能
多項式不変量を
絡み目の同型性の指標
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
14
多項式不変量
Kauffman bracket多項式
この多項式自体は 不変量ではない
が,ω( L ) と組み
~
合わせること によって Jones多項式 が得られる
Jones多項式
有向絡み目 の 多項式不変量 のひとつ
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
15
Jones多項式の計算
Kauffmanの計算法では2c (L~)個の多項式の和
の計算が必要
絡み目を限定すると計算の手間が減る
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
16
既存の結果
符号付きグラフが格子グラフとなるような絡み目に
おいて264交点までJones多項式を計算
関根,今井,今井[1996]
プレッツェル絡み目において10000交点までJones
多項式を計算
内海,今井[2002]
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
17
特定の絡み目のJones多項式の計算
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Kauffman bracket多項式はO(c(L))回の多項式
の演算で計算できる 原, 谷, 山本[2002]
closed 3-braidダイアグラムのKauffman bracket多
項式はO(c(L)3)回の多項式の演算で計算できる
古藤[2002]
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
18
今回の結果
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Kauffman bracket多項式はO(c(L))回の多項式
の演算で計算できる 原, 谷, 山本[2002]
アルゴリズムを再構築,実装
closed 3-braidダイアグラムのKauffman bracket多
項式はO(c(L)3)回の多項式の演算で計算できる
古藤[2002]
再構築,O(c(L))回の多項式の演算,実装
XXX交点まで計算
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
19
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
20
Kauffman bracket多項式
ルール1
<○>=1
自明な結び目
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
21
Kauffman bracket多項式
ルール2
<L∪○>=(-A2-A-2)<L>
=A
2003年2月13日
+A-1
平成14年度卒業研究発表会
22
Kauffman bracket多項式
ルール3
< >=A( )+A-1(
=A
2003年2月13日
)
+A-1
平成14年度卒業研究発表会
23
Taitグラフ
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
24
Taitグラフ
• 絡み目のダイアグ
ラムの領域に対し
て1つおきに陰をつ
けていく
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
25
Taitグラフ
• 陰をつけた各領域
に頂点をおく
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
26
Taitグラフ
• 交点を共有するよ
うな領域の2個の
頂点を辺で結ぶ
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
27
Taitグラフ
• 各交点の符号を決
める
+の交点
2003年2月13日
ーの交点
平成14年度卒業研究発表会
28
Taitグラフ
• 交点が正か負かに
よって対応する各
辺に+または−の
符号を付ける
+の交点
ーの交点
ー
ー
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
29
Taitグラフ
• こうしてTaitグラフ
が得られる
ー
ー
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
30
タングル(tangle)
• タングル⇒
絡み目の一部分で,ちょうど4点で交わるような円で
囲まれた領域(絡み目が円と交わる4点はNW, NE,
SW, SEにあるとする)
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
31
タングル(tangle)
0−タングル⇒
NWとSWを、NEとSEを結んだタングル
0−タングル
2003年2月13日
3−タングル
平成14年度卒業研究発表会
(-2)−タングル
32
タングル(tangle)
n−タングル⇒
0−タングルをn 回捻ってできるタングル
0−タングル
2003年2月13日
3−タングル
平成14年度卒業研究発表会
(-2)−タングル
33
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
34
今回の結果
2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムのTait
グラフから整数列表現を求める
整数列表現からKauffman bracket多項式を計
算する
closed 3-braid絡みの標準的なダイアグラムの
整数列表現を求める
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
35
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia1
Ia2
Ia2
〜
〜
Ia3
〜
〜
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
平成14年度卒業研究発表会
Ian-1
Ian
n
が
偶
数
の
と
き
36
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
Ian
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
L~(a1 , … , an)⇒
整数タングルIak
(k = 1, … , n)を左のよう
に結んだダイアグラム
平成14年度卒業研究発表会
37
2-bridge絡み目の
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
Ian
2-bridge絡み目の標準
的なダイアグラムの整
数列表現⇒
2-bridge絡み目の標準
的なダイアグラムL~(a1 ,
… , an)に対して(a1 , … ,
an)
平成14年度卒業研究発表会
38
アルゴリズム1
• 2-bridge絡み目の標準的なダイアグラムの
Taitグラフから整数列表現を求めるアルゴリ
ズム
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
39
アルゴリズム1
L~( -2 , 2 , 1 , -1, -2)
+
のTaitグラフ
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
40
アルゴリズム1
一番次数の大きい
頂点v を探す
+
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
41
アルゴリズム1
頂点v を取り除いたグラフ
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
42
アルゴリズム1
出力:-2
+
端点とv の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
43
アルゴリズム1
出力:-2, 2
+
次数が3以上になるまで
隣の頂点に移動して
それまで通った辺の
v
値の和を出力
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
44
アルゴリズム1
出力:-2, 2, 1
+
v の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
45
アルゴリズム1
出力:-2, 2, 1, -1
+
次数が3以上になるまで
隣の頂点に移動して
それまで通った辺の
v
値の和を出力
+
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
46
アルゴリズム1
出力:-2, 2, 1, -1, -2
+
v の間の辺数に
それらの辺の符号と
(-1)を掛けて出力
+
v
+
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
47
アルゴリズム1
計算時間を減らす工夫
+
先にすべての辺を走査
+
頂点の次数
vとの間の辺の符号
隣接する頂点
v
O(c(L))
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
+
+
+
+
48
アルゴリズム2
整数列表現からKauffman bracket多項式を計
算する
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
49
原・谷・山本
〈L~(a1,…,an)〉
=
1
-A2-A-2
× ( fan-1〈L~(a1,…,an-2)〉
+fan(A)〈L~(a1,…,an-1)〉)
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
50
アルゴリズム2
n=1〈L~(a1)〉=(−A)−3a1−2sgn(a1)
×Σk=1|a1|(−A4sgn(a1))k
+Aa1(−A−2−A2)
n=2〈L~(a1,a2)〉= (−A)−3a2−2sgn(a2) 〈L~(a1)〉
+Σk=1|a2|(−A4sgn(a2))k
+Aa2(−A)−3a1
n≧3 〈L~(a1,…,an)〉= (−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
+Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
+Aan(−A)−3an-1 〈L~(a1,…,an-2)〉
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
51
アルゴリズム2
n=1〈L~(a1)〉=(−A)−3a1−2sgn(a1)
×Σk=1|a1|(−A4sgn(a1))k
+Aa1(−A−2−A2)
n=2〈L~(a1,a2)〉= (−A)−3a2−2sgn(a2) 〈L~(a1)〉
+Σk=1|a2|(−A4sgn(a2))k
+Aa2(−A)−3a1
n≧3 〈L~(a1,…,an)〉= (−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
+Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
O(c(L))回の
an(−A)−3an-1 〈L~(a ,…,a )〉
+
A
1
n-2
多項式演算
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
52
3-braid
• 3-braid⇒
両端が2つの平行な
平面に接続している
3本の紐で、それぞ
れの紐が2つの平面
の間にあるすべての
平行な平面とちょう
ど1回ずつ交わって
いるもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
53
closed 3-braidダイアグラム
• closed 3-braid
ダイアグラム⇒
3-braidを正則射影し
射影平面上で紐の
両端を自分自身とも
他の紐とも交わらな
いように結んだもの
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
54
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia1
Ia2
Ia2
〜
〜
Ia3
2003年2月13日
〜
〜
〜
〜
Ian-1
〜
〜
Ian
〜
〜
〜
〜
平成14年度卒業研究発表会
Ian-1
Ian
n
が
偶
数
の
と
き
55
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
w~(a1 , … , an)⇒
整数タングルIak
(k = 1, … , n)を左の
ように結んだ
ダイアグラム
平成14年度卒業研究発表会
56
closed 3-braidの
標準的なダイアグラム
Ia1
n
が
奇
数
の
と
き
Ia2
Ia3
〜
〜
Ian-1
〜
〜
2003年2月13日
〜
〜
Ian
closed 3-braidの標準
的なダイアグラムの整
数列表現⇒
closed 3-braidの標準
的なダイアグラム
w~(a1 , … , an)に対し
て(a1 , … , an)
平成14年度卒業研究発表会
57
アルゴリズム3
n=1〈w~(a1)〉= (−A−2−A2) 〈L~(a1)〉
n偶数〈w~(a1, …,an)〉=Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
+(−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
n奇数〈w~(a1, …,an)〉=Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
+(−A)−3(a1+an)−2sgn(an)
×〈L~(a2,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
58
アルゴリズム3
n=1〈w~(a1)〉= (−A−2−A2) 〈L~(a1)〉
n偶数〈w~(a1, …,an)〉=Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
+(−A)−3an−2sgn(an)
×〈L~(a1,…,an-1)〉
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
n奇数〈w~(a1, …,an)〉=Aan〈w~(a1,…,an-1)〉
+(−A)−3(a1+an)−2sgn(an)
O(c(L))回の
×〈L~(a2,…,an-1)〉
多項式演算
×Σk=1|an|(−A4sgn(an))k
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
59
アルゴリズムの実装
500交点の2-bridge絡み目の標準的なダイア
グラムやclosed 3-braidの標準的なダイア
グラムのKauffman bracket多項式を計算
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
60
作成したプログラム一覧
make_tait
make_progression
comp_bracket
comp_bracket_3
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
61
目次
1. 絡み目とその表現
2. 結び目理論における計算
3. Kauffman brackte多項式,
Taitグラフ,タングルの紹介
4. アルゴリズム(今回の結果)
5. 今後の課題
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
62
今後の課題
• Arborescent絡み目やプレッツェル絡み目
へ拡張できないか?
• BDDを用いたアルゴリズムとの比較
2003年2月13日
平成14年度卒業研究発表会
63