• 内積の基本定
義
 
x y cos 
 x  y と書く。 
二つのベクトルが直交している
とそれらの内積が ０ になる
cos(90
0

x


y
)  0
1
内積の座標表示
 
x  y  x1 y1  x2 y 2

２軸
 x1 x2   y1 
x 
  1 
 x2 
 
 xT y
 
 y2 
T
 y1 
 
 y2 
x2
y2
0

x


y
x1
y1
１軸
2
証明
三角形 OAB の辺 OA と OB
の間の角  に対する cos 
を求める
A
c



a

x
辺 OA の長さ：

辺 OB の長さ： b  y 
 
辺 AB の長さ： c  x  y 
a
B

辺 OC の長さ： d
cos  
d
a
C
b
d
O
3
a 2  d 2  c 2  b  d 
2
A
 c 2  b 2  d 2  2bd
c
a 2  b 2  c 2  2bd
d 
a b c
2b
2
2
a
B
2
C

b
d
a2  b2  c2
d

cos  
2ab
a
O
4
 
x  y  a b cos 

a b c
2
2
2
２軸
A
2

a  x  x12  x22

b 2  y  y12  y 22
 
2
2
c 2   x  y    x1  y1    x2  y 2 
2
x2
y2

x
B

C
O
x1

y
y1
１軸


 
x  y  xy
a2  b2  c2

2
2
 x1  y1 2   x2  y2 2
x12  x22  y12  y 22


2
2
 
 x1 y1  x2 y 2  x T y !!
5
 
xT y
cos    
x y
 
xT y
 
 
xT x  yT y
x1 y1  x2 y 2  y1 x1  y 2 x2



 
x

y

x
y

   
x T y  y T x  
2




• 自分自身との内積
 
x T x   x1

x 
 x1 

x2     x12  x22  x
 x2 

x
6
• 面積
1  
A  y x sin  
2
A2 
1 
y
4
2

x
x2
 2
x sin 2  
1  
 y T y x T x 1  cos 2   
4
y2
1      
  y T y x T x  y T y x T x cos 2   
4
0

y

x1
y1
 x y 
T
2
7
A2 

1 T  T  T  2
y y x x  x y 
4

2次元の場合


x
x2
1
 x12  x22 y12  y22  
4
x1 y1  x2 y2 2 

1 2 2
x1 y1  x12 y22  x22 y12  x22 y22 
4
x12 y12  x22 y 22  2 x1 y1 x2 y 2 

x

2
1
y2
0

y

x1
y1
y 22  x22 y12  2 x1 y1 x2 y 2 
4
8
x

2
1
y 22  x22 y12  2 x1 y 2 x2 y1 
4
 x1 y2  x2 y1 
2


x
x2
4
1
 A   x1 y 2  x2 y1 
2
 x1 y 2  x2 y1  
x1
y1
x2
y2


x
y
と表し と
の行列式と呼ぶ。
y2
0

y

x1
y1

1 x1
A
2 y1
元に戻る
x2
y2
9

- die Quintessenz

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ものづくりの進め方 - 前ちゃんの中学校数学