円と楕円の特殊相対性
＝第三者方向距離角度感の自己中心＝
二者間の関係
日本物理教育学会年会 ２０１０ 於：関西大学
第三者方向の見え方
長崎工業高校 山 本 文 隆
演示
Ｓ系
左
静止観測者
中央
運動観測者
右
第三者方向
Ｓ‘系
左
運動観測者
中央
静止観測者
右
第三者方向
光円錐の式： Ｘ２＋Ｙ２＝Ｃ２ｔ２
・・・・・・・・・・・・・・・・・①
同時面の式： Ｃｔ＝αβＲ＋βｘ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・②
（αβ＝√１－β２）
進行方向に対し角度φ、速度ωで進む観
測者の同時面を考えると、βがωへ置き
換わり、ｘ－ｙ座標の回転変換によって
ｘ＝Ｘｃｏｓφ－Ｙｓｉｎφ となる。
同時面の式：Ｃｔ＝αωＲ＋ω（Ｘｃｏｓφ-Ｙｓｉｎφ) ・・・・③
（αω＝√１－ω２）
光円錐のこの同時面での切り口は
①＝③２ より
Ｘ２+Ｙ２=(αωＲ+ω(Ｘcosφ-Ｙsinφ))２
Ｘ＝ｒωｃｏｓθ、Ｙ＝ｒωｓｉｎθ、
Ｘ２＋Ｙ２＝ｒω２ であるから
ｒω２＝ (αωＲ+ωｒω(cosθcosφ-sinθsinφ))２
＝（αωＲ＋ωｒωｃｏｓ（θ＋φ））２
この式を展開して
（αωＲ＋(１＋ωｃｏｓ(θ＋φ))ｒω）×
（αωＲ－(１－ωｃｏｓ(θ＋φ))ｒω）＝０
したがって条件に合う動径の式は
αω
ｒω＝ーーーーーーーーー Ｒ・・・④
１－ωｃｏｓ（θ＋φ）
切れ口楕円式の対応
Ｓ系
ｒ０＝Ｒ
Ｓ‘系
←→
αβ
ｒ０ ’＝ーーーーーＲ
１＋βｃｏｓθ’
αβ
ｒβ＝ーーーーーＲ ←→ ｒβ’＝Ｒ
１－βｃｏｓθ
αω
αω
ｒω＝ーーーーーーーＲ
ｒω’＝ーーーーーーーＲ
１-ωｃｏｓ(θ+φ)
１-ω’ｃｏｓ(θ’+φ’)

描画
αβ
ｒβ＝ーーーーーー Ｒ
距離感
１－βｃｏｓθ
ｒβ’
Ｒ（1-βｃｏｓθ）
ｒ０’＝ｒ０×ーー ＝Ｒ×ーーーーーーー＝γβＲ（1－βｃｏｓθ)
ｒβ
αβＲ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ｃｏｓθ’＋β
ｃｏｓθ＝ ーーーーーー （光行差）の式代入
角度感
１＋βｃｏｓθ’
β（ｃｏｓθ’＋β）
ｒ０’＝γβＲ（1－ ーーーーーーーー ）
１＋βｃｏｓθ’
１+βｃｏｓθ’-βｃｏｓθ’-β２
＝γβＲ ーーーーーーーーーーーーー
１＋βｃｏｓθ’
γβ（１－β２）
αβ
＝ ーーーーーーーＲ＝ーーーーーーーＲ
１＋βｃｏｓθ’
１＋βｃｏｓθ’
αω
ｒω＝ーーーーーーーーーー Ｒ （Ｓ系）
１－ωｃｏｓ（θ＋φ）
↓ 距離感
↓ 角度感
αω
ｒω’＝ーーーーーーーーーーーＲ （Ｓ‘系）
１－ω’ｃｏｓ(θ’＋φ’)
Ｓ→Ｓ‘系移行時の距離感の変化
ｒ β’
ｒω
ｒω’＝ｒωーー ＝ ーー Ｒ
ｒβ
ｒβ
αω
－－－－－－－－－
１－ωｃｏｓ（θ＋φ）
＝ －－－－－－－－－－Ｒ
αβ
－－－－－－－－－
１－βｃｏｓθ
αω （１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーＲ
αβ （１－ωｃｏｓ（θ＋φ） ）
Ｓ→Ｓ‘系移行時の角度感の変化１
（光行差、相対論的速度合成）
Ｘ
ω’ｃｏｓφ’＋β
ωｃｏｓφ＝ーー＝ーーーーーーーーー
Ｃｔ
１＋ω’βｃｏｓφ’
Ｙ
αβω’ｓｉｎφ’
ωｓｉｎφ＝ーー＝ーーーーーーーーー
Ｃｔ
１＋ω’βｃｏｓφ’
√(ω’ｃｏｓφ’+β)２+αβ２ω’２ｓｉｎ２φ’
ω＝ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
１+ω’βｃｏｓφ
αω’αβ
αω＝√１－ω２ ＝ーーーーーーーー
１＋ω’βｃｏｓφ’
→
αω’＝γβαω （１＋ω’βｃｏｓφ’ ）
Ｓ→Ｓ‘系移行時の角度感の変化２
αω（１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ（１－ωｃｏｓ（θ＋φ））
αω（１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ（１－（ωcosθcosφ－ωsinθsinφ））
ｃｏｓθ’＋β
γβαω（ １－βーーーーーーー ）
１＋βｃｏｓθ’
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(ω'cosφ'+β)(cosθ'+β)-αβ２ω'sinφ’sinθ'
１－ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(1+ω'βcosφ')(1+βcosθ'）
γβαω(1+βcosθ'-β(cosθ'+β))(1+ω'βcosφ')
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(１+ω‘βcosφ’)(１+βcosθ‘)-(ω’cosφ‘+β)(cosθ’+β)＋αβ２ω'sinφ'sinθ'
αβαω（１＋ω’βｃｏｓφ’）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ２(1-ω'cosθ'cosφ'+ω'sinθ'sinφ')
γβαω(1+ω‘βcosφ’)
αω ’
＝ーーーーーーーーーーーー ＝ ーーーーーーーーー
1-ω‘cos(θ’+φ‘)
1-ω'cos(θ'+φ')
＝ｒω’
ｒω
第三者楕円の相対性
ｒβ‘
ｒω
’ ＝ｒω ーー＝ーー Ｒ (S→S’）
ｒβ
ｒβ
ｒω ＝ｒω
ｒ0
ｒω’
’ －－＝ーー Ｒ （S’→S）
ｒ0’
ｒ0’
各慣性系間の関係
ローレンツ変換との関係
ローレンツ変換式 との関係
Ｒ
Ｘ’ ＝Ｌ――ｃｏｓθ’＋γβ（Ｌ－Ｃｔ）
ｒθ
ｃｏｓθ－β
＝γ（１－βｃｏｓθ）Ｌ―――――＋γβ（Ｌ－Ｃｔ）
１－βｃｏｓθ
＝γ（ｃｏｓθ－β）Ｌ＋γβ（Ｌ－Ｃｔ）
＝γ（Ｌｃｏｓθ－βＣｔ） ＝ γ（Ｘ－βＣｔ）
Ｒ
αｓｉｎθ
Ｙ’ ＝Ｌ――ｓｉｎθ’ ＝γ（１－βｃｏｓθ）Ｌ―――――
ｒθ
１－βｃｏｓθ
＝Ｌｓｉｎθ ＝Ｙ
Ｒ
Ｃｔ’＝Ｌ―― － γ（Ｌ－Ｃｔ）
ｒθ
＝γ（１－βｃｏｓθ）Ｌ－γ（Ｌ－Ｃｔ）
＝γ（Ｃｔ－βＬｃｏｓθ） ＝ γ（Ｃｔ－βＸ）
単純ローレンツ変換による見え方と
相対論的速度合成で導く見え方
力線と光線の調和
参考資料
観測者の距離感と角度感による相対論展開
http://www.geocities.jp/fumitaka125/
kansokukyorikakudo.pdf
ローレンツ変換ははたして正しいのか
http://www.geocities.jp/fumitaka125/r
oretrue.pdf
マッハ号の怪
http://www.geocities.jp/fumitaka125/
mahha.pdf
Ｓ→Ｓ‘系移行時の距離感の変化
ｒ β’
ｒω
ｒω’＝ｒωーー ＝ ーー Ｒ
ｒβ
ｒβ
αω
－－－－－－－－－
１－ωｃｏｓ（θ＋φ）
＝ －－－－－－－－－－Ｒ
αβ
－－－－－－－－－
１－βｃｏｓθ
αω （１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーＲ
αβ （１－ωｃｏｓ（θ＋φ） ）
Ｓ→Ｓ‘系移行時の角度感の変化１
（光行差、相対論的速度合成）
Ｘ
ω’ｃｏｓφ’＋β
ωｃｏｓφ＝ーー＝ーーーーーーーーー
Ｃｔ
１＋ω’βｃｏｓφ’
Ｙ
αβω’ｓｉｎφ’
ωｓｉｎφ＝ーー＝ーーーーーーーーー
Ｃｔ
１＋ω’βｃｏｓφ’
√(ω’ｃｏｓφ’+β)２+αβ２ω’２ｓｉｎ２φ’
ω＝ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
１+ω’βｃｏｓφ
αω’αβ
αω＝√１－ω２ ＝ーーーーーーーー
１＋ω’βｃｏｓφ’
→
αω’＝γβαω （１＋ω’βｃｏｓφ’ ）
Ｓ→Ｓ‘系移行時の角度感の変化２
αω（１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ（１－ωｃｏｓ（θ＋φ））
αω（１－βｃｏｓθ）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ（１－（ωcosθcosφ－ωsinθsinφ））
ｃｏｓθ’＋β
γβαω（ １－βーーーーーーー ）
１＋βｃｏｓθ’
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(ω'cosφ'+β)(cosθ'+β)-αβ２ω'sinφ’sinθ'
１－ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(1+ω'βcosφ')(1+βcosθ'）
γβαω(1+βcosθ'-β(cosθ'+β))(1+ω'βcosφ')
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(１+ω‘βcosφ’)(１+βcosθ‘)-(ω’cosφ‘+β)(cosθ’+β)＋αβ２ω'sinφ'sinθ'
αβαω（１＋ω’βｃｏｓφ’）
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
αβ２(1-ω'cosθ'cosφ'+ω'sinθ'sinφ')
γβαω(1+ω‘βcosφ’)
αω ’
＝ーーーーーーーーーーーー ＝ ーーーーーーーーー
1-ω‘cos(θ’+φ‘)
1-ω'cos(θ'+φ')
＝ｒω’
ｒω
第三者楕円の相対性
ｒβ‘
ｒω
’ ＝ｒω ーー＝ーー Ｒ (S→S’）
ｒβ
ｒβ
ｒω ＝ｒω
ｒ0
ｒω’
’ －－＝ーー Ｒ （S’→S）
ｒ0’
ｒ0’