ナノデザイン特論２（石川顕一）学内向け講義資料
ナノデザイン特論２
光の中の原子の量子力学
•量子力学の復習（水素原子の波動関数)
•光の吸収と放出（ラビ振動）
http://ishiken.free.fr/lecture.html
4/17 No. 1
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水素原子の波動関数
4/17 No. 2
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シュレーディンガー方程式
ポテンシャルV(r)中の質量 m の電子
2

i

2  (r,t) V(r) (r,t)
t
2m
 (r,t) ：波動関数
t
 (r,t)   (r)ei

定常状態
 

2
2m
固有値問題

：エネルギー固有値（エネルギー準位）


2 (r) V(r) (r)   (r)
固有波動関数
参考文献
小出昭一郎著 基礎物理学選書5A「量子力学(I)」
4/17 No. 3
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水素原子
原子核のクーロンポテンシャル
Ze 2
V(r)  V (r)  
40 r
シュレーディンガー方程式
2
Ze 2

 
 (r) 
 (r)   (r)
2m
40 r
2
係数が煩雑

原子単位(atomic unit, a.u.)の導入
1
Z
 2 (r)   (r)   (r)
2
r

4/17 No. 4
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原子単位
電子
 me
e2
40
 1 となるような単位系
40 2
11
a0 


5.292
10
m
 e2  me 2
m

40 
2
長さ

ボーア半径
e2
 27.21 eV
エネルギー
1 eV 1.602 1019 J
40 a0

3
a0
時間

 0.0242 fs
2
2
 e  c 
m


e2
1
微細構造
40 

 7.297 103 
40 c
137.0 定数
速度

a0 
a0
 c
c

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水素原子
原子核のクーロンポテンシャル
Ze 2
V(r)  V (r)  
40 r
シュレーディンガー方程式
2
Ze 2

 
 (r) 
 (r)   (r)
2m
40 r
2
中心力
r  (r, , )
極座標系
   0
束縛状態
エネルギー固有値

固有波動関数
Z 2 me 4
 n    2
40  2
 (r)  Rnl (r)Ylm ( , )
動径波動関数


2
1
n2
n 1,2,3
0  l  n 1

球面調和関数

l  n  l
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水素原子（束縛状態）
Z 2 me 4
n  
2
40  2
エネルギー固有値

3s, 3p, 3d
2
1
n2
n 1,2,3
r の単位は a0 (ボーア半径)

2
40
a0 
 5.31011 m = 0.053 nm
2
me
2s, 2p

1s
 (r)  Rnl (r)Ylm ( , )

基底状態
1  
me 4
40  2
2
2
0  l  n 1
l  n  l

 13.6 eV
4/17 No. 7
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水素原子（束縛状態）
エネルギー固有値  n  

Z
2n2
n 1,2,3

4/17 No. 8

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動径波動関数と球面調和関数
Z = 1の場合
Y00 
1 
R1s    2e r / a0
a0 
3 /2
Y1,0 
3
cos
4
1
4
Y1,1 
3
sin  ei
8
1  1  r / 2 a0 
r 
R2 s   
e

1

a
2
2a
 0 

0 
5
2
Y

3cos
 1
3
/
2

2,0

1 
16
1  r / 2 a0 r
R2 p   
e

15
a0 
a0  2 6
Y2,1 
sin  cos ei
3 /2
2

8
1  2  r / 3a0  2 r 2  r  
1

R3s   
e
   
15
a
3
3
3
a
27
a
Y

sin 2  e2i
 0 




0
0
2,2


32

規格直交性
 規格直交性
 

2
Y
( , )Yl m( , )sin dd  ll mm

R
(r)R
(r)
r
dr


lm
0 nl nl
nn 

3/2


 n lmr 2 sin drdd  nn llmm

nlm

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動径波動関数と存在確率密度（束縛状態）
波動関数
存在確率
1s
2s
2p
3s
3p
r の単位は a0 (ボーア半径)
3d
4/17 No. 10
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水素原子（自由状態）
0
自由状態（連続状態）
イオン化を考えるときに必要
任意の正の実数
0
エネルギー固有値

 (r)  Rl (r)Ylm ( , )
l0
固有波動関数
l  n  l

動径波動関数 → クーロン波動関数



l
l
2 Z
2
2 (2kr)
ikr

Rl (r) 
s

n
e
F(in l 1,2l  2,2ikr)

2 n 
(2l
1)!
1 e
s1
合流型超幾何関数
n
k  2E

規格直交性   




0
2
0
Rl (r) r 2 dr 



0
Z
k
Rl (r)Rl (r)r 2 dr  0
状態密度
4/17 No. 11
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動径波動関数
束縛状態
自由状態（連続状態）
r の単位は a0 (ボーア半径)
4/17 No. 12
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自由粒子状態
V(r)=0
1
  2 (r)   (r)
2
1 d 2 2 d l(l 1)
  2 
 2 R(r)  R(r)
2 dr r dr
r 

• 平面波

• 球面波
• 位相のずれ
4/17 No. 13
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光の吸収による原子遷移
• 半古典的記述
– 原子は量子力学的に取り扱う。
– 光（レーザー光）は古典的電磁波とし取り扱う。
• 参考文献
– ラウドン「光の量子論」（内田老鶴圃）
4/17 No. 14
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時間に依存する場合の量子力学
i

1
Z
  2  (r,t)   (r,t) VI (r,t) (r,t)
t
2
r
相互作用項がない場合

n (r,t)   n (r)ein t
（原子単位）
相互作用
n 
n
遷移振動数（共鳴振動数）
0  2  1

２準位系

C2
２準位系

光の振動数が0に近いときは、放
射過程に関与するのは選ばれた二 
つの原子状態のみ。
 (r,t)  C1(t)1(r,t) C2 (t)2 (r,t)
2
2
0
C1
2

1

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２原子系
i

1
Z
  2  (r,t)   (r,t) VI (r,t) (r,t)
t
2
r
２原子系
 (r,t)  C1(t)1(r,t) C2 (t)2 (r,t)

  (r,t)



2

d r  C1(t)  C2 (t)  1
2
3
2
C

C
VI C11  C2 2   i 1 1  2 2 
 t

t

 を左からかけて空間積分
C1
 C1V11  C2V12 ei t
 t
C
i 2  C1ei tV21  C2V22
t
0
2
2
0

1
i
同様に
C2
Vij  i
VI j 
C1

2
1

  V  d r 

i I
3
j
0

4/17 No. 16
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相互作用ハミルトニアン
電磁場と原子の間の相互作用に対するハミルトニアンの完全な形
は複雑
レーザーに関しては、多くの場合、電気双極子近似で十分
波数
k
z E cos(kx  t)
0
2

波長
x  
kx 1
E0 cos(kx  t)



VI zE0 cos t
r

長波長近似
E0 cos t
Ze
k
y
x H 0 cos(kx  t)
電気双極子近似
（原子単位）


4/17 No. 17
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２原子系＋電気双極子近似
C1
 C1V11  C2V12 ei t
t
C
i 2  C1ei tV21  C2V22
t
i
0
0

Vij  i VI j 
 V d r

i I

i I
3
j
VI  zE0 cos t

r  cos t  zE   d r  X
  V  d 
3
j
0
X11  X22  0

Vij  i VI j 

i
3
j
ij
cos t
X12  X21  2 （実数）

C
i  1  2C2 ei 0 t 
cos t
t
t
 i C1  C ei   0 t  ei   0
2
t


i
C2
 2C1ei t cos t
t
0
i
C2
i   t
i  
 C1 e    e 
t

0
0
t

4/17 No. 18
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ラビ振動
i
C1
i   t
i  
 C2 e    e 
t

0
0
t

i
C2
i   t
i  
 C1 e    e 
t

0
0
t

回転波近似

i
C1
i   t
 e   C2
t
0
i
C2
i 
  t
 e   C1
t
0
初期条件 C1 1, C2  0



 i
i  0 

C1(t)  cost 
sin t exp   0 t 

 
2
 2
C2 (t)  

 i

i
sin t exp   0 t 
 2



 2 

C2
(  0 )
4
2
2
2
0
C1
2

1

4/17 No. 19
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ラビ振動
ポピュレーション
C1 (t)  1 C2 (t)
2
C2 (t) 
2

2

2
  0  3.5
2

sin 2 t
(  0 )2
  
4
吸収放出サイクル
2
C1 (t)

t


C2 (t)
2

2
放出 吸収 放出  t
  0
吸収
  0  0.92
t
4/17 No. 20