デフォルトと信用リスク

デフォルトと信用リスク
デフォルト(default)
• 金融においては金融商品の発行体や取引先
が債務を履行できなくなる状態を指す。
• 金融以外のデフォルトの例
生物の死亡、機械やシステムの故障、
新商品の初めての購買など
信用リスク(credit risk）
• デフォルトにより被る直接的、あるいは間接
的な損失のこと
• 直接的損失
例債券等がデフォルトにより元本、もしくは
その一部が回収不能となる。
• 間接的損失
例デフォルト確率が高まったことによる信用
力の低下、それを反映した債券価格の下落
信用リスク
•
デフォルトおよびその可能性の増大に起因
する資産価値の減少とも言える。
• 対象とする金融資産の種類により信用リス
クの捉え方も異なる。
1. 貸し出し債権
2. 市場性資産
• 貸出債権
持ち切りを想定したときでの、貸し出し先が
デフォルトした場合をリスクとする。
• 市場性資産
償還期日前に取引が可能である場合、信用
力の変化に伴う市場価格の下落もリスクとす
る。
実務ではリスクのない資産（日本国債など）
とのスプレッドの大きさ、およびその変動をリ
スクと考える。
※市場性
自らが取得した有価証券を他の者に譲渡す
ることが可能な場合、「市場性がある」という。
※スプレッド
自己売買業務において、証券業者は買い注
文に対しては予想市場価格より高い売り呼び
値を呈示、売り注文に対しては低い買い呼び
値を呈示して取引を成立させる。この差額（ス
プレッド）がディーラーの収入となる。
信用リスクとリスク計量
•
信用リスクの捉え方が異なれば、リスク計
量化のために必要となる予測対象も異なる。
1. どの時点でデフォルトが発生するかという予
測、デフォルトした場合の回収率(recovery
rate）の見込み
2. 信用力、またはスプレッドの変動の予測
※日本では貸出債権の流通市場は未発達であ
り、社債のマーケットも小規模なので、２の予
測のために必要なデータを十分に集めること
は難しい。
デリバティブの信用リスク
• 商品によって信用リスクの対象が異なる。一般には
発行体リスクと相手先リスクに分類。
• 発行体リスク（issuer risk）
金融商品の発行体がデフォルトに陥ることにより発
生するリスク
• 相手先リスク(counterparty risk)
取引相手に対する信用リスク
相手先リスクの例
商品・・・企業Aの信用事由の上に書かれたクレジット・デリバティブ
企業A
信
用
リ
ス
ク
と
し
て
考
え
る
べ
き
対
象
発行体B
１の信用リスクの計量化のために
求めたい項目
• デフォルト時点：τ
• 回収率：δ
上記の2つを確率変数として捉え、これらの
確率変数の確率法則（確率分布）を推定する
ことが目的となる。
２のスプレッドの予測
Longstaff and Schwartz ”valuing credit derivatives”
スプレッドの変動を確率微分方程式で直接モデル化
Jarrow and Turnbull “Pricing derivatives on financial
securities subject to credit risk”
満期Tの割引社債の時点ｔにおける無裁定価格
（１，１）
１とτ、δを組み込んだ価格付けモデル
・・・リスク中立確率に関する条件付期待値
・・・信用リスクのない割引債のスポットレート
・・・定義関数
事象Aが真のとき
事象Aが偽のとき
裁定機会
所持金が０で、絶対に損することなく正の利益が得ら
れる状況のこと。
無裁定価格とは裁定機会がないようにつけられた価格
デフォルト
• がない場合(τ>T)
投資家は満期Tで額面1単位円受け取る。
• した場合(τ≦T)
投資家は満期Tで回収額δ単位円受けとる。
上記の式はこれらのキャッシュ・フローを安全資産
で割り引いたリスク中立確率に関する期待値が割
引社債の価格になることを示している。
※リスク中立確率
T期間の株式の離散モデルを考える
r:一期間あたりの安全資産の利子率
S(0):資産の初期価格
S(t):第t期の株価(t=1,・・・,T)
t-1期
t期
確率
uS(t-1)
q
S(t-1)
dS(t-1)
1-q
確率変数
を
と定義するとT期間の株価の動きは（X1,・・・,XT）で
記述可能となる。
第(t-1)期で株式を一単位購入
→S（ｔ－１）の資金が必要
第t期にその株式を売却したとき、
第t期での価値は上昇すれば
下落すれば
となる。
よって期待収入は
裁定機会が存在しないためには（X1,・・・,XT）が互
いに公平である必要がある。よって上記の期待収益
の値を０とすると、
すなわち
この確率qはリスク中立確率と呼ばれ、期間tや株
価とは独立となっている。また、危険資産の期待収
益が安全利子率に等しくなる確率だともいえる。
定義関数
ある集合Eに対して、
を満たす関数fを集合Eの定義関数といい、
と表す。
• 信用リスクのない割引債の価格は
で与えられ、
がイールドスプレッド(yield spread)である。
※イールドとスポットレートについて
満期T,額面1単位円の支払いを確実に行う
割引債券を考える。時点tにおける取引価格
を
とする。
この割引債券の平均利回りは最終利回り、も
しくはイールドと呼ばれていて、
で与えられる。
※イールドとスポットレートについて
スポットレート
満期までの時間が無限小であるような瞬間的
な利子率のことであり、イールドの極限として
で与えられる。
格付け
• 信用格付け(credit rating)
第三者機関が与える(企業の)将来の債務履行能力を表す指
標。
C(t)・・・時点tにおける格付け（あるいは信用力）を表す確率変数
K・・・デフォルト状態
τ・・・C(t)が最初に状態Kに到達する時点
(初到達時間、first passage time)
デフォルトの定義
• 日本・・・倒産の線引きは曖昧
• アメリカ・・・Moody’s社では、利払いないしは元本返済の不履
行、遅延をデフォルトとみなす。
• その他・・・債務超過、融資に対する3期連続の利息未払いなど
以降の前提
デフォルト状態:K
時点：τ
企業の時点tにおける信用力：C(t)
現在時点では企業は非デフォルト状態とする。
デフォルトは吸収状態。
吸収状態：一度そこへ到達すると文字通り吸収され、他の状態へ
推移できない状態を指す。
金融におけるデフォルトの特徴
• 金融以外の分野のデフォルトも図1,1のような
構造を持っている。
• よって、金融以外の分野でのデフォルトも金
融に応用可能である可能性がある。
※ただし、機械や生物といった人為的に環境を
整備した上での実験が可能な分野と違い、金
融は統計的に明確な区別や人工的に環境を
整えた実験を行うことは難しい。
こういった分野上の性質の違いから、こう
いったデフォルトを安易に同一視するべきで
はない。
デフォルト率とハザード関数
X・・・企業（または金融資産）の寿命の長さ
ｔ・・・現時点
R・・・デフォルト発生までの時間間隔（余命）
τ・・・デフォルト時点(=R+t)
ここからRの確率法則を求める。
企業の誕生時点は便宜上、時点０とする。（X=τ）
時点tまで生きていたことを考慮する
• 条件付確率に関する公式(1,6)
• 上記から時点tまでデフォルトしなかったという
情報を組み込んだRの従う分布関数(1,7)
Ft・・・時点ｔまでの履歴から得られる企業の情報
この
を時点ｔにおける累積デフォルト確率
を生存確率という。
例1.1 寿命分布が指数分布
の場合、(1,7)より
となり変数にtを含まない。
無記憶性・・・生存時間がt以上という情報が役に立たない
a,離散的確率変数
• Rを離散的とする
• 単位時間の長さを１
• 余命Rの条件付確率は
• 累積デフォルト確率は
• 生存確率は(1,8)
• ただし、Ft(0)=0、St(0)=1とする。
• 定義より
• 通常は何年後までのリスクを計算するのかを
定義するリスク・ホライズンT(risk horizon)を
設定し、Ft(T),St(T)を求める
• ハザード率(hazard rate)
ある時点以上は存続するという条件の下で、その
時点でデフォルトが発生する確率(1,9)
• ハザード関数・・・ハザード率をｎの関数としてみる
(1,10)
• n=1のとき、
• デフォルト率 h(t)
時点ｔまで生存していて、次の時点(t+1)でデフォルト
する確率
例1.2 h(t)からSt(n)を計算
(1,10)、(1,7)より
公式(1,6)と余命Rの定義より
同様に
以上の結果をまとめて代入すると、
よって(1,12)
同様に
とデフォルト率h(t)をモデル化することで余命の
確率分布を与えることができる。
b,連続的な確率変数
• 余命R・・・連続的な確率変数
• ft(x)・・・Rの時点における条件付密度関数
• 累積デフォルト確率（分布関数）
• 生存確率(1,14)
連続的な確率変数のハザード率(1,15)
ある時点以上存続するという条件の下で次の
瞬間にデフォルトが発生する率のこと
ただし、
条件付確率の公式から、(1,16)
このハザード率をｘの関数として見たものを、
ハザード関数と呼ぶ。(1,17)
h(t)を時点tにおけるデフォルト率
を累積デフォルト率という。
両辺をｘで積分すると
以上と(1,16)－(1,18)式から(1,19)
離散的と連続的の違い
定義1.1
確率変数Rのハザード関数ηt(x)がｘに関して
• 単調非減少のとき、RはIHR(increasing
hazard rate)という
• 単調非増加のとき、RはDHR(decreasing
hazard rate)という
• 一定のとき、RはCHR(constant hazard rate)
という
ハザード関数ηt(x)をパラメトリックに推定したい場
合に信頼性解析などではハザード関数を(1,20)
とおいてパラメータτとλを推定する。
このハザード関数を
に代入して得られる分布がワイブル分布(Weibull
distribution)である
τ・・・形状パラメータ
λ・・・尺度パラメータ
τ＞１のときIHR、τ＜１のときDHR、
τ＝１のときCHRで指数分布になる(例1.1)
実証1.1 Carty and Fons ”Measuring changes in
corporate credit quality”
保留時間・・・社債が同じ格付けに留まる時間
Carty and Fonsは保留時間の長さをワイブル
分布を用いてパラメトリックに推定
高格付けのものはIHR
低格付けのものはDHRになった
1.3既存研究の流れと本書の構成
• デフォルト予測に関する研究
1960年代から会計学や金融関連の論文誌にて扱われ
始める。
• 初のデフォルトに対する科学的な分析者 Beaver
一変量判別分析によるデフォルトと非デフォルトの判別
• Altman・・・多変量判別分析
第3章にて多変量分析の説明を行う
※多変量判別分析は累積デフォルト確率を直接推定す
るわけではない
• その後、デフォルトするか否かの判別よりもデフォル
ト確率を予測し、信用リスクに見合うリターンを確保
することの方が重視されるようになった。
↓
• 累積デフォルト確率の予測へ
• 代表的な考え方
累積デフォルト確率をリスクファクターの線形的な組
み合わせZ(t)により回帰分析の手法を用いて推定
する。
Z(t)・・・スコアとするとスコアの値により大まかな予測
が可能。特定のファクターの影響力の測定も可。
• デフォルト時点を初到達時点として捉える考え方は
心理学における項目反応理論に依拠
誤差を
• ロジスティック分布として捉える・・・二項ロジット
• 正規分布として捉える・・・二項プロビットモデル
デフォルト・非デフォルトという2値のデータに対して、
累積デフォルト確率を説明するパラメータを最尤法
で推定する。
• 第4章で正規分布とロジスティック分布の類似性を
説明し、プロビットモデルをロジットモデルで近似す
る方法を提案する。さらに、逐次モデルと順序モデ
ルを紹介する。
• 二項ロジットモデルは確率選択モデルのフレーム
ワークでは、企業がデフォルト状態か非デフォルト
状態を確率に選択すると解釈できる。
• この考え方が発展して、多項ロジットモデルへと発
展した。第五章で多項ロジットモデルを説明する。
• 第六章ではデフォルト時点のハザード関数に着目し、
いくつかの代表的なハザードモデルを紹介する。
• 最後に第七章ではデフォルトを考慮した債券の価格
付けモデルを紹介する。

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