Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
10. Übungsblatt
Aufgabe 37 (Reproduktionsregeln für (Sub-)Martingale, 4 = 1 + 1 + 2 Punkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N eine Filtration auf (Ω, A). Beweisen Sie
die folgenden Eigenschaft von (Sub-)Martingalen:
(a) Sind (Xn )n∈N0 und (Yn )n∈N (Fn )n∈N -Martingale und a, b ∈ R, so ist auch (aXn + bYn )n∈N
ein (Fn )n∈N -Martingal.
(b) Falls (Xn )n∈N ein Submartingal bzgl. (Fn )n∈N ist, φ : R → R eine konvexe nicht-fallende
Funktion, so ist (φ(Xn ))n∈N ein Submartingal bzgl. (Fn )n∈N . Setzen Sie dabei E|φ(Xn )| <
∞ für alle n ∈ N voraus.
(c) Sind (Xn )n∈N und (Yn )n∈N (Fn )n∈N -Martingale und τ eine (Fn )n∈N -Stoppzeit mit Xτ = Yτ
P-f.s. Zeigen Sie, dass dann auch (Zn )n∈N gegeben durch
Zn := Xn 1{τ ≥n} + Yn 1{τ <n}
(n ∈ N)
ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N ist.
Aufgabe 38 (Darstellungssatz für Submartingale, 4 = 2 + 1 + 1 Punkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N0 eine Filtration auf (Ω, A).
(a) Beweisen Sie, dass jedes Submartingal (Yn )n∈N0 eine Zerlegung
Yn = Xn + C n
in ein Martingal (Xn )n∈N0 und eine vorhersagbare, monoton wachsende Folge (Cn )n∈N0
mit C0 := 0 besitzt.
P
Hinweis: Setzen Sie Cn := nk=1 E[Yk − Yk−1 |Fk−1 ] für n ∈ N.
(b) Sei (Xn )n∈N0 ein vorhersagbares Martingal. Folgern Sie, dass Xn = X0 P-f.s. für alle n ∈ N
gilt.
(c) Folgern Sie, dass die Zerlegung aus (a) P-f.s. eindeutig ist.
Aufgabe 39 (Anwendung Optional Sampling Theorem: Spielstrategien und erwartete Eintrittszeit, 4 = 2 + 2 Punkte).
Diese Aufgabe beschäftigt sich mit zwei Anwendungen des Optional Sampling Theorems.
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(a) Ein Spieler hat ein gut durchgemischtes Kartendeck mit 52 Spielkarten, davon 26 rot.
Zum Zeitpunkt n = 1, 2, ..., 52 deckt er eine neue Karte auf und beobachtet ihre Farbe.
Genau einmal in dem Spiel darf der Spieler vor dem Aufdecken der Karte sagen, dass die
nächste Karte rot ist. Ist die Karte rot, so hat der Spieler das Spiel gewonnen. Sei Rn die
Anzahl der verbleibenden verdeckten roten Karten, nachdem die n-te Karte aufgedeckt
wurde. Zeigen Sie, dass (Mn )n∈N0 gegeben durch
Rn
52 − n
ein Martingal bzgl. einer geeigneten Filtration ist und zeigen Sie, dass jede Spielstrategie
des Spielers nur eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 12 liefert.
Mn :=
(b) Der Affe an der Schreibmaschine, Teil 2: Ein Affe sitzt an einer Schreibmaschine und
tippt dabei die 26 Großbuchstaben des lateinischen Alphabets mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Sei τ die Stoppzeit, welche angibt, wann der Affe zum ersten Mal die Zeichenfolge
ABRACADABRA beendet hat. Zeigen Sie, dass τ fast sicher endlich ist und
E[τ ] = 2611 + 264 + 26
erfüllt.
Hinweis: Orientieren Sie sich an der Lösung von Präsenzblatt 10, Aufgabe P39.
Aufgabe 40 (Anwendung Optional Sampling Theorem: Münzwurf-Spiel, 4 = 1 +
1.5 + 1.5 Punkte).
Zwei Spieler wetten um das Ergebnis von Münzwürfen. Spieler 1 gewinnt 1 Euro, wenn ’Kopf’
geworfen wird, und verliert 1 Euro, wenn ’Zahl’ geworfen wird. Genau umgekehrt ist es für
Spieler 2. Das Spiel endet, wenn einer der Spieler kein Geld mehr hat. Spieler 1 startet mit
x Euro und Spieler 2 mit b Euro (b, x ∈ N). Sei (εi )i∈N eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen
mit P(εi = 1) = p, P(εi = −1) = 1 − p, wobei p ∈ (0, 1) die Wahrscheinlichkeit angebe, dass
die Münze ’Kopf’ zeigt. Dann kann das Guthaben von Spieler 1 nach dem n-ten Münzwurf
(n ∈ N0 ) geschrieben werden als:
Sn := x +
n
X
εi ,
S0 := x.
i=1
Sei τ die Zeit, wenn das Spiel beendet wird, und Fn := σ(εk : k ≤ n) (n ∈ N).
(a) Definiere für n ∈ N Blöcke Bn := (ε(b+x)(n−1)+1 , ..., ε(b+x)n ). Definiere θ := inf{n ∈ N :
Bn = (1, ..., 1)}. Zeigen Sie, dass τ ≤ (b + x)θ. Folgern Sie Eτ < ∞.
(b) Sei nun p = 21 . Zeigen Sie, dass (Sn )n∈N0 ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N0 ist. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 gewinnt, wenn das Spiel beendet wird.
Sn
1−p
1
(c) Sei nun p 6= 2 . Zeigen Sie, dass
ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N0 ist. Berechp
n∈N0
nen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 gewinnt, wenn das Spiel beendet wird.
Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 30. Juni 2016, 09:15 Uhr vor Beginn
der Vorlesung in den Zettelkästen 33 bzw. 34 in INF205, Etage 1.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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